02 Vetores TG

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Vetores 
 
 
Professor: Raphael Borges da Nóbrega 
Tratamento Geométrico 
Grandezas Escalares: 
 
São grandezas que ficam determinadas apenas por um número 
real, acompanhado pela unidade correspondente. 
 
Exemplo: 10m² de área; temperatura de 25ºC. 
 
Grandezas Vetoriais 
 
São grandezas que necessitam, além do módulo, uma direção e 
de um sentido. 
 
Exemplo: Força, velocidade, aceleração. 
 
Tratamento Geométrico 
Módulo 
 
É o número não negativo que indica o comprimento do vetor. 
 
Direção 
 
É uma propriedade comum a retas paralelas. 
 
Sentido 
 
Corresponde a orientação sobre uma direção. 
 
 
𝑟1 
𝑟2 
𝑟3 𝑟4 
𝐴 𝐵 
𝑟5 
𝑟6 
𝑟7 
𝑟8 
𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝐼𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜𝑠 
𝐴 
𝐴 
𝐴 
𝐴 
𝐵 
𝐵 
𝐵 
𝐵 
Tratamento Geométrico 
Vetores 
 
Conjunto formado por todos os segmentos orientados que 
possuem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo 
comprimento. 
𝑣 = 𝐴𝐵 
Representantes de um vetor 
 
Corresponde aos segmentos 
orientados de mesmo comprimento, 
mesma direção e mesmo sentido do 
vetor 𝑣 . 
Tratamento Geométrico 
Observação 
 
Dado um vetor 𝑣 = 𝐴𝐵 e um ponto P, existe apenas um ponto 
Q tal que o segmento orientado PQ tem o mesmo 
comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB. 
Tratamento Geométrico 
Vetores Paralelos (𝑢//𝑣 ) 
 
Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são paralelos se seus 
representantes tiverem a mesma direção. 
Igualdade de Vetores (𝑢 = 𝑣 ) 
 
Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são iguais se tiverem iguais 
módulos, direção e sentido. 
𝑢 
𝑣 
𝑢 𝑣 
Vetor Nulo (0 𝑜𝑢 𝐴𝐴) 
 
É o vetor de direção e sentido arbitrários, e módulo igual a zero. 
 
Observação: Esse vetor é paralelo a qualquer vetor. 
Tratamento Geométrico 
Vetor Oposto 
 
Vetor não nulo de mesmo módulo e mesma 
direção de 𝑣 , porém de sentido contrário. 
 
Observação: Se 𝑣 = 𝐴𝐵 −𝑣 = −𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 
Vetor Unitário 
 
Vetor de módulo igual a um. 
 
Versor 
 
Vetor unitário que possui a mesma direção e o 
mesmo sentido de 𝑣 . 
Tratamento Geométrico 
Vetores Ortogonais (𝑢⏊𝑣 ) 
 
Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são ortogonais se 
algum representante de 𝑢 formar ângulo 
reto com algum representante de 𝑣 . 
Vetores Coplanares 
 
Dois ou mais vetores são coplanares se 
existir um plano onde estes vetores estão 
representados. 
 
Observação 1:dois vetores são sempre 
coplanares. 
Observação 2: três vetores podem ou não 
ser coplanares. 
Tratamento Geométrico 
Exemplo 
 
Verifique se: 
𝐷𝐻 = 𝐵𝐹 
Tratamento Geométrico 
Exemplo 
 
Verifique se: 
𝐵𝐺//𝐸𝐷 
Tratamento Geométrico 
Exemplo 
 
Verifique se: 
𝐴𝐵, 𝐹𝐺 𝑒𝐸𝐺 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑠 
Tratamento Geométrico 
Operação com Vetores 
 
Adição de Vetores 
 
𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑇𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 
 
1. Fixa-se um ponto A e, com origem 
nele, é traçado o segmento 
orientado AB, tal que 𝑢 = 𝐴𝐵. 
2. A partir do ponto B, é traçado o 
segmento orientado BC, tal que 
𝑣 = 𝐵𝐶. 
3. 𝑢 + 𝑣 = 𝐴𝐶 
𝑢 + 𝑣 
𝑢 
𝑣 
𝑢 
𝐴 
𝐵 
𝑣 
𝐶 
Tratamento Geométrico 
Operação com Vetores 
 
Adição de Vetores 
 
𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 
 
1. Representar 𝑢 e 𝑣 por segmentos 
orientados de mesma origem, em 
que 𝑢 = 𝐴𝐵 e 𝑣 = 𝐴𝐷; 
2. Completa-se o paralelogramo ABCD; 
3. 𝑢 + 𝑣 corresponde a diagonal do 
paralelogramo, ou seja, 𝑢 + 𝑣 = 𝐴𝐶. 
𝑢 + 𝑣 
𝑢 
𝑣 
𝑢 
𝑣 
𝐴 
𝐵 
𝐷 
𝐶 
Tratamento Geométrico 
Propriedades 
 
1. Comutatividade 
 
𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
 
2. Associatividade 
 
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = (𝑢 + 𝑣 ) + 𝑤 
 
𝑢 + 𝑣 
𝑢 
𝐴 
𝐵 
𝑣 
𝐶 
𝑢 
𝑣 
𝐴 
𝐷 
𝐶 
𝑢 + 𝑣 
𝑢 + 𝑣 
𝑢 
𝐴 
𝐵 
𝑣 
𝐶 
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 
𝑤 
𝐷 
𝑣 + 𝑤 
𝑢 
𝐴 
𝐵 
𝑣 
𝐶 
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 𝑤 
𝐷 
Tratamento Geométrico 
Propriedades 
 
3. Existência de vetor nulo 
 
𝑢 + 0 = 0 + 𝑢 = 𝑢 
 
4. Multiplicação de um vetor por um número 
 
I. 𝑘1 𝑢 + 𝑣 = 𝑘1 ∙ 𝑢 + 𝑘1 ∙ 𝑣 
II. 𝑘1 + 𝑘2 𝑢 = 𝑘1 ∙ 𝑢 + 𝑘2 ∙ 𝑢 
III. 𝑘1 𝑘2 ∙ 𝑢 = 𝑘1 ∙ 𝑘2 𝑢 
IV. 1 ∙ 𝑢 = 𝑢 
V. 0 ∙ 𝑢 = 0 
 
Tratamento Geométrico 
Operação com Vetores 
 
Subtração de Vetores 
 
Determinar 𝑢 − 𝑣 
𝑢 − 𝑣 
𝑢 
𝑣 
𝑢 
𝐴 
𝐵 
−𝑣 
𝐶 
−𝑣 
𝑢 − 𝑣 = 𝑢 + −𝑣 
Tratamento Geométrico 
Exemplo 
 
Dados os vetores 𝑢 e 𝑣 , determine: 
 
a) 𝑢 + 𝑣 
b) 𝑢 − 𝑣 
c) 𝑣 − 𝑢 
d) −𝑢 − 𝑣 
𝑢 
𝑣 
𝑢 − 𝑣 
−𝑣 
𝑢 + 𝑣 
−𝑢 
𝑣 − 𝑢 
−𝑢 − 𝑣