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Probabilidades 1 Introdução Até aqui, análise de um conjunto de dados por meio de técnicas numéricas e gráficas Distribuição de frequências: instrumento para avaliação da variabilidade das observações A partir da distribuição de frequências: cálculo de medidas de posição e dispersão (variabilidade) Frequências e medidas: estimativas de quantidades desconhecidas, associadas a populações das quais os dados amostrais foram extraídos Probabilidades REI004 – MQA I 2 Introdução Frequências (relativas): estimativas de probabilidades de ocorrência dos eventos A partir de pressupostos e suposições: modelo teórico que reproduz razoavelmente a distribuição de frequências observadas modelo probabilístico é especificado quando são estabelecidos: (a) Espaço amostral, Ω: enumeração (finita ou infinita) de todos os resultados possíveis ou elementos, que são pontos amostrais Ω = {ω1, ω2, ..., ωn, ...} Probabilidades REI004 – MQA I 3 Introdução (b) Probabilidade, P(ω), para cada ponto amostral probabilidade P(A) do subconjunto A de Ω = probabilidade de um evento aleatório Obs. Para ilustrar graficamente eventos: utilização dos diagramas usados na teoria dos conjuntos Generalizando, se A for qualquer evento de Ω: soma para todos os pontos amostrais ωj є A P(A) = Σj P(ωj) Probabilidades REI004 – MQA I 4 Propriedades Obs. modelo probabilístico é um modelo teórico para frequências relativas 1) Como a frequência relativa é um número entre 0 e 1, para qualquer evento A: 0 < P(A) < 1 P(Ω) = 1 P(ø) = 0 Probabilidades REI004 – MQA I 5 Propriedades 2) Dados 2 eventos A e H (por exemplo, IDH alto e escolaridade baixa): A U H = união de A e H, quando ao menos um dos eventos ocorre = interseção entre A e H, quando os eventos ocorrem simultaneamente Regra da adição de probabilidades: HA )()()()( HAPHPAPHAP Probabilidades REI004 – MQA I 6 .. )( n n HAP ij Propriedades Quando os eventos são mutuamente exclusivos (disjuntos): se A ocorre, C não ocorre e vice-versa Quando os eventos são complementares: 1)()( 1)()( cAPAP BPAP BA BA )()()( 0)( CPAPCAP CAP CA Probabilidades REI004 – MQA I 7 Propriedades )()()( )()( CABACBA AAA AAAA AAA BABABABA cc cc cccccc Probabilidades REI004 – MQA I 8 Propriedades )()()( )(1])[()( )(1])[()( )(1)( BAPBPBAP BAPBAPBAP BAPBAPBAP APAP c ccc ccc c Probabilidades REI004 – MQA I 9 Propriedades Quando o espaço amostral é finito, Ω = {ω1, ω2, ..., ωn}, todos os pontos têm a mesma probabilidade 1/n Se A é um evento contendo m pontos amostrais: Neste caso, m = número de casos favoráveis e n = número de casos possíveis n m AP )( Probabilidades REI004 – MQA I 10 Probabilidade Condicional e Independência Para 2 eventos A e B, sendo P(B) > 0, probabilidade condicional de A dado B P(A): probabilidade a priori de A P(A|B): probabilidade a posteriori de B Se P(A|B)> P(A), a informação de que B ocorreu aumenta a chance de A ocorrer )( )( )|( BP BAP BAP Probabilidades REI004 – MQA I 11 Probabilidade Condicional e Independência Regra do produto de probabilidades: A independente de B se: Para três eventos A, B e C: )|().()( BAPBPBAP )().()( APBPBAP Probabilidades REI004 – MQA I 12 )|().|().()( BACPABPAPCBAP Probabilidade Condicional e Independência Independência para 3 eventos A, B e C: Verificadas as 3 primeiras relações acima, eventos são mutuamente independentes )().().()( )().()( )().()( )().()( CPBPAPCBAP CPBPCBP CPAPCAP BPAPBAP Probabilidades REI004 – MQA I 13
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