TesteCasa8 26052017162532

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
MAT 040 – Estudo Dirigido de Ca´lculo I – 2017/I
Teste 8 - Entrega dia 18/05/2017:
Nome: Matr´ıcula: Turma:
Exerc´ıcio:
Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo absolutos de
f(x) =
{
x2 − 1 se x ≤ 1
1− x se x > 1
no intervalo [−2, 2].
Soluc¸a˜o:
Inicialmente, notemos que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em R.
De fato, se x < 1, f(x) = x2−1 e´ uma func¸a˜o polinomial e, portanto, cont´ınua. Se x > 1, f(x) = 1−x tambe´m
e´ polinomial e, portanto, cont´ınua. Resta verificar a continuidade em x = 1.
Notemos que:
. f(1) = 12 − 1 = 0.
. lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(x2 − 1) = 0 e lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(1 − x) = 0. Logo, existe o limite lim
x→1
f(x) e este
vale 0.
. lim
x→1
f(x) = 0 = f(1).
Portanto, f e´ cont´ınua em x = 1.
Assim, f e´ cont´ınua em R. Em particular, f e´ cont´ınua no intervalo fechado [−2, 2].
Pelo Teorema do Valor Extremo, f assume ma´ximo e mı´nimo absolutos no intervalo [−2, 2] .
Para x < 1, f ′(x) = 2x e para x > 1, f ′(x) = −1.
Em x = 1, temos:
. f ′+ (1) = lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1+
1− x− 0
x− 1 = limx→1+ (−1) = −1.
. f ′− (1) = lim
x→1−
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1−
x2 − 1− 0
x− 1 = limx→1+
(x + 1)(x− 1)
x− 1 = limx→1+ (x + 1) = 2.
Como f ′+ (1) 6= f ′− (1), f na˜o e´ deriva´vel em x = 1 e, assim, 1 e´ um nu´mero cr´ıtico de f.
Soluc¸a˜o:
Notemos tambe´m que:
f ′(x) = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0.
Logo, 0 tambe´m e´ um nu´mero cr´ıtico de f.
Notemos que o valor de f nos nu´meros cr´ıticos no interior do intervalo e´:
. f(0) = −1.
. f(1) = 0.
Nos extremos do intervalo, temos:
. f(−2) = 4− 1 = 3.
. f(2) = 1− 2 = −1.
Comparando estes resultados, conclu´ımos que 3 e´ o valor ma´ximo absoluto e −1 e´ o valor mı´nimo absoluto de
f em [−2, 2].
Assim, (−2, 3) e´ o ma´ximo absoluto e (0,−1) e (2,−1) sa˜o mı´nimos absolutos de f em [−2, 2].