1 Lista de Algebra Linear

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Lista 1 - A´lgebra Linear - 2017/02
Professor: Eleonesio Strey
1. Resolva os seguintes sistemas lineares:
(a)

x+ 3y + z = 2
x+ 2y − z = 0
2x+ 4y + 5z = 7
(b)

x− y + 2z = 5
2x− y + z = 5
x+ y − z = 1
(c)

x+ y + 2z = 2
2x+ y − z = 3
3x+ 2y + z = 7
(d)

x+ y + 2z = 5
2x+ 3y + 2z = 10
−x+ y + z = 2
(e)

2x− 3y + 2z = 2
3x− 2y + 4z = 2
4x− y + 6z = 3
(f)

2x− 3y + 2z = 1
3x− 2y + 4z = 2
4x− y + 6z = 3
2. Em cada um dos sistemas abaixo determine os valor(es) de k de modo que o sistema
possua soluc¸a˜o. Quando houver mais de uma soluc¸a˜o, diga quais os valores de k que
da˜o ao sistema uma soluc¸a˜o u´nica.
(a)

x− 2y + 3z = k
3x− 6y + 9z = 3
2x+ y + z = 4
(b)

2x+ 2y + 4z = 3
3x+ 3y + 6z = k
x+ y + 2z = 3/2
(c)

2x− y + 2z = 3
3x+ y + 3z = 1
7x− y + kz = 7
(d)

3x+ 2y + 4z = 3
x+ y + z = k
5x+ 4y + 6z = 15
(e)

x+ 2y + 3z = 0
2x+ y − 4z = 0
x+ 3y + k = 0
(f)

x+ 2y + 3z = 0
2x+ y − 4z = 0
x+ 3y + kz = 0
3. Mostre que o sistema abaixo possui uma u´nica soluc¸a˜o, na˜o importa quais os valores
que se atribuam aos paraˆmetros a, b, c e k.
x+ 2y + 3z = a
2x+ 4y + z = b
3x+ 2y + kz = c
4. Que relac¸a˜o deve haver entre a, b e c a fim de que o sistema
3x− y + 2z = a
2x+ y + z = b
7x+ y + 4z = c
possua soluc¸a˜o?
5. Determine uma relac¸a˜o entre a, b, c e d a fim de que o sistema abaixo possua soluc¸a˜o
x+ 2y − 3z = a
x− y + z = b
2x− y + z = c
x+ 2y + 2z = d
(Resposta: 4a+ 25b− 15c+ d = 0.)
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6. Encontre o valor de a de modo que o sistema abaixo possua uma u´nica soluc¸a˜o.
x+ 2y + 3z = 9
3x+ 7y + 6z = 13
x+ ay + 8z = c
7. Resolva o sistema linear
1 2 3 4 5 6
1 3 4 5 6 7
1 2 4 5 6 7
1 2 3 5 6 7
1 2 3 4 6 7
1 2 3 4 5 7

︸ ︷︷ ︸
A

x
y
z
w
t
s
 =

9
11
11
10
10
9

8. Determine os coeficientes a, b e c do polinoˆmio
P (x) = ax2 + bx+ c, sabendo que P (0) = 2, P (1) = 3 +
√
2 e P (
√
2) = 6.
9. Em uma cidade, ha´ treˆs cadeias de supermercados: A,B e C. A tabela abaixo
apresenta os prec¸os (em reais por quilo) do arroz, do feija˜o e do ac¸u´car nessas
cadeias
Arroz Feija˜o Ac¸u´car
A 3 4 2
B 1 6 4
C 1 4 7
Uma dona de casa diz a` sua empregada: ”Com estes R$ 31,00, va´ ao supermercado
e compre x quilos de arroz, y quilos de feija˜o e z quilos de ac¸u´car. Na˜o havera´
troco”. A empregada observa: ”Os prec¸os variam de um supermercado para outro.
Em qual deles devo fazer a compra?”. Responde a patroa: ”Em qualquer um deles.
Na˜o faz diferenc¸a”. Determine x, y e z.
10. Sejam A ∈ Mm×n(R), b ∈ Mm×1(R) e x ∈ Mn×1(R) uma soluc¸a˜o do sistema linear
Ax = b.
(a) Mostre que qualquer outra soluc¸a˜o xˆ do sistema linear Ax = b pode ser escrita
como xˆ = x+ x˜, com x˜ soluc¸a˜o do sistema homogeˆnio Ax = 0.
(b) Mostre que qualquer elemento xˆ = x+ x˜, com x˜ soluc¸a˜o do sistema homogeˆnio
Ax = 0, e´ tambe´m uma soluc¸a˜o do sistema linear Ax = b.
(c) Mostre que o sistema linear Ax = b possui uma u´nica soluc¸a˜o se, e somente se,
o sistema linear homogeˆnio Ax = 0 possui somente a so˜luc¸a˜o trivial.
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(d) Considerando m = 5 e n = 3, exiba um sistema linear Ax = b que possui
infinitas soluc¸o˜es. justifique sua escolha.
11. Considere A uma matriz real de ordem m × n, tal que o sistema linear homogeˆnio
Ax = 0 possui pelo menos uma soluc¸a˜o na˜o trivial, isto e´, existe uma soluc¸a˜o x 6= 0,
ou melhor, existe x ∈Mm×1(R) na˜o nula tal que Ax = 0.
(a) Mostre que o sistema linear Atx = b na˜o possui soluc¸a˜o para alguns elementos
b ∈Mm×1(R).
(b) Deˆ um exemplo considerando uma matriz A de ordem 4 × 3 e uma matriz
b ∈M4×1(R).
12. Escalonando a matriz de Vandermonde 1 1 1a b c
a2 b2 c2

mostre que seu determinante e´ igual a (b− c)(c− a)(a− b), logo e´ diferente de zero
se, e somente se, os nu´meros a, b e c sa˜o distintos.
13. Dados treˆs nu´meros reais diferentes x1, x2 e x3, mostre que existe um u´nico polinoˆmio
p(x) = ax2 + bx + c que assume valores arbitrariamente pre´-determinados p(x1) =
y1, p(x2) = y2 e p(x3) = y3.
14. Calcule o determinante da matriz
 a+ x b c1 x 0
0 1 x
 .
15. Calcule o determinante de cada uma das matrizes abaixo.
(a)
 1 2 33 2 1
2 1 3
 (b)
 4 −1 3−2 1 4
0 3 5
 (c)
 1 4 8−2 3 5
3 0 2
 (d)
 2 4 8−2 3 5
3 1 2

(e)

1 4 8 3
−2 3 5 0
3 0 2 1
3 4 5 4
 (f)

0 4 8 3
−2 3 5 0
0 0 2 1
3 4 5 4

16. Considere as matrizes
A =

1 2 3 4 5 6
1 3 4 5 6 7
1 2 4 5 6 7
1 2 3 5 6 7
1 2 3 4 6 7
1 2 3 4 5 7
 , X =

x
y
z
w
t
s
 , b =

9
11
11
10
10
9
 e c =

3pi√
2
27
10
3
√
3
99
 .
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(a) Calcule o determinante de A.
(b) O sistema AX = b e´ compat´ıvel determinado?
(c) O sistema AX = c e´ compat´ıvel determinado?
Obs.: Um sistema linear e´ dito a) Compat´ıvel Determinado quando possui uma
u´nica soluc¸a˜o; b) Compat´ıvel Indeterminado quando possui infinitas soluc¸o˜es;
c) Imcompat´ıvel quando na˜o possui soluc¸a˜o.
Bom trabalho!