lista1 de Introdução à Teoria de Controle

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Fundamentos da Teoria de Controle
— Exercícios Prova 1 —
(1) Para os sistemas descritos pelas equações diferenciais abaixo, encontre a função de trans-
ferência entre a entrada u e a saída y1:
a)
y˙1 + ay2 + by1 = u,
y¨2 + cy2 − y1 = 0.
b)
x˙1 = −x1 + 2x3,
x˙2 = −x1 − x2 + 3x3,
x˙3 = −x2 − x3 + u,
y1 = x1 + 2x2 + x3.
c)
y˙1 = −y1 + 2y2 − y˙2,
y¨2 = −y2 − y˙2 + u.
d)
y˙1 + 2y2 + y˙2 + y1 = 0,
y¨2 + y2 − y1 = 2u.
(2) Para os sistemas com as funções de transferência abaixo, encontre as expressões temporais
para a resposta a uma entrada de degrau unitário, U(s) = 1
s
.
a)
Y (s)
U(s) =
3
2s+ 1
b)
Y (s)
U(s) =
s2 + 1
(s+ 2)(s+ 3)(s+ 1)
c)
Y (s)
U(s) =
3s+ 2
(s+ 1)2(s+ 3)
d)
Y (s)
U(s) =
s+ 1
(s+ 2)(s+ 3)
e)
Y (s)
U(s) =
2s+ 1
(s+ 1)(s+ 2)
(3) Encontre as matrizes A e B dos modelos linearizados no espaço de estados para os sistemas
descrito pelas equações diferenciais abaixo. Utilize como vetor de estados x =
[
x1 x2 x3
]T
e
realize a linearização na condição de equilíbrio x1 = x¯1, x2 = x¯2, x3 = x¯3 e u = u¯.
a)
x˙1 + ax21 + b exp(x2) = u,
x˙2 + cux1 + dx2 + x3 = 0,
x˙3 + x1 + x3 = 0.
b)
x˙1 = −2x1 + 2x2 + u,
x˙2 = x1(3− x3)− x2,
x˙3 = x1x2 − x3 + x33u.
c)
x˙1 = −x2 − x3 + ux31,
x˙2 = x1 + ax2 − u,
x˙3 = b+ x3(x1 − c) + au2.
(4) Para o sistema massa-mola-amortecedor abaixo, encontre as matrizes A, B, C e D do
modelo no espaço de estados para o sistema abaixo, com v1 = p˙1, v2 = p˙2, v3 = p˙3, o vetor de
estados dado por x =
[
p1 p2 p3 v1 v2 v3
]T
e a saída y = [p2].
k3
c2
m
k
p
c1
1
11
m2
1 p2
k2
m
p
3
3
u
(5) Para o sistema massa-mola-amortecedor abaixo, encontre a funcão de transferência entre a
força de entrada u e a posição p1 da massa m1.
k2
m
k
p
c1
1
11
1 p2
um2
(6) Na figura abaixo temos um sistema de controle PD com uma estrutura que minimiza um
efeito chamado chute derivativo. O sistema de controle tem dois parâmetros, Kp e Kd. Para
esse sistema, encontre a função de transferência da malha fechada, Y (s)
R(s) .
R(s) + Kp +
2
s(s+ 1)
Kds
− Y (s)−
(7) Para o sistema de controle com realimentação unitária representado abaixo, encontre a
função de transferência Y (s)
R(s) .
R(s) + K
1
s+ 2
Y (s)−
Formulário
Transformadas de Laplace unilateral:
L{exp(−at)} = 1
s+ a, L{1} =
1
s
, L{x˙(t)} = sX(s)− x(0),
L{exp(at)x(t)} = X(s− a), L{tn} = n!
sn+1
, L{exp(at)tn} = n!(s− a)n+1 .