EDO Separáveis

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EDO Separáveis 
 
A EDO da forma é chamada separável se, if f(x,y) = h(x) g(y); Isto é, 
Para resolve-la seguimos os seguintes passos: 
Passo 1: Resolva a equação g(y) = 0, que fornece a solução constante de (S); 
Passo 2: Reescreva a equação (S) como 
, 
e, então, integre 
Para obter 
Passo 3: Escreva a seguir todas as soluções; a solução constante obtida no Passo 1 e a solução obtida no Passo 2; 
Passo 4: Se você tiver um PVI, use a condição inicial para encontrar a solução particular. Note que pode ocorrer que a solução particular pode ser a solução constante dada no Passo 1. Por isso que o Passo 3 é importante. 
 
Exemplo: Encontre a solução particular do PVI 
Solução: Siga os seguintes passos: 
(1) A fim de obter a solução constante, resolve a equação . Nós obtemos y = 1 e y = -1. 
(2) Reescreva a EDO como 
. 
Usando a técnica de integração de funções racionais, obtemos 
, 
Que implica em 
(3) As soluções para a EDO são 
(4) Uma vez que as soluções constantes não satisfazem a Condição Inicial, somos levados a encontrar a solução particular encontrando a constante C. Se usarmos a condição inicial y = 2 quando x = 1, obtemos 
. 
Note que esta solução é dada em uma forma implícita. Você pode tentar reescrevê-la na sua forma explícita, isolando a função y. Por exemplo, no caso, nós temos 
EDO Separável: Exemplo 1 
Encontre todas as soluções da EDO 
. 
Solução: Inicialmente, buscamos encontrar as soluções constantes, isto é, nós olhamos para as raízes de 
Esta equação não tem raízes reais. Portanto, nós não temos soluções constantes.
O próximo passo é buscarmos as soluções não constantes. Nós procedemos separando as duas variáveis para obtermos 
. 
Então nós integramos 
Uma vez que 
 = = 1 - 
obtemos 
Portanto, nós temos quee 
Note que não é fácil isolarmos a função y o que significa que encontramos a solução na sua forma implícita. 
Finalmente, pelo fato de não termos soluções constantes, todas as soluções são dadas pela equação implícita encontrada acima. 
EDO Separável: Exemplo 2 
Resolva o PVI 
Solução: Esta é uma EDO separável. De fato, nós temos:
Antes de integrarmos, devemos verificar a existência de soluções constantes. Estas são as raízes da equação . Uma vez que esta equação não tem raízes reais, nós concluímos que não existem soluções constantes. Portanto, procedemos com a separação das duas variáveis . Nós temos: 
 , 
Agora, integramos
Uma vez que 
e 
, 
Nós temos que 
A condição inicial y(0)=1 nos faz encontrarmos a constante c, ou seja, 
A solução particular para o PVI é: 
, 
Ou, na forma explícita (isolando a função y)