Lista de exercicios Equaçoes Diferenciadas

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UNA
3a Lista de Exerc´ıcios de Equac¸o˜es Diferenciais
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
1. Um iso´topo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Voceˆ deseja ter
30g do iso´topo no final de 30 dias. Calcule a quantidade inicial do
iso´topo. Resposta: 110g
2. Quando retiramos um bolo do forno, ele apresenta temperatura de
150oC. Treˆs minutos depois, sua temperatura e´ de 94oC. Sabendo que
a temperatura ambiente e´ 20oC, quanto tempo demorara´ para o bolo
atingir a temperatura ambiente de 40oC? Resposta: aproximadamente
9 minutos e 58 segundos.
3. Suponha que uma populac¸a˜o se desenvolva de acordo com a equac¸a˜o
log´ıstica:
dP
dt
= 0, 05P − 0, 0005P 2
onde t e´ medido em semanas.
a) Qual e´ a capacidade de suporte? Qual e´ o valor de k? Resposta: 100
e 0, 05
b) Lembrando da definic¸a˜o dada nas notas de aula 1, quais sa˜o as
soluc¸o˜es de equil´ıbrio? Resposta: P = 0 e P = 100
c) Resolva esta equac¸a˜o diferencial, sabendo que a populac¸a˜o inicial
P0 = 10. Resposta: P (t) =
100
1 + 9e−0,05t
1
4. Os bio´logos colocaram em um lago 400 peixes e estimaram a capacidade
de suporte (a populac¸a˜o ma´xima de peixes daquela espe´cie no lago como
10.000. O nu´mero de peixes triplicou no primeiro ano.
a) Presumindo que o tamanho da populac¸a˜o de peixes satisfac¸a a
equac¸a˜o log´ıstica, encontre uma expressa˜o para o tamanho da po-
pulac¸a˜o depois de t anos.
Resposta: P (t) =
10.000
1 + 24e−1,19t
b) Quanto tempo levara´ para a populac¸a˜o aumentar para 5.000?
Resposta: 2 anos e 8 meses.
5. Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial:
dy
dt
=
√
yt
Resposta: y(t) =
(
1
3
t
3
2 + c
2
)2
6. Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial:
 x cosx = (2y + e3y)y′y(0) = 0
Resposta: cos x + xsenx = y2 + 1
3
e3y + 2
3
2