lista de exercícios 01 algebra

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UNIPAMPA - Campus Bage´
Disciplina A´lgebra Linear - 2015/1 - Lista 01
Prof. Fernando Dias
4 de abril de 2016
1. Considere quatro lojas, L1, L2, L3 e L4, e treˆs tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a
quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz
indica a quantidade do produto Pj vendido pela loja Li, com i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3.
P1 P2 P3
L1 30 15 12
L2 19 10 16
L3 20 8 11
L4 1 2 100
Analisando a matriz, podemos afirmar que
1.1. a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 e´ 15;
1.2. a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3 e´ 31;
1.3. a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas quatro lojas e´ 44;
1.4. a soma das quantidades de produtos do tipo Pj , j = 1, 2, 3 vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, 4, e´ 150;
1.5. a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 e´ 45;
2. Sejam x1, x2 ∈ R tais que (3x1 + 2x2)2 + (x1 − 2x2 + 8)2 = 0.
2.1. Mostre que o vetor (0 − 8)ᵀ pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear dos vetores (3 1)ᵀ e (2 − 2)ᵀ.
2.2. Mostre que x1, x2 sa˜o as coordenadas de um ponto do terceiro quadrante do plano cartesiano.
2.3. Fac¸a um ”pequeno” manuscrito, dissertando sobre os fundamentos (conceitos, definic¸o˜es e propriedades) utilizados
para responder os ı´tens 2.1 e 2.2 .
3. Dada a tabela de verdade a seguir
P Q ∼ P ∼ Q P −→ Q
L1 V V F F V
L2 V F F V F
L3 F V V F V
L4 F F V V V
onde P e Q sa˜o proposic¸o˜es simples, ∼, ∨ e −→ sa˜o os conectivos.
Considerando que V e F sa˜o mnemoˆnicos de verdade e falso, responda as seguintes questo˜es.
3.1. Mapeando V 7→ 1 e F 7→ 0 voceˆ obte´m uma matriz cujas entradas a11 = a12 = a21 = a24 = a32 = a33 = a35 =
a43 = a44?
3.2. Se 2 = i1 < i2 < i3 = 4 e 1 = j1 < j2 < j3 = 3, enta˜o os elementos da diagonal principal da submatriz 3× 3 sa˜o
todos 1? Essa matriz e´ sime´trica?
1
3.3. Sejam A1 e A2 dadas por
A1 =
(
0 1 0 0
0 0 1 0
)
, A2 =

0 0
0 0
1 0
0 1
0 0

Denotando por X a matriz obtida pelo mapeamento descrito em 3.1. Mostre que A1.X.A2 resulta numa submatriz de
X, cujas entradas sa˜o dadas por 2 = i1 < i2 = 3 e 3 = j1 < j2 = 4, isto e´, a submatriz e´ da forma(
ai1j1 ai1j2
ai2j1 ai2j2
)
4. Dadas as matrizes
B1 =
(
2 3
1 0
)
, B2 =
(
1 0
0 1
)
, B3 =
(
1 0
0 0
)
, B4 =
(
λ 1
0 λ
)
, B5 =
(
1 −3
2 7
)
4.1. Calcule os produtos 5.B1,
1
10
.B2,
1
100
.B3 e
1
10−3
.B5;
4.2. Calcule as somas B1 +B2 +B3 +B4 +B5;
4.3. Calcule os produtos B1.B2, B2.B3, B3.B4, B4.B5 e B1.B2.B3.B4.B5.
5. Dadas as matrizes
D1 =
(
3 −1 1
2 1 0
)
e
Dᵀ2 =
(
3 3 1
1 2 0
)
Calcule (D1D2)
ᵀ, Dᵀ1 , D
ᵀ
2 e D
ᵀ
2D
ᵀ
1 .
———————————————–
2