Visualizando Séries

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RESUMO 
O seguinte trabalho tem como objetivo testar 
o caráter de convergência vistos em cálculo III, 
para série numérica ∑
 
 
 
 . Além disso, 
transformar a função em uma 
equivalente série de funções, a partir dos 
princípios da série de Taylor e MacLaurin, 
mostrando graficamente o resultado e 
comparando-as, provando assim sua 
convergência. 
 
 
1. DEMONSTRAÇÃO DE CONVERGÊNCIA 
PARA SÉRIE NUMÉRICA 
∑
 
 
 
 
 
 
Para descobrirmos se a série converge ou 
diverge vamos utilizar o teste de comparação. O 
termo dominante no denominador é 2n³, assim, 
comparamos a série dada com a série 
∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 < 
 
 
 
 
Podemos verificar que a série a direita é maior, 
pois o lado esquerdo tem um denominador 
maior. Sabemos que 
∑
 
 
 
 
 
 
 
∑
 
 
 
 
 
 
é convergente porque é uma constante 
multiplicando uma série P. Como P = 2 > 1 é 
uma série convergente entendemos que a série 
em questão também é. 
 
2. GRÁFICOS DOS PRIMEIROS TERMOS DA 
SÉRIE NUMÉRICA E DAS PRIMEIRAS SOMAS 
PARCIAIS 
Os gráficos a seguir demostram os 15 
primeiros termos da série numérica (an) e as 30 
primeiras somas parciais (Sn). 
Para determinar os valores dos termos 
da série apenas substituímos o valor de n: 
 
 
a1 = 
 
 
 = 
 
 
 = 0,33333...; 
 
a2 = 
 
 
 = 
 
 
 = 0,11764...; 
 
a3 = 
 
 
 = 
 
 
 = 0,05454...; 
 
 
 
an = 
 
 
; 
 
 
Gráfico 1-Primeiros termos da série numérica – an 
Para definir as somas parciais fazemos a soma 
dos n termos: 
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an 
 
S1 = 0,33333...; 
S2 = 0,45098...; 
S3 = 0,50552...; 
 
 
 
 
 
Gráfico 2- Primeiras somas parciais da série 
numérica – Sn 
Visualizando Séries 
Bruna Neves, Joana Zanette e Paulo Henrique Fuchshuber 
Fazendo a sobreposição dos 2 gráficos podemos 
analisar o caráter convergente dos termos e das 
somas parciais, sendo azul o gráfico de Sn e em 
preto an: 
 
Gráfico 3- Gráficos 1 e 2 sobrepostos 
3. GRÁFICO DA FUNÇÃO 
O gráfico a seguir representa a função 
 
 
Gráfico 4 – f(x) = ln(1 + x2) 
4. REPRESENTANDO A FUNÇÃO 
COMO UMA SÉRIE DE POTÊNCIAS 
 
Utilizando série de Taylor centrada em 
um valor a. Como o valor que utilizamos é a = 
0, a série se torna a série de Maclaurin, com 
fórmula geral a seguir: 
 ∑
 
 
 
 
 
 
 
Primeiro fazemos a substituição x
2
 = u 
e a função se torna e então, 
fazemos as derivadas da função: 
 
 
f’(u) = (1 + u)-1 f’(0) = 1 
f’’(u) = (-1)(1 + u)-2 f’’(0) = -1 
f’’’(u) = (-1)(-2)(1 + u)-3 f’’’(0) = 2 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a substituição anterior de u temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Através da expressão chegamos à 
fórmula geral da série de potencia para a função: 
 
 ∑ 
 
 
 
 
5. DETERMINANDO OS COEFICIENTES DA 
SÉRIE DE POTÊNCIAS 
 
Uma função qualquer que possa ser 
representada por uma série de potências tem a 
seguinte forma geral: 
 
 + + ² 
+ … 
 
 
Se compararmos a nossa função 
 , termo a termo, com a equação, 
obtemos os nossos coeficientes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. PRIMEIROS 10 TERMOS DA SÉRIE 
CENTRADA EM ZERO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. COMPARAÇÃO ENTRE O GRÁFICO DA 
SÉRIE ENCONTRA E DA FUNÇÃO 
Analisando os gráficos da função e da 
série de potências, podemos ver que a série de 
potências é uma aproximação da f(x) no seu raio 
de convergência. Para a função centrada em 0: 
 
 
Gráfico 5 – ∑ 
 
 
 
 
Gráfico 6 – gráficos 5 e 4 sobrepostos 
 
8. CONCLUSÃO 
Por meio deste trabalho demonstramos 
como determinar a convergência ou não da 
série numérica pelo método da comparação, 
bem como seus primeiros termos e suas 
primeiras somas parciais e a análise dos 
gráficos que comprovam os cálculos. 
Podemos afirmar que a função , 
pode ser representada por uma série de 
potências no seu raio de convergência. 
Partindo deste principio, conseguimos então 
calcular um termo geral para a série e um 
termo geral para os coeficientes da série. 
 Por fim, comparamos os gráficos da 
função com o da série de potências e 
podemos perceber que a série é uma 
aproximação da função. 
 
9. REFERÊNCIAS 
 STEWART, James. Cálculo Vol. 2. 7ed. 
Cengage Learning, 2013. p. 654 – 689.