trabalho_mtm7102

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - UFSC
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS – CFM
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – MTM
GRADUAÇÃO EM LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1
FERNANDO DE SOUZA DOS SANTOS
FLORIANÓPOLIS, 15 DE SETEMBRO DE 2014
APRESENTAÇÃO
	Atividade proposta na disciplina de Fundamentos de Matemática II (MTM7102), sob orientação do Prof.º Gustavo Adolfo Torres Fernandes da Costa. 
	A proposta consta na resolução de 10 exercícios, escolhidos pelo professor, dentre os diversos apresentados no capítulo 1 do livro de Samuel Hazzan - FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR, Volume 5 da Editora Atual.
	
ÍNDICE
	Exercício 36 ......................................................................pág. 7 
	Exercício 38 ......................................................................pág. 10
	Exercício 48 ......................................................................pág. 12 
	Exercício 52 ......................................................................pág. 13
	Exercício 82 ......................................................................pág. 14
	Exercício 116 ....................................................................pág. 15
	Exercício 120 ....................................................................pág. 16
	Exercício 154 ....................................................................pág. 17
	Exercício 178 ....................................................................pág. 20
	Exercício 182 ....................................................................pág. 21
Uma urna tem 10 bolinhas numeradas 1, 2, 3, ..., 10. Três bolinhas são extraídas sucessivamente, sem reposição. De quantas formas os números das bolinhas formam uma P.A. na ordem em que foram extraídas?
 
Sugestão
: Construa o diagrama da árvore	
 
 36
Análise do problema: 
Urna com 10 bolinhas de 1 a 10;
Serão retiradas 3 bolinhas sucessivas, sem reposição;
As possíveis progressões podem ter como razão: 1, 2, 3, 4 ou (-1), (-2),
 (-3) e (-4) que significa que as bolinhas são extraídas de maneira diminutiva.
Resolução:
Temos como possíveis sorteamentos de razão 1:
 3
 2
 1
					{1, 2, 3}
 4
 3
 2
					{2, 3, 4}
 5
 4
 3
					{3, 4, 5}
 6
 5
 4
					{4, 5, 6}
 7
 6
 5
					{5, 6, 7}
 8
 7
 6
					{6, 7, 8}
 9
 8
 7
					{7, 8, 9}
10
 9
 8
					{8, 9, 10}
								
Total: 8 maneiras;
					
Temos como possíveis sorteamentos de razão (-1):
 8
 9
10
					{10, 9, 8}
 7
 8
 9
					{9, 8, 7}
 6
 7
 8
					{8, 7, 6}
 5
 6
 7
					{7, 6, 5}
 4
 5
 6
 
7					{6, 5, 4}				
 3
 4
 5
					{5, 4, 3}
 2
 3
 4
					{4, 3, 2}
 1
 2
 3
					{3, 2, 1}
Total: 8 maneiras;
Temos como possíveis sorteamentos de razão 2:
 5
 3
 1
					{1, 3, 5}
 6
 4
 2
					{2, 4, 6}
 7
 5
 3
					{3, 5, 7}
 8
 6
 4
					{4, 6, 8}
 9
 7
 5
					{5, 7, 9}
10
 8
 6
					{6, 8, 10}
								
Total: 6 maneiras;
Temos como possíveis sorteamentos de razão (-2):
 6
 8
10
					{10, 8, 6}
 5
 7
 9
					{9, 7, 5}
 4
 6
 8
					{8, 6, 4}
 3
 5
 7
					{7, 5, 3}
 2
 4
 6
					{6, 4, 2}
 1
 3
 5
					{5, 3, 1}								
Total: 6 maneiras;
Temos como possíveis sorteamentos de razão 3:
 7
 4
 1
					{1, 4, 7}
 8
 5
 2
					{2, 5, 8}
 
8
 9
 6
 3
					{3, 6, 9}
10
 7
 4
					{4, 7, 10}
								
Total: 4 maneiras;
Temos como possíveis sorteamentos de razão (-3):
 4
 7
10
					{10, 7, 4}
 3
 6
 9
					{9, 6, 3}
 2
 5
 8
					{8, 5, 2}
 1
 4
 7
					{7, 4, 1}
					
Total: 4 maneiras;
Temos como possíveis sorteamentos de razão 4:
 9
 5
 1
					{1, 5, 9}
10
 6
 2
					{2, 6, 10}
Total: 2 maneiras;
Temos como possíveis sorteamentos de razão (-4):
 2
 6
10
					{10, 6, 2}
 1
 5
 9
					{9, 5, 1}
							
Total: 2 maneiras;
Somando cada caso de razão:
 
9Resposta: De 40 formas os números das bolinhas formam uma P.A. na ordem em que foram extraídas.
Suponha que no início de um jogo você tenha R$ 2 000,00 e que só possa joga
r
 enquanto tiver dinheiro. Supondo que em cada jogada você perde ou ganha R$ 1 000,00 quais são os possíveis resultados ao final de três jogadas?	
 
 38
Análise do problema: 
Meu saldo Inicial: R$ 2 000,00
Número de Jogadas: 3
Eliminado ao ficar sem dinheiro
Cada rodada perco ou ganho R$ 1 000,00
Meu saldo Final: R$ ? ???,??
Resolução:
Para descobrir quais são os possíveis resultados ao final de três jogadas, utilizarei um Diagrama de Árvore, como ilustrado abaixo:
 
 1ª rodada 2ª rodada 3ª rodada
	
	
 
 
 
 
 
 
 
R$ 2 000,00 
	 
 
	
 	 
 
	
 
10 
 Analisando o Diagrama, posso descrever que as possibilidades do desenrolar do jogo são as seguintes:
Obs.: utilizarei as letras G e P para representarem as palavras Ganhar e Perder, respectivamente.
{G – G – G}, {G – G – P}, {G – P – G}, {G – P – P}, {P – G – G}, {P – G – P}, {P – P}
 Exclui-se a última possibilidade: a de perder duas vezes consecutivas, pois resulta em eu ficar sem valor de dinheiro para poder jogar a terceira rodada. 
 Restando como saldo final os seguintes: R$ 5 000,00; R$ 3 000,00; R$ 3 000,00; R$ 1 000,00; R$ 3 000,00 e R$ 1 000,00.
Resposta: Os possíveis resultados ao final de três jogadas são de R$ 1 000,00; R$ 3 000,00 ou R$ 5 000,00.
 
11
Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinar a estação de partida e de chegada, respectivamente?	
 
 48
Análise do problema: 
Quantidade de estações: 16
Quantidade de bilhetes necessário para ligar uma estação a outra: ?????
Bilhete é assinado por estação de partida e estação de chegada
Resolução:
Cada bilhete tem a assinatura de partida e de chegada. Se temos 16 estações nessa linha ferroviária, então cada uma tem 15 ligações para com as outras estações dessa linha. E isso vale para cada uma delas. Logo, para a assinatura de partida temos 16 possibilidades e para a assinatura de chegada 15. Conforme ilustração abaixo: 
Linha Ferroviária CFM
Estação partida – Estação chegada
16 possibilidades – 15 possibilidades
Sendo “x” a quantidade de tipos de bilhetes necessários para impressão, “m” a quantidade de possibilidades para assinatura de partida e “m -1” para a assinatura de chegada e através do PFCB posso calculá-los:
Resposta: Devem ser impressos 240 tipos de bilhetes para esta Linha Ferroviária.
 
12
De quantas maneiras um técnico de futebol pode formar um quadro de 11 jogadores, escolhidos entre 22, dos quais 3 são goleiros e só goleiro tem posição fixa?	
 
 52
Análise do problema: 
Formar um time de futebol compostopor 10 jogadores + 1 goleiro
Quantidade de possíveis goleiros: 3 
Quantidade de jogadores: 19
Resolução:
O time formado será representado pelo esquema abaixo:
 
 J1 J2 J3 J4 J5 J6 
Fig. 1 
 J7 J8 J9 J10 J11
Denoto por J1, J2, J3, ...., J11 as posições do time de futebol a ser formado, observa-se que a posição J11 é a posição de goleiro.
Através dos dados do problema, tenho que para a posição de jogador J1, tenho 19 possibilidades, para J2 tenho (19 – 1) significa que o jogador escolhido uma vez para ocupar alguma posição, não pode ser novamente escolhido para ocupar outra no mesmo time, para J3 tenho (19 – 2), e assim sucessivamente até a posição J10 que tenho (19 -9)
Para ocupar a posição J11, a de goleiro, o problema nos traz que apenas temos três aptos a isso, logo são três possibilidades para esta posição.
Seja “x” a quantidade de times possíveis de se formar nas condições estabelecidas, através do PFCB, posso calculá-lo:
 
13Resposta: Com as condições dadas, pode um técnico formar 
.
Consideremos 
m
 elementos distintos. Destaquemos 
k
 entre eles. Quantos arranjos simples daqueles 
m
 elementos, tomados 
n
 a 
n
 (
A
m, n
), podemos formar, de modo que em cada arranjo haja sempre, contíguos e em qualquer ordem de colocação, 
r (r < n)
 dos 
k
 elementos destacados?		
 
 82
Resolução: 
Temos arranjos formados dos k elementos contígios. Assim, para completar a sequencia com “n” elementos devemos tomar elementos do conjunto geral, tomados a , no que resulta em .
Considerando como um “bloco”, então ele pode ocupar posições. 
Aplicando o PFC, temos:
, arranjos tomados n a n, de modo que em cada arranjo haja, sempre contíguos e em qualquer ordem de colocação r, dos k elementos destacados.
Resposta: Podemos formar , de modo que em cada arranjo haja sempre, contíguos e em qualquer ordem de colocação, r dos k elementos destacados.
 
14
Simplifique a expressão 
.		
 116
 
15
Simplifique a expressão 
, para 
.		
 120
 
16
Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 são matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
Nenhum membro seja matemático?
Todos os matemáticos participem da comissão?
Haja somente um matemático na comissão?
Pelo menos um membro da comissão seja matemático?		
 154
Análise do problema: 
formar comissões de 10 pessoas 
Quantidade de pessoas: 20
Quantidade de matemáticos:5
No primeiro caso, onde não temos participação de matemáticos: 
Se quero formar comissões aonde não tenha nenhum matemático, então, tenho Combinação de 15 pessoas, tomadas 10 a 10:
Resposta: Posso formar 3003 comissões de modo que em nenhuma tenha algum matemático.
No segundo caso, onde todos os matemáticos participam da comissão:
Neste caso, cinco das 10 posições estarão ocupadas por matemáticos, restando apenas a combinação do restante da comissão, ou seja, a ocupação das cinco vagas restantes é que nos importa. Logo, quero formar combinação de 15 pessoas tomadas 5 a 5:
 
17Resposta: Posso formar 3003 comissões de modo que em em todas tenha a participação de todos os matemáticos.
No terceiro caso, em que haja somente um matemático:
Neste caso, uma das 10 vagas será destinada há um matemático. Como temos 5 matemáticos, temos 5 possibilidades.
Para o restante das 9 vagas, temos a combinação de 15 pessoas, tomadas 9 a 9:
Resposta: Posso formar 25025 comissões de modo que em em todas tenha apenas a participação de um matemático.
No último caso, onde pelo menos tenha um matemático:
Neste caso, uma das 10 vagas é destinada há um matemático, porém nada impede de em outra vaga tenha outro matemático. Irei fazer por partes:
Com no mínimo um matemático:
(__)(__, __, __, __, __, __, __, __, __)
 
 
Com dois matemáticos:
(__, __)(__, __, __, __, __, __, __, __)
 
 
Com três matemático:
(__, __, __)(__, __, __, __, __, __, __)
 
 
Com quatros matemáticos:
(__, __, __, __)(__, __, __, __, __, __)
 
 
Com cinco matemáticos:
(__, __, __, __, __)(__, __, __, __, __)
 
18
 
 
Somando todas as possibilidades teremos:
Resposta: Posso formar 181.753 comissões de modo que em em todas tenha no mínimo um matemático.
19
Há 12 pontos A, B, C, ... dados num plano 
, sendo que 3 desses pontos nunca pertencem a uma mesma reta. Qual é o número de triângulos que podemos formar, utilizando os 12 pontos e tendo o ponto A como um dos vértices?
 
Há 12 pontos A, B, C, ... dados num plano 
, sendo que 3 desses pontos nunca pertencem a uma mesma reta. Qual é o número de triângulos que podemos formar, utilizando os 12 pontos e tendo o ponto A como um dos vértices?		
 
178
Análise do problema: 
O problema nos traz que temos 12 pontos, e quer saber quantos triângulos podemos formar tendo um deles como sendo vértice comum de todos esses triângulos. Ele nos diz que nenhum de três pontos fica na mesma reta, significa que qualquer dos 3 pontos combinados entre si fazem um triângulo.
 
Para se formar um triângulo a partir de um ponto, precisamos de outros dois pontos, ou seja outros dois vértices.
Como temos 12 pontos dados e fixamos o ponto A, sendo o vértice comum desses triângulos, temos 11 pontos possíveis para serem os outros dois vértices de cada um desses triângulos. Ou seja, de 11 pontos, tomamos dois a dois, para com o ponto A formarem triângulos.
B 
C, 
D, E, F, G, H, I, J, K ou L
são 10 possibilidades
C
 
D, E, F, G, H, I, J, K ou L
são 
9
 possibilidades
D
 
E, F, G, H, I, J, K ou L
são 
8
 possibilidades
E
 
F, G, H, I, J, K ou L
são 7
 possibilidades
F
 
G, H, I, J, K ou L
são 6
 possibilidades
A
G
 
H, I, J, K ou L
são 5
 possibilidades
H
 
I, J, K ou L
são 4
 possibilidades
I
 
J, K ou L
são 3
 possibilidades
J
 
K ou L
são 2
 possibilidades
K
 
L
 é 1 possibilidade
L
 
 
total 55 possibilidades
{A, B, C}, {A, B, D}, {A, B, E}, {A, B, F}, {A, B, G}, {A, B, H}, {A, B, I}, {A, B, J}, {A, B, K}, {A, B, L}, {A, C, D}, {A, C, E}, {A, C, F}, {A, C, G}, {A, C, H}, {A, C, I}, {A, C, J}, {A, C, K}, {A, C, L}, {A, D, E}, {A, D, F}, {A, D, G}, {A, D, H}, {A, D, I}, {A, D, J}, {A, D, K}, {A, D, L},
{A, E, F}, {A, E, G}, {A, E, H}, {A, E, I}, {A, E, J}, {A, E, K}, {A, E, L}, {A, F, G}, {A, F, H},
{A, F, I}, {A, F, J}, {A, F, K}, {A, F, L}, {A, G, H}, {A, G, I}, {A, G, J},{A, G, K}, {A, G, L},
{A, H, I}, {A, H, J}, {A, H, K}, {A, H, L}, {A, I, J}, {A, I, K}, {A, I, L}, {A, J, K}, {A, J, L} 
 ou {A, K, L}.
Resposta: São possíveis formar 55 triângulos tendo como o ponto A sendo vértice comum de todos esses triângulos.
20
Quantas diagonais, não das faces, tem:
Um cubo
?
Um octaedro
?		
 182
Análise do problema: 
A fórmula para calcular isso é:
Onde, é a combinação de v (vértices) tomados 2 a 2, e A é o número de arestas.
Para calcular do cubo, temos:
v = 8;
A = 12
Fig. 
2
E para a Somatório das diagonais das faces é 12, pois são 6 faces quadradas, e cada quadrado tem 2 diagonais.
Substituindo na fórmula 
Para calcular do octaedro,temos:
v = 6;
A = 12
Fig. 3
E para a Somatório das diagonais das faces é 0, pois são 8 faces triangulares, e triangulo não tem diagonais.
Substituindo na fórmula 
21
Resposta: O número de diagonais, não das faces, de um cubo e de um octaedro, são respectivamente, 4 e 3.
22
23