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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
1 
 
 
 
 
1- TIPOS DE ESFORÇOS 
 
Uma força pode ser aplicada num corpo de diferentes maneiras, originando 
portanto, diversos tipos de solicitações, tais como: tração, compressão, 
cisalhamento, flexão e torção. 
 
Quando cada tipo se apresenta isoladamente, diz-se que a solicitação é 
SIMPLES. No caso de dois ou mais tipos agirem conjuntamente a solicitação é 
COMPOSTA. 
 
 
TRAÇÃO – solicitação que tende a alongar a peça no sentido da reta de ação 
da força aplicada. 
 
 
 
 
COMPRESSÃO – solicitação que tende a encurtar a peça no sentido da reta 
da força aplicada. 
 
 
 
 
CISALHAMENTO – solicitação que tende a deslocar paralelamente, em 
sentido oposto, duas seções de uma peça (força cortante). 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
2 
 
 
 
 
 
FLEXÃO – solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de uma peça. 
Ex.: uma barra inicialmente reta que passa a ser uma curva. 
 
 
 
 
TORÇÃO – solicitação que tende a girar as secções de uma peça, uma em 
relação às outras. 
 
 
 
 
SIMBOLOGIA DAS TENSÕES 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
3 
 
 
 
 
2- DEFORMAÇÃO 
 
A ação de qualquer força sobre um corpo altera a sua forma, isto é, provoca 
uma deformação. 
 
Com o aumento da intensidade da força, há um aumento da deformação. 
 
Existem dois tipos de deformação: Deformação Elástica e Deformação 
Plástica. 
 
Deformação Elástica - deformação transitória, ou seja, o corpo retomará suas 
dimensões iniciais quando a força for removida. 
 
 
Deformação plástica – deformação permanente, ou seja, o corpo não 
retornará para suas dimensões iniciais depois de cessado o esforço aplicado. 
 
 
O ponto que separa os dois tipos de deformações é o limite de escoamento. 
 
 
DEFORMAÇÃO UNITÁRIA ou DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA => (AXIAL) 
 
Deformação específica ( ) é a relação entre o alongamento total ( l 
o comprimento inicial ( l0 ). 
ou  ) e 
 
 
 
 
ou  
l 
l0 
ou  
l f  l0 
l0 
mm 
mm


[1.1] 
 
- é adimensional, ou seja, não tem unidade e pode ser expresso em 
porcentagem multiplicando por 100. 
0 
 

l 
a 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
4 
 
 
A 
  
F
 
 
 
 
 
 
 
3- TENSÃO 
 
É uma grandeza vetorial que foi introduzida na resistência dos materiais em 
1822, por Augustin Louis Cauchy. É definida como sendo a resistência interna 
de um corpo qualquer, à aplicação de uma força externa por unidade de área, 
ou seja, é a força por unidade de área. 
 
 
 
 
 
kgf 

2 

cm 
ou N = MPa
mm 
 
[1.2] 
 
onde: 
 => Tensão Normal uniforme que pode ser tração simples ou compressão 
simples 
 
F => Força aplicada ao corpo (kgf ou N) 
 
A => Área da seção transversal do corpo (cm2 ou mm2 ) 
 
 
2 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
5 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO TENSÃO DEFORMAÇÃO (  x ) 
 
 
4- DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO 
 
O ensaio de tração consiste em aplicar num corpo de prova uma força axial 
com o objetivo de deformá-lo até que se produza sua ruptura. 
 
 
 
Aumentando-se a tensão, a deformação também vai aumentando e os 
resultados da experiência podem ser mostrados por um gráfico ( x ), 
marcando em abscissas (eixo “X”) as deformações e em ordenadas (eixo “Y”) 
as tensões. 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
6 
 
 
 
 
No gráfico os pontos marcados significam respectivamente: 
 
Ponto P – Tensão Limite de Proporcionalidade (  p ) 
Abaixo deste ponto, a tensão é proporcional à deformação específica ( ) , 
portanto a Lei de Hooke, que estabelece que a tensão é proporcional à 
deformação, vale somente até este ponto. 
 
Ponto E – Tensão Limite de Escoamento (  e ) 
Caracteriza o ponto de escoamento, ou seja, a perda da propriedade elástica 
do material. 
Nos aços de médio e baixo teor de carbono, ocorre um visível alongamento do 
corpo-de-prova praticamente sem aumento da tensão. 
 
Ponto R – Tensão Limite de Resistência (  r ) 
É a maior tensão que o corpo-de-prova pode suportar antes de se romper. 
 
 
Obs.: conceitualmente pode-se admitir que  p =  e 
 
 
 
5- RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO 
 
MÓDULO DE ELASTICIDADE 
A Lei de Hooke (Robert Hooke 1678) estabelece que até a tensão limite de 
proporcionalidade ( p ), ou seja até o ponto P do Diagrama Tensão- 
Deformação, a tensão em um material é proporcional à deformação nele 
produzida. Devido a esta condição de proporcionalidade pode se escrever que: 
 
E    

MPa



[1.3] 
 
onde: 
 => Tensão de tração 
=> Deformação específica 
E => Módulo de elasticidade ou módulo de Young MPa (ver tabela 1) 
Obs.: Módulo de Elasticidade é a medida de rigidez do material: quanto maior 
o valor de “E” menor a deformação elástica e mais rígido é o material. 
  E.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
7 
 
 
 
 
Substituindo as expressões [1.1] e [1.2] na expressão [1.3] e ordenando, tem- 
se a equação [1.4] para a deformação total: 
 
  


l0 
 
 
[1.1] 
 
  
F
 
A 
 
  E.


[1.2] 
 
 
 
[1.3] 
 
 
 
 
 
mm [1.4] 
 
 
 
MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL 
Através de ensaios com corpos-de-prova submetidos a cisalhamento puro por 
torção, pode-se escrever que: 
 
MPa

[1.5] 
 
onde: 
=> Tensão de cisalhamento por torção MPa
=> Deformação angular ou distorção que é a alteração sofrida em um 
ângulo reto de um elemento rad 
G => Módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de elasticidade 
Transversal MPa (ver tabela 1) 
 
COEFICIENTE DE POISON 
As experiências demonstram que um material, quando submetido à tração, 
sofre além da deformação axial (alongamento), uma deformação transversal 
(afinamento). 
Poisson demonstrou que estas duas deformações eram proporcionais uma em 
relação à outra, dentro dos limites da Lei de Hooke (até o ponto P do Diagrama 
Tensão- Deformação). 
  G.
  
F.L 
E.A 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
8 
 
 
 
 
 
Esta constante é dada por: 
 
 
(adimensional) [1.6] 
 
 
onde: 
 
=> Coeficiente de Poisson (ver tabela 1) 
 
 
As três constantes se relacionam através da expressão: 
 
 
MPa




[1.7] 
 
 
 
 
TABELA 1 – PROPRIEDADES DE ALGUNS MATERIAIS 
 
 
Material 
Módulo de Elasticidade 
(MPa) 
“E” 
Mód. Elasticidade 
Transversal (MPa) 
“G” 
Coeficiente 
de Poisson 
“µ” 
Aços 210000 80000 0,30 
Alumínio 72400 26700 0,33 
Bronze 113200 42200 0,35 
Cobre 121300 45600 0,33 
Ferro 
Fundido 
Cinzento 
 
102000 
 
42200 
 
0,21 
Latão 108000 40800 0,32 
Madeira 
(Pinho) 
11200 4200 0,33 
a 
   

t
 
E  2.G1   
  
 DeformaçãoLTansversal 
DeformaçãoL Axial 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
9 
 
 
S 
  
 r 
S 
  
 r 
 
 
 
6- DIMENSIONAMENTO 
(TENSÕES ADMISSÍVEIS E COEFICIENTE DE SEGURANÇA) 
 
No dimensionamento dos elementos de máquinas, as peças a serem 
calculadas deverão suportar as cargas com segurança. Para isto, admitem-se 
apenas deformações elásticas, portanto, a tensão de trabalho fixada deve ser 
inferior à tensão de escoamento do material. 
 
A esta tensão que oferece a peça uma condição de trabalho sem perigo, 
chamamos de TENSÃO ADMISSÍVEL. 
 
Seu valor é determinado dividindo-se a tensão de resistência do material (  r 
ou  r ) por um coeficiente “S” chamado de COEFICIENTE DE SEGURANÇA. 
 
 
 
 
 
 
ou MPa [1.8] 
 
 
 
O coeficientede segurança é uma relação entre as tensões de resistência e 
admissível do material. 
 
Em princípio, o coeficiente de segurança é determinado levando-se em 
consideração diversos fatores parciais, tais como, fator em função da 
homogeneidade do material, fator em função do tipo de carga a ser aplicado, 
fator em função de causas desconhecidas, etc. 
 
Assim, a rigor o coeficiente de segurança é expresso da seguinte forma: 
 
S= S1xS2xS3......... 
 
Sendo: 
 
S - Coeficiente de segurança total 
 
S1, S2, S3, ..... – Fatores de segurança parciais 
 
Porém, para os nossos cálculos de resistência adotaremos os valores de 
coeficientes de segurança já consagrados pela prática, baseados na qualidade 
do material e no tipo de carga aplicada à peça. 
 
 
Os valores desses coeficientes já englobam todos os demais fatores acima 
referidos. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
10 
 
 
 
 
 
Tipos de Solicitações: Basicamente existem 4 tipos de cargas: 
 
- Carga Estática 
Ocorre quando uma peça está sujeita a carga constante, invariável ao decorrer 
do tempo e aplicada lenta e gradualmente. 
EX: Vigas 
 
 
- Carga Intermitente 
Ocorre quando uma peça está sujeita a uma carga variável de zero a um valor 
máximo, sempre com a mesma direção e sentido. 
EX: dentes das engrenagens. 
 
 
- Carga Alternada 
Ocorre quando uma peça está sujeita a uma carga variável na mesma direção, 
mas com sentido contrario. 
EX: Eixos Rotativos. 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
11 
 
 
 
 
 
-Carga de Choque 
Ocorre quando uma peça está sujeita a variação brusca ou a de choque. 
EX: Componentes de Prensas. 
 
 
 
Os valores de COEFICIENTE DE SEGURANÇA que serão utilizados estão 
representados na Tabela 2 abaixo: 
 
TABELA 2 
COEFICIENTE DE SEGURANÇA (S) * 
MATERIAL 
TIPOS DE CARGAS 
ESTÁTICA INTERMITENTE ALTERNADA CHOQUE 
Ferro Fundido 6 10 15 20 
Aço mole (até SAE-1030) 5 6 8 12 
Aço duro 4 6 8 12 
Madeira 8 10 15 20 
*EM RELAÇÃO À TENSÃO DE RESISTÊNCIA DO MATERIAL 
 
 
 
As propriedades mecânicas dos materiais que serão utilizadas na resolução 
dos exercícios propostos estão listadas na tabela 3. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
12 
 
 
 
 
TABELA 3 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DE ALGUNS MATERIAIS 
 
 
MATERIAL 
TENSÃO DE 
RESISTÊNCIA 
MPa
TENSÃO DE 
ESCOAMENTO 
NA TRAÇÃO 
MPa
 
ALONG. 
%
 
 
OBS.: 
 tr  cr  cr  te 
 
SAE-1010 350 350 260 130 33 
 
 
Aços carbono, 
recozidos ou 
normalizados. 
SAE-1015 385 385 290 175 30 
SAE-1020 420 420 320 193 26 
SAE-1025 465 465 350 210 22 
SAE-1030 500 500 375 230 20 
SAE-1040 580 580 435 262 18 
SAE-1050 650 650 490 360 15 
SAE-1070 700 700 525 420 9 
SAE-2330 740 740 550 630 20 Aços Ni, recozidos 
ou normalizados. SAE-2340 700 700 525 485 25 
SAE-3120 630 630 475 530 22 Aços Ni-Cr, 
recozidos ou 
normalizados. 
SAE-3130 680 680 510 590 20 
SAE-3140 750 750 560 650 17 
SAE-4130 690 690 520 575 20 Aços Cr-Mo, 
recozidos ou 
normalizados. SAE-4140 760 760 570 650 17 
SAE-4320 840 840 630 650 19 Aços Ni-Cr-Mo, 
recozidos ou 
normalizados SAE-4340 860 860 650 740 15 
SAE-5120 610 610 460 490 23 Aços Cr, recozidos 
ou normalizados SAE-5140 740 740 550 620 18 
SAE-8620 620 620 465 560 18 Aços Ni-Cr-Mo, 
recozidos ou 
normalizados SAE-8640 750 750 560 630 14 
AISI-301 770 770 580 280 55 
Aços inoxidáveis 
austeníticos 
AISI-302 630 630 470 248 55 
AISI-310 690 690 515 315 45 
AISI-410 490 490 370 264 30 
Aços inoxidáveis 
martensítico 
 
Fo.Fo. 
120 
à 
240 
600 
à 
850 
 
-- 
 
-- 
 
-- 
 
Ferro fundido 
Cobre 225 225 168 70 45 
Latão 342 342 255 120 57 
Bronze 280 280 210 -- 50 
Alumínio 180 180 135 70 22 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
13 
 
 
A 
t 
  
F
 
S 
  
 cr 
E.A 
  
F.L 
 
 
7- TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
 
FÓRMULA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO: 
 
 
 
 
MPa



 

onde: 
 => Tensão Normal uniforme que pode ser tração simples ou compressão 
simples 
 
F => Força aplicada ao corpo (N ) 
 
A => Área da seção transversal do corpo (mm2 ) 
CRITÉRIO DE PROJETO: 
 
 
 
Sendo: ou MPa



FÓRMULA DO ALONGAMENTO TOTAL: 
 
 
 
 
 
 
 
mm
F 



A 



 A 


F 
  
A 
c 
  
F
 
S 
  
 tr 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
14 
 
 

8- CISALHAMENTO PURO 
 
Esforço cortante simples desprezando a flexão. 
Ocorre quando uma peça é submetida a uma força F, atuando 
transversalmente ao seu eixo, produzindo um cisalhamento (corte). 
 
 
MPa




onde: 
 
=> Tensão de 
cisalhamento 
 
F => Força aplicada ao corpo (N ) 
 
A => Área da seção transversal do corpo (mm2 ) 
 
CRITÉRIO DE PROJETO: 
 
 
 
Sendo: MPa
As tensões de resistência ao cisalhamento ( cr 
 
), para os materiais em geral, 
obedecem aproximadamente a seguinte relação com referência à tensão de 
resistência à tração ( tr ): 
 
 cr  0,6 a 0,8 tr 
 c   c 
 
F 
A 
C 
 
 c r 
S 
 c 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
15 
 
 
D 
M 
F 
B 
B 
F 
M 
 
 
 
 
9- COMPRESSÃO SUPERFICIAL (ESMAGAMENTO) 
 
Se a carga “F” atua da maneira que se vê na figura abaixo, as partes “B” são 
tracionadas contra o rebite, ocasionando uma TENSÃO DE COMPRESSÃO 
NAS SUPERFÍCIES de contato “M”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Num caso como este, normalmente se usa a área projetada do rebite para o 
cálculo da compressão na superfície “M”, ao se aplicar a fórmula 
( c  F A ). 
 
Substitui-se então a superfície real que é um semicilindro por um retângulo de 
dimensões “t” e “D”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a Tensão de Compressão sobre a superfície será obtida por: 
 
 c  F A
   c  t.D MPa



Sendo “t” e “D” as dimensões da área projetada. 
D 
t 
t 
t 
F 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
16 
 
 
 
 
 
Observando a Figura, pode-se notar que as fibras da superfície do furo e as 
fibras da superfície do rebite estão comprimidas umas de encontro às outras, 
mas que a tensão de compressão devido à força “F” não atinge todo o rebite e 
nem se estende por toda a chapa. A esse tipo de esforço dá-se o nome de 
COMPRESSÃO SUPERFICIAL. 
 
Quando houver mais de um elemento (rebite ou parafuso) utiliza-se: 
 
 c F n.t.D MPa


Sendo “n” o número de elementos (parafuso ou rebite) em análise. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
17 
 
 
F 
 
 
LINHA 
NEUTRA 
 
b 
L 
 
 
10- FLEXÃO 
 
Ocorre quando uma barra é submetida a uma força F, atuando 
perpendicularmente ao seu eixo, produzindo uma flexão na barra. 
Flexão pura – desprezam-se as forças cortantes. 
 
 
 
 
 
MPa






onde: 
 
 f => Tensão de flexão 
M f => Momento fletor (N.mm) VER TABELA 6 
 
W f => Módulo de resistência à flexão (mm3 ) VER TABELA 5 
 
O Módulo de resistência à Flexão é a característica geométrica da seção de uma 
viga que se opõe à flexão, e é expresso como: 
 
 
 
I f 
a 
f W 
f W 
 
M f 
f 
a
 
 
 h
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
18 
 
 
 
 
 
 
onde: 
 
If => Momento de Inércia à flexão da seção transversal (mm4 ) VER TABELA 5 
a => Distância da linha neutra à fibra externa (mm) 
 
Exemplo de módulo de resistência à flexão (W f ): 
 
 
 
NOTA: As fórmulas de Momento de Inércia ( I f ) e Módulo de Resistência à 
Flexão (W f ) da maioriadas seções de uso prático na engenharia estão 
apresentadas na TABELA 5. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
19 
 
 
 
 
 
Tensão de Flexão: Na figura abaixo pode-se observar que uma viga ao se 
flexionar, as suas fibras situadas acima da LINHA NEUTRA se alongam, 
enquanto que as fibras inferiores, sofrem um achatamento, denotando uma 
compressão. Por outro lado, as fibras da camada neutra se mantêm 
inalteradas. 
 
 
 
Dessa forma, deduz-se que o corpo sujeito a um esforço de flexão sofre, 
simultaneamente, uma tensão de tração e outra de compressão. 
 
Consequentemente, para valores de tensões de resistência à flexão dos 
materiais, tomam-se os mesmos valores de tração ou de compressão, 
constantes na TABELA 3. 
 
Caso os valores das resistências à tração forem diferentes aos da compressão, 
para flexão toma-se o menor valor. 
 
 
 
 
 
 
DEFLEXÃO: Para todas as peças submetidas à flexão é necessário verificar a 
deflexão. A deflexão máxima atuante “f” é calculada utilizando-se as expressões 
da Tabela 6, e depende do tipo de apoio e carregamento. 
F 
 
 
LINHA 
NEUTRA 
 
+ 
 
- 
ou  cr  fr   tr 
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Prof. Luiz Gustavo 20 
 
 
 
 
 
 
Tensão de cisalhamento na flexão: Além das tensões normais (tração e 
compressão) que surgem numa seção transversal de uma viga fletida, 
aparecem também, tensões de cisalhamento ( c ). 
As tensões de cisalhamento não se distribuem uniformemente sobre a seção 
transversal, quando ela age em conjunto com a Tensão de Flexão. Ela pode 
ser calculada através da expressão: 
 
 
Onde: 
 
M s  Momento estático da área. 
Q  Esforço cortante 
I f  Momento de inércia à flexão 
b  Largura da seção resistente 
 
DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO NA SEÇÃO RESISTENTE 
DE UMA BARRA SUJEITA À FLEXÃO: 
 
SEÇÃO RETANGULAR 
 
 
 
c máx 
 50% maior que 
 c simples 
 
 
 
 
SEÇÃO CIRCULAR 
 
 
 
 
VERIFICAÇÃO: 
 
c máx 
 33% maior que 
 c simples 
 

máx 
  c 
3 A 
 
4 
. 
Q 
c máx 

f b.I 
s Q.M c 
2 A 
 
3 
. 
Q 
c máx 

c 
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Prof. Luiz Gustavo 21 
 
 
 
 
 
 
TABELA 5 – MOMENTO DE INÉRCIA À FLEXÃO, MÓDULO DE 
RESISTÊNCIA À FLEXÃO E RAIO DE GIRAÇÃO 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Prof. Luiz Gustavo 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Prof. Luiz Gustavo 23 
 
 
 
 
 
TABELA 6 – FÓRMULAS RELATIVAS À FLEXÃO DE VIGAS DE SEÇÕES 
CONTÍNUAS 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Prof. Luiz Gustavo 24 
 
 
 
 
11- EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Prof. Luiz Gustavo 25 
 
 
 
 
 
CONVENÇÃO DE SINAIS 
 
 
MOMENTO NO PONTO 
 
 
 
 
 
 
FORÇAS NORMAIS 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
- 
 
 
OBS.: 
 
 
 
+ 
- 
+ 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Prof. Luiz Gustavo 26 
 
 
 
 
 
APOIOS 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Prof. Luiz Gustavo 27 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE ESTRUTURAS 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Prof. Luiz Gustavo 28 
 
 
 
 
 
 
12- DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 
DISPOSIÇÃO DAS CARGAS 
 
CARGA CONCENTRADA: quando a carga age sobre um ponto da viga. 
 
 
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA: quando a carga se distribui 
igualmente ao longo da viga 
 
 
 
 
CONVENÇÃO DE SINAIS 
 
 
FORÇA NORMAL (N) 
 
+ 
 
- 
COMPRESSÃO 
 
TRAÇÃO 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Prof. Luiz Gustavo 29 
 
 
 
 
FORÇA CORTANTE (Q) 
 
 
 
 
 
 
MOMENTO FLETOR (Mf) 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Prof. Luiz Gustavo 30 
 
 
 
 
 
13- TORÇÃO 
 
Ocorre quando uma barra é submetida a uma força P, agindo no plano 
perpendicular ao eixo da barra, que tende a girar cada seção transversal em 
relação às demais, produzindo uma torção, que por sua vez causará uma 
deformação ( ) que chamamos de ângulo de torção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MPa



onde: 
 
 t => Tensão de torção 
 
M t => Momento torçor (N.mm) 
 
 
onde: 
F => Força aplicada (N) 
x => Distância entre a força aplicada e o 
centro de torção da peça (mm) 
M t  F.x 
F 
Mt 
LINHA NEUTRA 
L 
Wt 
t M t 
x
 
R
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Prof. Luiz Gustavo 31 
 
 
 
 
 
 
 
Wt => Módulo de resistência à torção ou (mm3 ) VER TABELA 8 
Módulo de resistência polar 
 
O Módulo de resistência polar é a característica geométrica da seção de uma viga 
que se opõe à torção, e é expresso como: 
 
 
onde: 
 
It => Momento de Inércia polar da seção transversal (mm4 ) VER TABELA 8 
R => Distância da linha neutra à fibra externa (mm) 
Exemplo de módulo de resistência à torção (Wt ): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: As fórmulas de Momento de Inércia Polar ( It ) e Módulo de 
Resistência Polar (Wt ) da maioria das seções de uso prático na engenharia 
estão apresentadas na TABELA 8. 
O Momento torçor pode ser obtido também pela seguinte fórmula: 
 
 
(N.mm) 
 
onde: 
 
N = potência que aciona o eixo (W) 
n = rpm do eixo 
n 
t 
M  9550. 
N
 
R 
t 
t I W 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
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  
Mt .L 
G.It 
 
 
É importante observar que as tensões de torção no corpo equivalem às 
tensões de cisalhamento. 
 
Portanto, para as tensões de resistência à torção dos diferentes materiais, 
tomam-se os valores das tensões de resistência ao cisalhamento, TABELA 3, 
dos respectivos materiais. 
 
 
 
ÂNGULO DE TORÇÃO DA SEÇÃO RESISTENTE 
 
F 
() 
 
 
Mt 
 
 
 
 
L 
 
 
O ângulo de torção ( ) poderá ser determinado pela seguinte expressão: 
 
 
 
(graus) 
 
 
 
 
(rad ) 
 
 
onde: 
 
=> Ângulo de torção 
 
M t => Momento torçor (N.mm) 
 
L => Comprimento da peça (mm) 
G => Módulo de Elasticidade Transversal MPa



VER TABELA 1 
 
It => Momento de Inércia polar da seção transversal (mm4 ) VER TABELA 8 
  cr  tr 
 .G.It 
  
180.M t .L 
x
 
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G 
  
t
 
 
 
DISTORÇÃO ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(rad ) 
 
onde: 
 
=> Distorção 
 
 t => Tensão de torção MPa

G => Módulo de Elasticidade transversal MPa
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
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



TABELA 8 – MOMENTO DE INÉRCIA POLAR E MÓDULO DE RESISTÊNCIA 
POLAR 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
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F 
 
 
 
 
 
 
EIXO DE MENOR 
MOMENTO DE INÉRCIA 
I=b.h3/12 
 2 .E.A 
2 
Fcr 
 
 
14- FLAMBAGEM 
 
14.1- DEFINIÇÃO 
 
A flambagem consiste na deformação de uma peça, causada por uma 
força de compressão axial, como ilustrada na figura abaixo. Como 
conseqüência, a peça pode perder a sua estabilidade (sofrer um colapso) sem 
que seu material atinja o limite de escoamento. 
 
Este colapso sempre ocorrerá na direção do eixo de menor momento de 
inércia de sua seção transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.2- CARGA CRÍTICA ( FCR ) 
 
Denomina-se carga crítica, a carga axial que faz com que a peça venha 
a perder a sua estabilidade e comece a flambar. 
 
 
Portanto, se 
flambagem. 
F  Fcr , não ocorre flambagem,e se F  Fcr , ocorre 
 
Euler (1707-1783) foi o primeiro a estudar o fenômeno, e determinou a 
fórmula da carga crítica nas peças carregadas axialmente. 
 
 
 
 
 
Fcr 
 
 
 
 
=> Carga crítica (N) 
N 

eq. 1 (CARGA CRÍTICA) 
E => Módulo de elasticidade do material ( MPa ) - Aço= 210.000 MPa 
A => Área da seção transversal ( mm2 ) 
 => Índice de esbeltez (adimensional) 
L
 
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R 
  
l f
 
I f 
A 
f 
 
 
onde 
 
Índice de Esbeltez (  ) => mede a facilidade ou a dificuldade que um elemento 
comprimido tem de flambar e é definido como sendo a relação entre o 
comprimento de flambagem ( l f ) e o raio de giração ( R ) da seção transversal 
da peça. Uma peça é esbelta quando seu comprimento é grande perante sua 
seção transversal. Quanto maior o índice de esbeltez maior a probabilidade do 
elemento flambar. 
 
 
 
 
(ÍNDICE DE ESBELTEZ) 
 
Onde: 
 
l f => Comprimento de flambagem (mm) 
R => Raio de giração (mm) 
e 
 
 
 
(RAIO DE GIRAÇÃO) TABELA 6 
 
Onde: 
 
I => Menor momento de inércia da seção (mm4) 
MIN 
A => Área da seção (mm2) 
Substituindo 2 , na equação 1, tem-se: 
2  
l f
 
R 2 
 

R 
2  


2 
I
 
  
f
 
 
 
 
 

2  
l f
  
l f
 
2 
.A 
I f I f 
 
A 
f
MÍN 
A 
I 
R 
2 
A 
2 
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f 
f 
 
 
 2 .E.A 
F 
  
 2 .E.A 
 
 2 .E.A.I 
 
f
 
 2 .E.I 
 
f
 
 
cr 
2
 
l 
2 
.A 
 
 
 
l 
2 
.A l 
I f 
 
 
 
 
N  eq. 2 (CARGA CRÍTICA) 
 
 
 
14.3- COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM ( l f ) 
 
Em função do tipo de fixação das suas extremidades, a peça apresenta 
diferentes comprimentos de flambagens: 
 
2 
l f 
cr 
f
MÍN 
 2 .E.I 
F 
2 
f 
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A 
 
F
cr 
fl 
2 
 
 2 .E 
fl 
fl 
A 
c 
F 
   
 
 
 
 
14.4- CONDIÇÕES PARA USO DA FÓRMULA DE EULER 
 
A fórmula de Euler é válida para colunas esbeltas, onde : 
 
  105 
  80 
  59 
  100 
=> Aço-carbono 
=> FoFo 
=> Alumínio 
=> Madeira 
 
OBS.: se   30.a.40 não existe flambagem. 
 
 
 
14.5- TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM ( fl ) 
 
Tensão Crítica de Flambagem é a tensão que faz com que a peça perca 
a sua estabilidade e comece a flambar. 
A tensão crítica deverá ser menor ou igual à tensão de 
proporcionalidade (abaixo do escoamento) do material. Desta forma, observa- 
se que o material deverá estar sempre na região de deformação elástica. 
  

=> MPa (EQUAÇÃO DE EULER) 
 
 
 
CRITÉRIO 
 
 
OBS.: Para que em uma barra não ocorra a flambagem, o valor de tensão 
desenvolvido pela força de compressão atuante deve ser menor que o da 
Tensão Admissível Crítica de Flambagem ( fl ), isto é: 
 
 
onde 
 
fl 
  
proporcionalidade 
 
 fl 
S 
 fl 
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DIMENSIONAMENTO 
 
 
 
 
- NORMA ABNT NB-14 - AÇOS 
 
TABELA 1 – Expressões para aços, segundo ABNT NB-14 
Índice (  ) Material  fl (MPa) 
  105 Aço 
 fl  240  0,0046.2 
  105 (Euler – def. elástica) Aço   
 2 .E 
fl 
2
 
 
 
- DIMENSIONAMENTO ESPECIAL – FLAMBAGEM NO CAMPO DAS 
DEFORMAÇÕES ELASTO-PLÁSTICAS 
 
Quando a tensão de flambagem ultrapassa a tensão de 
proporcionalidade do material, a fórmula de Euler (colunas delgadas) perde a 
sua validade. Para estes casos, utiliza-se o estudo de Tetmajer (colunas 
curtas) que indica: 
 
TABELA 2 – Expressões de Tetmajer para colunas curtas 
Índice (  ) Material  fl (MPa) 
  100 Madeira (pinho)  fl  29,3  0,194.
  80 Fofo cinzento 
 fl  776  12.  0,053.2 
  89 Aço duro  fl  335  0,62.
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ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
 
FIGURA FÓRMULA 
 
 
 
A  b.h 
 
 
 
 
 
 
 
 
A  a 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 .D 2 
A 
4 
 
 
 
 
 
 .D 2  d 2 

4 
h
 
 
a
 
A 
 
 
b 
 
 
 
 a 
 
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ALFABETO GREGO