03 Vetores TA P1

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Vetores 
Tratamento Algébrico 
 
 
Professor: Raphael Borges da Nóbrega 
Vetores no Plano 
Considerem dois vetores 𝑣1 e 𝑣2 não paralelos, representados 
com a origem no mesmo ponto O, em que 𝑟1 e 𝑟2 são retas que 
contem esses representantes, respectivamente. 
𝑢 = 5𝑣1 + 4 𝑣2 
𝑣 = −2𝑣1 + 3 𝑣2 
𝑤 = −4𝑣1 − 𝑣2 
Vetores no Plano 
Combinação linear 
 
Um vetor 𝑤 é combinação de 𝑣1 e 𝑣2 quando escritos na forma: 
 
𝑤 = 𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 
 
em que 𝑘1 e 𝑘2 são escalares. 
 
Vetores no Plano 
Base 
 
Conjunto ordenado B={𝑣1, 𝑣2} 
 
• Qualquer conjunto de dois vetores não paralelos constitui 
uma base no plano; 
 
• Todo vetor no plano é combinação linear dos vetores da 
base, de modo único. 
Vetores no Plano 
Base 
 
Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonormais. 
 
Base Ortonormal: 𝑣1⏊𝑣2 e 𝑣1 = 𝑣2 = 1 
 
Caso Particular: 
Base Canônica 
𝑖 = 1,0 
𝑗 = 0,1 
 
𝐶 = {𝑖 , 𝑗 } 
Vetores no Plano 
Expressão Analítica 
𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 
 
ou 
 
𝑣 = (𝑥, 𝑦) 
𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝐴𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑎 
Vetores no Plano 
Igualdade de Vetores 
 
Sejam: 
𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 
𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) 
 
𝑢 = 𝑣 se, e somente se: 
 
 
𝑥1 = 𝑥2
𝑦1 = 𝑦2
 
𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) 
Vetores no Plano 
Igualdade de Vetores 
 
Exemplo 1: Determine os valores de x e y de modo que o vetor 
𝑢 = (𝑥 + 1,5) seja igual ao vetor 𝑣 = (3, 𝑦 − 2) 
Vetores no Plano 
Operação de Vetores 
 
Soma de Vetores 
 
Sejam: 
𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 
𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) 
 
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) 
𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) 
Vetores no Plano 
Operação de Vetores 
 
Multiplicação de Vetor por um Número 
 
Seja: 
𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 
 
 
𝜶 ∙ 𝑢 = (𝜶 ∙ 𝑥1, 𝜶 ∙ 𝑦1) 
Vetores no Plano 
Operação de Vetores 
 
Exemplo 2: Determine o vetor 𝑥 na igualdade 
 
3𝑥 + 2𝑢 =
1
2
𝑣 + 𝑥 
 
em que 𝑢 = (3,−1) e 𝑣 = (−2,4) 
Vetores no Plano 
Operação de Vetores 
 
Exemplo 3: Encontre os números 𝑘1 e 𝑘2 tais que 
 
𝑤 = 𝑘1𝑢 + 𝑘2𝑣 
 
em que 𝑤 = (10,2), 𝑢 = (3,5) e 𝑣 = (−1,2) 
Vetores no Plano 
Vetor Definido por Dois Pontos 
 
Considere o vetor 𝐴𝐵 de origem no ponto 𝐴 𝑥1, 𝑦1 e 
extremidade em 𝐵 𝑥2, 𝑦2 
 
𝑂𝐴 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑂𝐵 = (𝑥2, 𝑦2)
 
𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 
𝐴𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) 
ou 
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 
Vetores no Plano 
Representante Natural 
 
Considere o vetor 𝐴𝐵 de origem no ponto 𝐴 𝑥1, 𝑦1 e 
extremidade em 𝐵 𝑥2, 𝑦2 
𝑣 = 𝑂𝑃 
𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 
𝑣 = 𝑃 − 𝑂 = 𝐵 − 𝐴 
Vetores no Plano 
Vetor Definido por Dois Pontos 
 
Exemplo 4: Determine o ponto D tal que 
 
𝐶𝐷 =
1
2
𝐴𝐵 
 
Dados: 𝐴(−1,2), 𝐵(3,−1) e 𝐶(−2,4) 
Vetores no Plano 
Vetor Definido por Dois Pontos 
 
Exemplo 5: Sendo 𝐴(−2,4) e 𝐵(4,1) extremidades de um 
segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB em três 
segmentos de mesmo comprimento. 
𝐴 𝐹 𝐺 𝐵