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FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL - AULA 01 Professor: Fabrício Borges Assunto: Centro de Massa e Quantidade de Movimento. dm M corposólido 1. O CENTRO DE MASSA 1.1 Conceito O centro de massa de um CORPO ou de um SISTEMA DE CORPOS é o ponto que se move como se toda a massa estivesse concentrada nele e como se todas as forças externas fossem aplicadas nesse ponto. 1.2 Sistemas de partículas Consideremos um sistema formado por duas partículas de massas m1 e m2 conforme a figura a seguir: Veremos que, para o conceito de centro de massa seja satisfeito, devemos definir a posição do centro de massa por: 1 1 2 2 1 2 CM m x m x x m m (1) Para uma situação na qual N partículas são dispostas ao longo do eixo x, podemos escrever: 1 1 2 2 ... n n CM m x m x m x x M (2) Onde: M = m1+m2+...+mn (massa total), ou ainda: 1 1 n CM i i i x m x M (3) Se as partículas estiverem distribuídas em três dimensões, as coordenadas do centro de massa serão das por: 1 1 1 1 1 1 , , n n n CM i i CM i i CM i i i i i x m x y m y z m z M M M (4) Ou ainda: 1 1 n CM ii i r m r M Sendo: . . .i i i ir x i y j z k (Vetor posição da i-ésima partícula). e . . .CM CM CM CM x i y j z kr (Vetor posição do centro de massa). 1.3 Corpos Sólidos Um corpo sólido contém tantas partículas (átomos) que o melhor tratamento é considera-lo como uma distribuição contínua de matéria. Nesse caso, as “PARTÍCULAS” tornam-se elementos de massa diferenciais dm e os somatórios da Eq. (4) tornam-se integrais. Sendo assim, as coordenadas do centro de massa são dadas por: 1 1 1 , ,CM CM CMx xdm y ydm z zdm M M M (5) (x, y, e z são as coordenadas do elemento diferencial dm) Considerando um corpo uniforme (densidade constante), temos que: M dm V dv (6) Onde: dV é o volume ocupado pela massa dm. Da relação acima, temos: M dm M dm dv V dv V (7) Então, substituindo a Eq. (7) em (5) encontramos: 1 1 1 , ,CM CM CMx xdv y ydv z zdv V V V (8) Observações: 1) Para uma distribuição de massa SUPERFICIAL, temos que: 1 1 CM CMx xda e y yda A A Onde: A é a área ocupada pela massa. 2) Para uma distribuição LINEAR de massa, temos que: 1 CMx xdl L Onde: L é o comprimento da distribuição. Exemplo 1: Três partículas de massas m1= 1,2 kg, m2= 2,5 kg e m3= 3,4 kg formam um triângulo equilátero cujos lados medem a = 140 cm. Onde está o centro de massa desse sistema de três partículas? a a a 1m 2m FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL - AULA 01 Professor: Fabrício Borges Assunto: Centro de Massa e Quantidade de Movimento. 2. SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA UM SISTEMA DE PARTÍCULAS. Podemos mostrar que a segunda Lei de Newton aplicada a um sistema de partículas, toma a seguinte forma: . CM res M aF (9) Onde: 1) resF é a força resultante de todas as forças externas que agem sobre o sistema; 2) M é a massa total do sistema; 3) CM a é a aceleração do centro de massa; Observação: Esta equação confirma a definição de CENTRO DE MASSA. PROVA DA EQUAÇÃO (9) Da equação que define o centro de massa, temos para um sistema de n partículas: 1 2 1 2 ... CM nnMr m r m r m r (10) Derivando a Equação (10) com relação ao tempo, temos: 1 2 1 2 ... CM nnMv m v m v m v (11) Derivando a Equação (11) com relação ao tempo, obtemos: 1 2 1 2 ... CM nnMa m a m a m a (12) Da segunda Lei de Newton, temos que: .i i iF m a (13) Então, substituindo a Equação (13) em (12), encontramos: 1 2 ... CM nMa F F F (14) Daí, temos: resCM Ma F Onde: res F é a força resultante das forças externas. Observação: Usando a terceira Lei de Newton, podemos mostrar que as forças internas se cancelam na soma 1 2 ... nF F F . Sendo assim, esta soma representa a resultante das forças externas. Exemplo 2: As três partículas mostradas na figura a seguir, estão inicialmente em repouso. Cada uma sofre a ação de uma força externa devido a corpos fora deste sistema de três partículas. As direções e sentidos estão indicados e os módulos são: F1 = 60 N, F2 = 12 N e F3 = 14 N. Qual é a aceleração do centro de massa e em que direção se move? ( )y cm ( )x cm 45o 1F 2F 4,0kg 8,0kg 3F 4,0kg
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