AL LISTA 04

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Departamento de
Matema´tica Pura e Aplicada
Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear - 4 (PARCIAL)
Prof. Gabriel Lavagnoli
• Justifique suas respostas em todas questo˜es.
• Note que, dependendo do contexto, denotarei vetores com ou sem a seta sobrescrita ~v.
1. Determine se as aplicac¸o˜es abaixo sa˜o ou na˜o transformac¸o˜es lineares.
(a) Me´dia geome´trica entre 3 nu´meros reais:
Mg : R3 → R dada por Mg(x, y, z) = 3√xyz.
(b) Versor de um vetor:
n : R3 → R3 dada por n(~v) = 1‖~v‖~v se ~v 6=
~0 e n(~0) = ~0.
(c) Parametrizac¸a˜o de um plano:
Π : R2 → R3 dada por Π(x, y) = (a1x+ b1y, a2x+ b2y, a3x+ b3y).
(d) Parametrizac¸a˜o de um plano:
Π : R2 → R3 dada por Π(x, y) = (a1x+ b1y+ c1, a2x+ b2y+ c2, a3x+ b3y+ c3).
(e) Parametrizac¸a˜o de uma reta:
σ : R→ R3 dada por σ(t) = (at)~ı+ (bt)~+ (ct)~k.
(f) Segunda derivada:
D2 : P4 → P4 dada por D2(p(x)) = p ′′(x).
Lembrete: P4 e´ o espac¸o vetorial dos polinoˆnios de grau MENOR que 4 (isto e´, de
grau menor ou igual a 3).
(g) Projec¸a˜o ortogonal sobre o plano gerado por dois vetores LI’s dados:
~u1 e ~u2 sa˜o 2 vetores do R3 ortogonais e unita´rios. P : R3 → R3 dada por P(~v) =
(~u1 ·~v)~u1 + (~u2 ·~v)~u2
(h) Operador rotac¸a˜o (em θ rad no sentido anti-hora´rio):
Rθ : R2 → R2 dada por R(x, y) = (cos(θ)x− sen(θ)y, sen(θ)x+ cos(θ)y).
(i) A transposta de uma matriz:
T :M(n,m)→M(m,n) dada por T(A) = A>.
(j) Produto vetorial por um vetor fixado ~r 6= ~0:
N : R3 → R3 dada por N(~v) = ~v×~r.
2. Sejam V e W espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita e T : V →W uma transformac¸a˜o linear.
(a) Mostre que N(T) e Im(T) sa˜o subespac¸os vetoriais de V e W respectivamente.
(b) Mostre as imagens dos vetores de uma base B de V por T formam um conjunto de
geradores (cobertura) de Im(T) e, portanto, a dimensa˜o de Im(T) e´ menor ou igual
a dimensa˜o de V (domı´nio de T).
(c) ? Demonstre o Teorema do Nu´cleo e da Imagem (TNI):
dim(V) = dim
(
N(T)
)
+ dim
(
Im(T)
)
Voceˆ podera´ usar este resultado nos exerc´ıcios doravante.
1
3. Para cada transformac¸a˜o linear encontrada na questa˜o 1, apresente uma base para o nu´cleo
e uma base para a imagem.
4. Uma transformac¸a˜o linear T : V →W e´ chamada de injetora se u ∈ V, v ∈ V e u 6= v enta˜o
T(u) 6= T(v). Esta definic¸a˜o pode ser reescrita da seguinte forma: T(u) = T(v)⇒ u = v.
Demonstre o seguinte resultado: se T : V →W e´ uma transformac¸a˜o linear injetora enta˜o
N(T) = {0}. Vale o resultado rec´ıproco? Isto e´, se N(T) = {0} enta˜o a transformac¸a˜o linear
T e´ injetora?
5. Uma transformac¸a˜o linear T : V → W e´ chamada de sobrejetora se para todo w ∈ W
existir v ∈ V tal que T(v) = w. Em outras palavras: Im(T) =W.
Mostre que a transformac¸a˜o linear T : R3 → R2 dada por T(x, y, z) = (x − y, y + z) e´
sobrejetora, mas Q : R4 → R3 dada por Q(x, y, z, t) = (2x+ y,−y+ z+ t, 2x+ z+ t) na˜o
e´.
6. Sejam V e W espac¸os vetores de dimensa˜o finita com dim(V) = dim(W). Mostre que
T : V →W e´ uma transformac¸a˜o linear injetora, se e somente se, for sobrejetora.
INFORMAC¸A˜O: Quando uma transformac¸a˜o linear T : V →W e´ injetora e sobrejetora a
chamamos de bijetora, de invert´ıvel ou de isomorfismo entre V e W. Dizemos que V
e W sa˜o isomorfos se existir alguma transformac¸a˜o linear T : V →W bijetora.
7. Se T : V → W e´ uma transformac¸a˜o linear injetora e se {v1, . . . , vk} ⊂ V e´ uma colec¸a˜o
de vetores linearmente independentes enta˜o {T(v1), . . . , T(vnk} tambe´m e´ uma colec¸a˜o
de vetores LI?
8. Mostre que R3 e P3 = {p(x) = a+ bx+ cx2, com a, b, c ∈ R} sa˜o isomorfos.
9. Posso afirmar que todo par de espac¸os vetoriais de mesma dimensa˜o (finita) sa˜o isomorfos?
10. A matriz quadrada A e´ similiar a uma matriz D diagonal, cujos elementos de sua diagonal
sa˜o zeros (0) e uns (1). Mostre que A = A2 = A3 = . . . = An = . . . .
11. Mostre que, se λ = 0 e´ um autovalor da matriz A enta˜o a transformac¸a˜o linear T(v) = Av
na˜o e´ injetora.
12. Construa um isomorfismo entre R2 e o plano x− 2y+ 3z = 0.
13. Sejam pi1 e pi2 os planos no R3 dados por pi1 : x− 2y+ z = 0, pi2 : x− z = 0. Sejam ~u, ~v e
~w vetores na˜o nulos tais que ~u ∈ (pi1 ∩ pi2), ~v ∈ (pi1 − pi2) e ~w ∈ (pi2 − pi1).
(a) Mostre que E = {~u,~v, ~w} e´ uma base de R3.
(b) Defina a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 a partir de T(~u) = ~2u, T(~v) = −~v e
T(~w) = ~0. Determine o nu´cleo e a imagem de T .
(c) T e´ diagonaliza´vel?
14. Prove que se A e´ similar a B enta˜o ambas possuem os mesmos autovalores.
15. Encontre os autovalores e uma base para cada autoespac¸o referente as matrizes A, B e C
definidas abaixo.
A =
 3 −1 −22 0 −2
2 −1 −1
 , B =
 4 −2 0−1 1 0
0 1 2
 e C =
 1 1 10 2 1
0 0 1

16. Quais matrizes definidas na questa˜o anterior sa˜o diagonaliza´veis?
17. Mostre que a matriz de Rθ da questa˜o 1 na˜o possui autovalores. Interprete geometrica-
mente.
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DICAS:
1. (a) Na˜o
(b) Na˜o
(c) Sim
(d) Na˜o
(e) Sim
(f) Sim
(g) Sim
(h) Sim
(i) Sim
(j) Sim
2. (a) Fa´cil
(b) Comece assim: B = {v1, . . . , vn} e´ uma base de V. Voceˆ tem que mostrar que todo vetor
w ∈ Im(T) e´ escrito como combinac¸a˜o linear de T(v1), . . . , T(vn). Ora! w ∈ Im(T) implica
que existe v ∈ V tal que w = T(V) ...
(c) Procure um livro de a´lgebra linear.
3. Para esta questa˜o vou apenas falar a dimensa˜o do nu´cleo e da imagem.
(a) Na˜o e´ TL
(b) Na˜o e´ TL
(c) dim(N(I)) = 0 e dim(Im(I)) = 2.
(d) Na˜o e´ TL
(e) dim(N(I)) = 0 e dim(Im(I)) = 1.
(f) dim(N(I)) = 2 e dim(Im(I)) = 2.
(g) Base de N(P): {u1 × u2} e base de Im(P): {u1, u2}.
(h) Fa´cil.
(i) dim(N(I)) = 0 e dim(Im(I)) = mn.
(j) Pense mais um pouco
4. Para toda transformac¸a˜o linear T vale T(0) = 0. Se existisse v 6= 0 tal que T(v) = 0 ter´ıamos T na˜o
injetora. A rec´ıprova e´ verdadeira.
5. Use o TNI.
6. Use o TNI.
7. Comece assim α1T(v1)+ . . . + αkT(vk) = 0⇒ T(α1v1+ . . . + αkvk) = 0, pois T e´ linear. Como
T e´ injetora ...
8. Pense na transformc¸a˜o linear tal que T(e1) = 1, T(e2) = x e , T(e3) = x
2. Vamos ter v = (a, b, c)⇒
T(v) = a+ bx+ cx2
9. Sim! Monte uma transformac¸a˜o linear que leva de um espac¸o na base do outro espac¸o.
10. A = S−1DS implica em A2 = (S−1DS)(S−1DS) = S−1D2S, mas D2 = D.
11. Observe o nu´cleo de T .
12.
13.
14. Os autovalores de A sa˜o 0 e 1.
15. B = S−1AS e I = S−1S⇒ (B− λI) = (S−1AS− λS−1IS)
16.
17. p(λ) = det([Rθ] − λI) = 0 possui soluc¸a˜o?
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