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UFF - Universidade Federal Fluminense
Niterói, 15 de dezembro de 2016
Laboratório: Circuito RLC: Frequência de ressonância
RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL II
Objetivo 
Através de um circuito RLC ligado a um osciloscópio e um gerador de função iremos analisar a diferença de fase entre a fonte E(t) e a tensão Vr(t) no resistor e logo após, a sua freqüência angular de ressonância.
Introdução
Nesta experiência será analisado o circuito formado por um resistor R, um capacitor C e um indutor L ligados em séries e conectados a um gerador de funções que fornece uma tensão senoidal, como mostra a ilustração abaixo:
Utilizando a lei das malhas no circuito, temos:
L (d²q/dt²) + R (dq/dt) + q/C = ε(t),
onde:
ε(t) = εm sen ωt
εm: amplitude máxima
ω: frequência angular
Solucionando a equação de lei das malhas obtém-se o seguinte valor da corrente i(t):
 i(t) = im sen (ωt – Ф) 
no qual Ф é uma medida da defasagem de tempo em que i(t) e ε(t) são máximos. Seu valor é dado por:
Ф = arc tan [(Xl - Xc)/R] 
Duas funções de equações f(t) = a . sen(ωt) e g(t) = a . sen(ωt – Ф) (as amplitudes não devem ser necessariamente iguais) de mesmo período T. Se elas estão defasadas por um tempo t, então os valores das funções serão máximos e mínimos em momentos distintos e |Ф| = 2π . (t/T) (já que 2 π é uma defasagem de tempo igual a 1 período). Desta forma, poderá ser obtido uma valor experimental de Ф através da devida leitura de um osciloscópio. 
Já im é a amplitude da corrente, cujo valor é:
im = εm / Z,		(5)
no qual Z é a impedância do circuito, o qual é dado por:
Z = (R² + (Xl – Xc)²)^(1/2),		(6)
no qual Xl = ωL e Xc = 1/(ωC) . Estes são chamados de reatância capacitiva e reatância indutiva, respectivamente.
De acordo com a lei de Ohm — e utilizando as equações (2) e algumas identidades trigonométricas —, as ddps nos terminais do resistor, capacitor e indutor serão, respectivamente:
Vr(t) = i(t) R = R im sen (ωt – Ф)		(7)
VC(t) = i(t) (q/C) = i(t) (∫idt/C) = (1/ωC) im sen (ωt – Ф – (π/2))		(8)
Vl(t) = L (di/dt) = (ωL) im sen (ωt – Ф + (π/2))		(9)
De (5) e (6), percebe-se que a amplitude da corrente será máxima quando o valor da impedância Z for mínimo, ou seja, quando:
Xl – Xc = 0		(10)
Com os valores de R, L e C fixos, a diferença entre reatâncias só será nula quando a frequência ω do gerador de funções tiver uma valor específico. De (10), é possível encontrar tal valor:
ωr = (LC)^(-1/2)	(11)
Nesta frequência, chamada de frequência de ressônancia, além da amplitude da corrente ser máxima, este também fica em fase com a tensão gerada pela fonte, pois, pela equação (4), o valor de Ф será nulo.
Além disso, de acordo com a expressão (7), a defasagem entre Vc(t) e ε(t) também será nula na frequência de ressonância. Logo, quando ω for igual a ωr, as funções Vc(t) e ε(t) terão máximos e mínimos absolutos em t iguais. Se utilizarmos um osciloscópio para medir as tensões da fonte e do resistor e for verificada a condição anterior, então será possível obter a frequência de ressonância fr através da medicão do período T, o qual é justamente o inverso da frequência.
Também é importante ressaltar que o valor da defasagem entre Vr e Vc é fixo e igual a π/2 (ou seja, não depende da frequência da fonte), o que é mostrado pelas equações (7) e (8).
Metodologia utilizada no experimento
Na primeira parte desse experimento, queremos verificar a diferença de fase entre ε(t) e a tensão Vr(t) no resistor. Para isso, montamos o circuito RLC com o osciloscópio de tal forma que nele fossem gerados os gráficos Vr x t e ε x t. Com eles, verificamos que entre ε e Vr havia uma defasagem de t = 0,37 ms. 
Com o valor de t, obtemos o valor experimental Ф através dos seguintes cálculos:
|Ф| = 2π . (t/T)
|Ф| = 2π . (0,37/2)
|Ф| = 2π . (0,37/2) = 1,16 rad = 66,5°
Vamos agorar o valor obtido experimental com o teórico. Para o cálculo deste último, iremos necessitar dos seguintes dados: 
R = 600 ± 25Ω
L = 5,00 mH
C = 0,22 µF
f= 500 Hz
Ф = arc tan [(Xl - Xc)/R]
Ф = arc tan [(15,7-1446,9)/600]
Onde:
Xl = WL=2πfL = 15,7 Ω
Xc = 1/WC= 1446,9 Ω
Portanto, o valor teórico de Ф é:
Ф = arc tan (-2,38)
Ф = - 67,2°
Como Xc > Xl, Ф é negativo, o que significa que o circuito é capacitivo. Logo, o fasor im está adiantado em relação ao fasor εm.
Vamos calcular o E relativo para verificar se os dados são consistentes:
E = |Фexp – Фteo|/ |Фteo| = 0,010 = 1,00 %
Por meio do cálculo de E, o qual é um valor baixo, vemos que os resultados obtidos experimentalmente e teoricamente são totalmente compatíveis.
	Após calcular os valores de Ф, deveríamos também obter os valores experimental e teórico de ωr. O cálculo deste último se encontra abaixo:
ωr = 1/√(L.C) = 30,2 . 10³ rad / s
fr = ωr / 2 π = 4,80 kHz
Em seguida, deveríamos calcular experimentalmente a freqüência de ressonância através da observação dos gráficos Vr e ε gerados no osciloscópio, como foi falado na introdução teórica. No entanto, não foi possível realizar tal medição porque, desta vez, houve problemas com o circuito, o que fez com que o gráficos não fossem gerados corretamente no osciloscópio. No entanto, constatamos, com outro circuito RLC, que em determinada frequência da fonte, os valores de t para os quais Vr e ε são mínimos ou máximos se coincidem.
Após isso, deveríamos passar a monitorar com o osciloscópio as tensões Vr e Vc — cuja defesagem teórica, como já foi discutido anteriormente, independe de f e é sempre igual a (π/2) — e obter a defasagem experimental. No entanto, por causa dos problemas supracitados, também não foi possível obter esse valor no circuito original. 
Logo, ao invés de obter tal valor, utilizamos outro circuito RLC (o mesmo que foi utilizado antes) apenas para verificar experimentalmente que, ao se variar a frequência da fonte de tensão, a defasagem continua a mesma. 
Variamos a frequência e constatamos que, em qualquer freqûencia, um valor era máximo (ou mínimo) aproximadamente no mesmo instante que o do outro era nulo e vice-versa. Portanto, observamos a indepedência da defesagem de Vr e Vc em relação à frequência da fonte, o que era esperado através da análise das fórmulas teóricas.
Conclusões
No qual verificamos a diferença de fase entre a fonte E(t) e a tensão Vr(t) no resistor, e achamos seu ângulo de defasagem teórico e experimentalmente. Logo, concluímos que a primeira parte foi realizada com sucesso. 
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