Transformada de Laplace e suas propriedades

Prévia do material em texto

Aula 06 
Transformada de Laplace
Seja um sinal cuja expressão no tempo é dada por f (t). A Transformada de Laplace de f, 
representada por F(s), é definida como
.
A Transformada de Laplace é definida acima apenas a partir do instante , razão pela qual é 
conhecida como Transformada de Laplace Unilateral. Para nós, a transformada unilateral é 
suficiente porque os sinais que consideraremos serão sempre iguais a zero para .
Repare que a integral na definição da Transformada é própria, de modo que o resultado da 
integração não é mais uma função do tempo, mas uma função da nova variável s. A variável s é na 
verdade um número complexo que pode ser, então, expresso como a soma de uma parcela real mais 
uma parcela imaginária:
.
Como consequência, temos que .
Em resumo, a Transformada de Laplace leva o sinal no tempo f(t) para o domínio complexo 
na variável s. Mas será que existe alguma interpretação para esse domínio complexo?
Em coordenadas cartesianas, por exemplo, como determinamos a componente de um vetor v 
no eixo do x? Fazendo o produto escalar v.i, onde i é o vetor ortogonal diretor referente ao eixo x. 
Podemos conceber a transformada de Laplace de uma forma análoga: o termo corresponde a 
um vetor ortogonal associado à variável (“eixo”) s. Porém, como o tempo t é infinito, precisamos 
somar as infinitas contribuições de cada instante de tempo. Então, a Transformada de Laplace pode 
ser vista como o “produto escalar” entre o sinal f(t) e os infinitos vetores ortogonais , o que 
representa calcular o valor da componente de f(t) no novo “eixo” s, que define o novo domínio.
A transformada releva então que:
“Cada sinal no tempo pode ser visto como o somatório de infinitas contribuições do tipo , 
onde cada contribuição representa um termo senoidal amortecido ( ).”
Sinais elementares
No estudo da aplicação da Transformada de Laplace a sistemas dinâmicos, alguns sinais 
desempenham um papel primordial. Isso porque representam sinais elementares a partir do qual 
conseguimos construir uma série de outros sinais mais complexos. 
O primeiro deles é a função degrau unitário, descrita por
1
f(t)
Sinal no tempo
F(s)
Função no domínio da 
variável s
Transformada de 
Laplace
1
0
t
O degrau é frequentemente utilizado na descrição de outros sinais. Por exemplo, seja o sinal abaixo:
Este sinal pode ser descrito pela soma de dois degraus: .
Outro sinal muito importante é o impulso, que pode ser descrito por
(1)
Na verdade, o impulso não pode ser considerado como uma função. Para nós, entretanto, a 
descrição (1) acima será suficiente. 
O impulso possui a chamada propriedade de filtragem, que diz que
(2)
Essa propriedade será utilizada na sequência.
A Transformada de Laplace de alguns sinais elementares
A primeira transformada a ser calculada é a do impulso:
,
onde utilizamos a propriedade de filtragem definida em (2).
 
Módulo da Transformada de Laplace do impulso unitário, 
Outra transformada importante que calcularemos é a do degrau:
2
5
0
t
2
4-10
0
t
Módulo da Transformada de Laplace do degrau unitário, 
Podemos calcular também a transformada da exponencial decrescente, muito importante no estudo 
de sistemas dinâmicos:
Módulo da Transformada de Laplace de 
Outra transformada importante é a da senóide, particularmente fundamental para circuitos elétricos:
Módulo da Transformada de Laplace de 
3
Propriedades da Transformada de Laplace
Veremos agora algumas propriedades que a Transformada de Laplace obedece, qualquer que seja a 
função f (t).
Multiplicação por uma constante
Adição
Derivação
Podemos utilizar a integração por partes para resolver a integral acima. Fazendo
 e ,
temos:
Para que a transformada exista, temos que ter , de modo que
Seja agora . Suponha que queremos determinar a transformada de .
Temos que . Logo,
O raciocínio pode ser estendido para as derivadas superiores:
Integração
Podemos utilizar a integração por partes para resolver a integral acima. Com
 e 
temos:
 e 
4
Então,
Para que a transformada exista, temos que ter , de modo que
.
Deslocamento no Domínio do Tempo
Mudando a variável de integração, fazendo , temos
Deslocamento no Domínio da Frequência
Por exemplo, vimos que . Assim, a transformada de pode ser vista 
como um deslocamento na frequência em relação à transformada do degrau:
Mudança de Escala
Por exemplo, se soubermos que , poderemos rapidamente calcular
.
Exemplo 1
Queremos calcular a transformada da rampa amortecida: .
Solução
Sabemos que a transformada do degrau é . Pela propriedade da integração, a 
transformada da rampa é dada por:
Pela propriedade do deslocamento na frequência, a transformada da rampa amortecida é então:
.
5
Aplicação da Transformada de Laplace em Sistemas Dinâmicos
Vamos determinar a equação diferencial associada ao circuito RLC paralelo abaixo.
Circuito RLC paralelo
Em t=0 a chave é aberta, de modo que a corrente fornecida para o paralelo pode ser expressa 
por . Pela LKC, temos que:
Podemos aplicar a Transformada de Laplace aos dois lados da equação que a igualdade continua 
valendo:
Utilizando as propriedades da aditividade e homogeneidade da Transformada, temos
Considerando o capacitor descarregado em , temos . Logo, 
,
ou seja,
Então,
Repare que se soubermos como “voltar” com o sinal V(s) para o domínio do tempo de modo a 
determinarmos v(t), então teremos analisado o circuito elétrico sem ter que resolver a equação 
íntegro-diferencial. 
Podemos, então, destacar dois grandes atrativos da Transformada de Laplace: 
1o – Permite analisar um sistema mecânico ou circuito elétrico utilizando apenas equações 
algébricas, sem a necessidade de se resolver as equações diferenciais;
2o – Fornece uma interpretação frequencial para os sistemas dinâmicos que permite um 
entendimento mais amplo dos mesmos.
6
Idc LC
R
Exemplo 2
Vamos supor que o circuito acima é um apenas um RL paralelo, ou seja, faremos C=0. 
Então,
Nessa situação, podemos facilmente encontrar a transformada inversa de v(t). Isso porque V(s) 
possui uma forma conhecida. Como sabemos que podemos então afirmar que
Obviamente que esse resultado é o mesmo que encontraríamos se resolvêssemos a equação 
diferencial.
Exemplo 3
Considere o sistema mecânico abaixo, já visto em aula anterior. A força externa f(t) aplicada 
à massa m1 corresponde à entrada do sistema, xP é o deslocamento vertical da massa e xQ o 
deslocamento vertical do ponto Q. 
Na ocasião, determinamos as equações de movimento (modelo matemático) para o sistema como 
sendo constituído de duas equações diferenciais:
Vimos que uma dificuldade em se analisar esse sistema é que temos um sistema de equações 
diferenciais acopladas. Ou seja, não podemos resolver as equações sucessivamente, mas precisamos 
resolvê-las simultaneamente. Como veremos a seguir, a Transformada de Laplace facilita essa 
resolução.
Por uma questão de simplicidade, vamos supor que o sistema esteja em equilíbrio. Ou seja, as 
condições iniciais de posição e velocidade são nulas. Aplicando a Transformada de Laplace na 
primeira equação temos:
,
,
,
,
e finalmente,
(Eq.1).
7
Repetindo o mesmo procedimento para a segunda equação diferencial, temos
,
,
,
,
e finalmente,
(Eq.2).
Note que podemos substituir a expressão de XQ(s) da Eq. 2 na Eq. 1:
,
,
,
Mais uma vez, se soubermos como calcular a Transforma de Laplace inversa de XP(s), então 
obteremos a expressão de xP(t) e teremos resolvido o problema de análise. Observe que por uma 
simples substituição de variáveis (da expressãode XQ(s) da Eq. 2 na Eq. 1) teremos resolvido o 
sistema de equações diferenciais acopladas.
8
	Módulo da Transformada de Laplace do degrau unitário, 
	Módulo da Transformada de Laplace de 
	Outra transformada importante é a da senóide, particularmente fundamental para circuitos elétricos:
	þÿ
	Multiplicação por uma constante
	Adição
	Derivação
	Integração
	Deslocamento no Domínio do Tempo
	Deslocamento no Domínio da Frequência
	Mudança de Escala
	Exemplo 1
	Solução
	Circuito RLC paralelo
	Exemplo 2