lista 1 Geometria Analítica

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Serviço Público Federal - Ministério da Educação 
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica 
Instituto Federal de Alagoas – IFAL - Campus Maceió 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
 
PROFESSOR: Gilmar Teodozio 
DISCIPLINA: Geometria Analítica 
CONTEÚDOS: Segmentos Orientados, Vetores, Operações com Vetores, Ponto Médio, Baricentro, 
Equação da Circunferência e Equação da Esfera, Bases e Espaços Vetoriais, versor, projeção, paralelismo 
e ortogonalidade, produto escalar ou interno, produto vetorial, produto misto e suas aplicações. 
 
1. Encontre o vetor representado pelo segmento de reta orientado com origem e extremidade, 
respectivamente, nos pontos: 
a) (-1,2,0) e (4,-1,7) 
b) (4,-1,5) e (8,6,-1) 
 
2. Encontre a norma dos vetores, o vetor unitário (vesor) e o ponto médio entre os pontos da questão 
anterior. 
 
3. Encontre os comprimentos dos lados do triângulo PQR. Classifique-o quanto aos lados e quanto aos 
ângulos. 
a) P(3,-2,-3), Q(7,0,1) e R(1,2,1) 
b) P(2,-1,0),Q(4,1,1) e R(4,-5,4) 
 
4. Verifique se os pontos estão em uma mesma reta. 
a) A(2,4,2), B(3,7,-2) e C(1,3,3) 
b) D(0,-5,5), E(1,-2,4) e F(3,4,2) 
 
5. Determine x ∊ R de modo que os vetores �⃗� =< 4,−3, 0 > e 𝑣 =< 𝑥, 1, −2 > sejam perpendiculares 
ou ortogonais. 
 
6. Seja A(-2,3,1), B(0,1,2) e C(4,2,-3), calcule o cosseno do ângulo Ɵ = ∠(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗). 
 
7. Determine a projeção ortogonal do vetor �⃗� =< 3,2,1 > na direção do vetor 𝑣 =< 2,2, −1 >. 
 
8. Determine a distância entre (3,7,-5) e cada um dos seguintes. 
a) plano xy b) plano yz c) plano xz d) plano x e) plano y f) plano z 
 
9. Determine a equação da esfera com centro em (0,1,-1) e raio 4. Qual é a intersecção dessa esfera com 
o plano yz? 
 
10. Determine a equação da esfera com centro em (2,-6,4) e raio 5. Descreva sua intersecção com cada 
um dos planos coordenados. 
 
11. Determine a equação da esfera que passa pelo ponto (2,-3,1) e tem centro em (0,-2,-1). 
 
12. Determine uma equação da esfera que passa pelo ponto (-3,2,-1) e tem centro na origem. 
 
13. Verifique se as equações abaixo, representam ou não a equação de uma esfera e em caso afirmativo 
encontre o raio e as coordenadas do centro. 
a) x2 + y2 + z2 – 4x + 6y – 2z = 11 
 
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b) x2 + y2 + z2 + x + y + z = 0 
 
14. Encontre uma equação de esfera que tenha um diâmetro com extremidades dadas por (2,1,4) e 
(4,3,10). 
 
15. Dados os pontos A(-1,2) e B(2,0) de um sistema de eixos ortogonais. Pergunta-se: 
a) Qual figura geométrica é formada por todos os segmentos orientados com mesma origem e mesma 
norma do segmento orientado 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗? 
b) Qual a equação do lugar geométrico dos pontos obtidos pelas extremidades finais dos vetores do item 
a. 
 
16. Verifique se as equações abaixo, representam ou não, a equação de uma circunferência. Em caso 
afirmativo, determine o centro e o raio da mesma. 
a) x2 + y2 – 10x + 2y = 0; 
b) x2 + y2 + 3x – 5y + 1 = 0; 
c) x2 + y2 = 4y – 8x. 
 
17. Se 𝑎 =< 4,0,3 > e �⃗� =< −2,1,5 >, determine |𝑎 | e os vetores 𝑎 + �⃗� , 𝑎 − �⃗� , 3�⃗� e 2𝑎 + 5�⃗� . 
 
18. Se 𝑎 = 𝑖 + 2𝑗 − 3�⃗� e �⃗� = 4𝑖 + 7�⃗� , escreva o vetor 2𝑎 + 3�⃗� em função de 𝑖 , 𝑗 e �⃗� . 
 
19. Se os vetores 𝑎 e �⃗� têm módulos 4 e 8, o ângulo entre eles é 
𝜋
3
. Determine: 
a) |𝑎 + �⃗� | 
b) |𝑎 − �⃗� | 
 c) 𝑎 ∙ �⃗� . 
 
20. Mostre que 2𝑖 + 2𝑗 − �⃗� é perpendicular a 5𝑖 − 4𝑗 + 2�⃗� . 
 
21. Verifique se cada ponto abaixo pertence, se é interior ou exterior ao círculo C: x2 + y2 = 2x – 6y. 
a) (-2,1) b) (4,-2) c) (1,-2) 
 
22. Analise se os vetores �⃗� = 〈−1,2〉 e 𝑣 = 〈0,−4〉, podem ou não formar uma base do R2. 
 
23. Determine os valores de λ ∊ ℛ para os quais os pontos A, B e C são colineares, onde: 
a) A(2,-1), B(1,2) e C(λ,-λ-1); 
b) A(4,0), B(0,-2) e C(2+2λ,-1+λ) 
 
24. Dados os pontos A(-1,3,0), B(0,-2,4) e C(1,-1,2). Determine: 
a) as coordenadas do vetor 𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗; 
b) O ponto médio entre B e C; 
c) O baricentro do triângulo ABC; 
d) 0 ponto D tal que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ≡ 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗; 
e) classifique o triângulo ABC, quanto aos lados e quanto aos ângulos; 
f) o vetor simétrico de 𝑣 ; 
g) o verso de 𝑣 . 
 
25. Encontre as equações das esferas com centro (2, _3, 6) que toquem 
 
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a) o plano xy; b) o plano yz; c) o plano xz. 
 
26. Considere os pontos P tais que a distância de P para A(-1, 5, 3) seja o dobro da distância de P para 
B(6,2, -2). Mostre que o conjunto desses pontos é uma esfera e determine seu raio e centro. 
 
27. Determine uma equação para o conjunto de pontos equidistantes dos pontos A(-1, 5, 3) e B(6, 2, -2). 
Descreva o conjunto. 
 
28. Ache um vetor que possui a mesma direção e o mesmo sentido que <-2, 4, 2> mas tem comprimento 
6. 
 
29. 
(a) Desenhe os vetores 𝑎 = 〈3,2〉, �⃗� = 〈2,−1〉 e 𝑐 = 〈7,1〉. 
(b) Mostre, por um esboço, que existem escalares s e t tais que 𝑐 = 𝑠𝑎 + 𝑡�⃗� . 
(c) Use o esboço para estimar os valores de s e t. 
(d) Determine os valores exatos de s e t. 
 
30. Utilize vetores para demonstrar que uma reta unindo os pontos médios de dois lados de um triângulo 
é paralela ao terceiro lado e tem metade de seu comprimento. 
 
31. Se os vetores 𝑎 e �⃗� têm módulos 4 e 6 e o ângulo entre eles é 
𝜋
3
, determine: 
a) 𝑎 ∙ �⃗� b) |𝑎 + �⃗� | c) |𝑎 − �⃗� | 
 
32. Determine o ângulo entre os vetores 𝑎 = 〈2,2, −1〉 e �⃗� = 〈5,−3,2〉. 
 
33. Mostre que 2i + 2j - k é perpendicular a 5i - 4j + 2k. 
 
34. Determine os ângulos diretores do vetor 𝑎 = 〈1,2,3〉. 
 
35. Determine a projeção escalar de �⃗� = 〈1,1,2〉 sobre 𝑎 = 〈−2,3,1〉. 
 
36. Uma força é dada pelo vetor F = 3i + 4j + 5k move uma partícula do ponto P(2,1,0) para o ponto 
Q(4,6,2). Determine o trabalho realizado. 
 
37. Um vendedor vende a hambúrgueres, b cachorros-quentes e c refrigerantes em um determinado dia. 
Ele cobra $ 2 pelo hambúrguer, $ 1,50 pelo cachorro-quente e $ 1 pelo refrigerante. Se A = <a, b, c> e P 
=<2; 1,5; 1>, qual o significado do produto escalar A.P? 
 
38. Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois. 
a) 𝑎 = 〈−5,3,7〉 e �⃗� = 〈6,−8,2〉 b) �⃗⃗� = - i + 2j + 5k e �⃗� = 3i + 4j – k 
 
39. Use vetores para decidir se o triângulo com vértices P(1, _3, _2), Q(2, 0, _4) e R(6, _2, _5) é retângulo. 
 
40. Se um vetor tem ângulos diretores 𝛼 =
𝜋
4
 e 𝛽 =
𝜋
3
, determine o terceiro ângulo diretor Ɣ. 
 
41. A figura abaixo é construída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é 
verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 
 
 
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a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ≡ 𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ b) 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ≡ 𝑃𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ c) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ≡ 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ d) 𝐵𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗ ≡ −𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e) 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ ≡ −𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
f) 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗ ≡ 𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ g) 𝐾𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≡ 𝐹𝐼⃗⃗⃗⃗ h) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗//𝐻𝐼⃗⃗ ⃗⃗ i) 𝐽𝑂⃗⃗⃗⃗ //𝐿𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ j) 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ //𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ k) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
l) 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⊥ 𝐵𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗ m) 𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ n) 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ o) 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ p) ‖𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = ‖𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗‖q) ‖𝐼𝐹⃗⃗⃗⃗ ‖ = ‖𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ‖ r) ‖𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ ‖ = ‖𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ s) ‖𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = 2‖𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ t) ‖𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ‖ = ‖𝐵𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ 
 
42. A figura representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das 
afirmações: 
 
 
 
 
 
a) 𝐷𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≡ 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ b) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ≡ −𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ c) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ d) 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ e) ‖𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = ‖𝐻𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ 
 f) ‖𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = ‖𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ g) 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗//𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ h) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ são coplanares. 
 
43. Com base na figura da questão 41, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no 
ponto A. 
a) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ b) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ c) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ d) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ e) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗ f) 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐵𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
g) 𝐴𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ h) 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ i) 𝑀𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ j) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ k) 𝐿𝑃⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
l) 𝐵𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
A B C D 
E 
F 
G 
H I J 
K 
L M N 
O P 
A B 
C D 
E 
F 
G H 
 
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44. Com base na figura da questão 42, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no 
ponto A. 
a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ b) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ c) 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ d) 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ e) 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ f) 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
g) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ h) 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐹𝐻⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
45. Verifique se os pontos estão em uma mesma reta. 
a) A(2,4,2), B(3,7,-2) e C(1,3,3) 
b) D(0,-5,5), E(1,-2,4) e F(3,4,2) 
 
46. Determine x ∊ R de modo que os vetores �⃗� =< 4,−3, 0 > e 𝑣 =< 𝑥, 1, −2 > sejam perpendiculares 
ou ortogonais. 
 
47. Seja A(-2,3,1), B(0,1,2) e C(4,2,-3), calcule o cosseno do ângulo Ɵ = ∠(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗). 
 
48. Mostre que 2𝑖 + 2𝑗 − �⃗� é perpendicular a 5𝑖 − 4𝑗 + 2�⃗� . 
 
49. Determine os valores de λ ∊ ℛ para os quais os pontos A, B e C sejam colineares, onde: 
a) A(2,-1), B(1,2) e C(λ,-λ-1); 
b) A(4,0), B(0,-2) e C(2+2λ,-1+λ) 
 
50. Determine a norma da projeção ortogonal do vetor �⃗� = 〈3,2〉 na direção do vetor 𝑣 = 〈2,2〉. 
 
51. Determine a área do paralelogramo ABDC, onde A = (1,2), B = (3,1) e C = (4,1). 
 
52. Calcule a área do triângulo de vértices A = (4,2), B = (6,1) e C = (3,2). 
 
53. Determine os valores de 𝑛 de modo que a área do triângulo ABC de vértices A(1,2), B(3,𝑛+2) e C(𝑛-
1,1) seja igual a 
1
2
. 
 
54. Determine os valores de x e y de modo que o vetor �⃗� = 〈𝑥, 𝑦, 1〉 tenha norma igual a √3 e seja 
perpendicular ao vetor 𝑣 = 〈1,3,4〉. 
 
55. Determine o produto vetorial �⃗� × 𝑣 , onde �⃗� = 〈2,−1,3〉 e 𝑣 = 〈0,−2,1〉. 
 
56. Sejam A(2,0,1), B(0,2,-1) e C(1,1,1) pontos do espaço. Calcule a área do paralelogramo que tem como 
arestas adjacentes os segmentos AB e AC. 
 
57. Encontre os valores de n ∈ ℝ para os quais os vetores �⃗� = 〈2,0, 𝑡〉 e 𝑣 = 〈𝑡, 0,2〉 sejam colineares. 
 
58. Considere os pontos O(0,0,0), P(1,2,0), Q(3,1,1) e R(1,-1,1). Encontre a área externa do tetraedro cujos 
vértices, são O, P, Q e R. 
 
59. Verifique se os pontos A(1,2,1), B(4,1,2), C(3,3,3) e D(0,4,2) são coplanares. 
 
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60. Mostre que os vetores �⃗� = 〈1,0,2〉, 𝑣 = 〈2,1,0〉 e �⃗⃗� = 〈3,1,1〉 são LI, e calcule o volume do 
paralelepípedo cujas arestas adjacentes são representantes dos vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� . 
 
61. Determine para quais valores de m o paralelepípedo de vértices A(1,1,1), B(2,3,4), C(5,2,-1) e D(1,2,m) 
tem volume igual a 14.