Oscilador harmônico

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Aplicação ao oscilador harmônico 
 
Na mecânica clássica, a atividade de uma partícula é determinada pela segunda 
lei de Newton: 
F = m ⋅ a 
 
F = força que atua sobre a partícula 
m = massa 
a = aceleração 
 
A força (​F​) pode depender da posição (​x​), da velocidade (​v = dx / dt​) e do tempo 
(​t​). De maneira matemática:¹ 
 F = F(x,v,t) 
 
Na física, é denominado oscilador harmônico qualquer movimento que seja 
harmônico de oscilação, onde ocorre um movimento “vai e vem” ao redor de uma 
posição central, descrito por uma posição harmônica do tempo. 
Temos como exemplo de oscilação, a deformação de uma mola ou algum objeto 
elástico, pois quando a deformação não é muito grande, a força será proporcional ao 
deslocamento mas sempre irá atuar no sentido oposto do mesmo, com o objetivo de 
voltar naturalmente a sua forma original (repouso). ​7 
O sistema será chamado de oscilador harmônico simples, se F for a única força 
atuando nele. Há outros tipos de osciladores, não sendo o foco do trabalho porém 
possuindo grande importância. São eles: 
 Oscilador harmônico amortecido: ​caso haja uma força de atrito; 
​Oscilador harmônico forçado: se houver uma força externa (que depende do 
tempo) atuando sobre ele; 
Oscilador harmônico forçado e amortecido: ​quando há a junção de uma força 
externa com o atrito interno. ​4 5 
 
O sistema de oscilação é caracterizado por um movimento de "vai-e-vem" (como 
citado anteriormente) e seu deslocamento é uma função senoidal do tempo, 
aproximadamente desta maneira: ​7 
 
 
Gráfico oscilador harmônico simples 
Fonte: ​http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/movimento/ocilador_harm_simples/ 
 
Exemplos práticos de osciladores harmônicos: 
 
 
Pêndulo de Newton Massa ligada a mola Vibrações acústicas 
 
 
Brinquedo - mola Corda de violão 
 
Fonte: retiradas do google imagens 
 
A força que atua sobre a mola é representada pela lei de Hooke: ​F​x​= kx. ​Porém, 
F​x e x sempre irão possuir sinais opostos, logo, a força restauradora exercida por uma 
mola ideal é representado por ​F​x​= - kx​, pois dessa maneira, não é importante levar em 
consideração se o valor de ​x for positivo, negativo ou até mesmo nulo, pois a constante 
de mola (​k​) será sempre positiva.​4 
 
Para uma partícula com massa (m), presa a uma extremidade livre de uma mola 
com constante ​k​, a energia potencial corresponde à lei de Hooke, que é expressa por: 
 
U(x) = ½ kx² 
 
O gráfico de ​U(x)​, mostra a energia potencial do oscilador e é uma parábola de 
vértice na origem (como mostra a figura a seguir), pois a partícula oscila entre os 
extremos ​x = +A e ​x = -A ​quando existe uma determinada energia E. ​O deslocamento 
máximo em módulo, é ​|x| = A​ e chama-se amplitude da oscilação. ² 
 
 
Fonte: Retirada de H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica, vol 1, 5ª edição, 2013 
 
Para descobrir a energia E, aplica-se a seguinte fórmula: ² 
 
E = ½ kA² = U (±A) 
 
U = energia potencial 
k = constante de mola 
A = posição 
E= energia 
 
As imagens a seguir mostram, respectivamente, gráficos de posição, velocidade 
e energia para o oscilador harmônico: ² 
 
 
(1) Gráfico de posição - oscilador harmônico 
 
 
 
(2) Gráfico de velocidade - oscilador harmônico 
 
 
 
(3) Gráfico de energia - oscilador harmônico 
 
Fonte: Gráficos retirados de H. Moysés Nussenzveig, 
Curso de Física Básica, vol 1, 5ª edição, 2013 
 
Nessas imagens, ocorre a evolução temporal de x (lei horária do movimento) da 
velocidade, e energias (potencial e elétrica) durante um período de oscilação. ² ​4 
OBS:​ Fórmulas estarão mais adiante para facilitar o entendimento. 
 
Para melhor compreensão dos gráficos: 
O sistema partícula-mola é mostrado nas imagens, com intervalos de ¼ de 
período, ou seja, para t = 0, a mola está em equilíbrio e a partícula se move para a 
direita com velocidade máxima e energia totalmente cinética. Já para t = τ/4, a 
velocidade é nula, porém sua distensão é máxima, além de haver uma energia 
totalmente potencial. Para t = τ/2, a partícula retorna à posição de equilíbrio, porém 
com velocidade oposta. Quando t = 3τ/4, há uma compressão máxima da mola. E em 
t = τ é que a mola volta à sua situação inicial. 
Importante salientar que durante todo esse percurso, a energia total (E) não 
varia, ela apenas oscila entre a forma de energia cinética e sua forma de energia 
potencial. ² 
 
 
Fórmulas: ¹ ² ​4 
 
Além das fórmulas citadas anteriormente, tem-se outras não menos importantes 
nas oscilações. (Porém com um foco menor neste trabalho, logo, serão apenas 
citadas). São elas: 
 
● Parte da oscilação onde a velocidade é positiva 
 
V = dx/dt ​√​ (2/m)(½ kA² -½ kx²) = √ k/m √ A² - x² 
 
 
● Se a partícula se desloca de uma posição inicial x​0​ para t= 0 até a posição x no 
instante t, muda-se a fórmula anterior para depois integrar os dois membros ao 
longo do movimento entre os extremos 
 
√k/m dt = dx /√A²-x² 
 
⇒ 
 
√k/m dt’ = √k/m t = dx’ /√A²-x’²∫
 
0
∫
 
x0
 
 
● Lei horária do movimento 
 
x = A sen (ωt + φ​0​) 
 
 
● Período ᴛ de oscilação 
 
ᴛ = 2� / ω = 2� √m/k 
 
 
● Velocidade instantânea (deriva-se a fórmula de lei horária do movimento) 
 
v = dx/dt = ωA cos (ωt +φ​0 ​) 
 
 
● Aceleração (derivada segunda da fórmula de lei horária do movimento) 
 
a = d²x / dt² = -ω² A sen (ωt + φ​0​) 
 
 
● Energia cinética 
 
T = ½ mv² 
 
 
● Energia potencial 
 
U = ½ kv² 
 
 
● Função da elongação para oscilador harmônico 
 
x = 0,5 ・ cos ( �/4 ・ t ) 
 
 
● Trabalho realizado por uma força de mola 
 
W​s ​= (kx​i​2​/2) - (kx​f​2​/2) 
 
Exemplo: ​6 
 
1) Um oscilador harmônico tem sua elongação descrita pela seguinte equação: 
 
x = 0,5 ・ cos ( �/4 ・ t ) 
 
Sendo todas as unidades encontradas no SI. Qual a velocidade do movimento 
nos instantes t=1s, t=4s e t=6s? 
 
Utilizando os valores encontrados na equação da elongação tem-se: 
 
 
Para t = 1s: 
 
v = -0,5 ・�/4 ・sen ( �/4 ・ 1 ) 
⇒ 
v = - �/8・√2 / 2 ≃ -0,55 m/s 
 
Para t = 4s 
v = -0,5 ・�/4 ・sen ( �/4 ・ 4 ) 
⇒ 
v = - �/8・0 = 0 m/s 
 
Para t = 6s 
v = -0,5 ・�/4 ・sen ( �/4 ・ 6 ) 
⇒ 
v = - �/8・(-1) ≃ -0,39 m/s 
Exemplo retirado de: 
http://www.sofisica.com.br/conteudos/exercicios/mhs.php 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências: 
 
[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. ​Fundamentos da física: ​volume                     
1: mecânica. 9. ed. [s.l]: Ltc, 1923. 340 p.  
 
[2] NUSSENZVEIG, H. Moysés. ​Curso de física básica: ​1 mecânica. 5. ed. São Paulo:                           
Blucher, 2013. 394 p. 
 
[3] Young e Freedman. ​Física I:​ mecânica. 12. Ed. São Paulo: Person, 2008. 403 p. 
 
[4] Young e Freedman. ​Física II: ​termodinâmica e ondas. 12. Ed. São Paulo: Person,                           
2008. 325 p. 
 
[5] CHAVES, Alaor; SAMPAIO, J. F.. ​Física Básica: ​mecânica. Rio de Janeiro: Ltc, 2012.                           
308 p. 
 
[6] ​http://www.sofisica.com.br/conteudos/exercicios/mhs.php 
 
[7] ​http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/movimento/ocilador_harm_simples/