prova2a

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS A
Hora´rio: 7:30-9:10 - 19/12/2002
2a. Avaliac¸a˜o
1. Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
y′′ − 6y′ + 8y = sen t
Link para a soluc¸a˜o.
2.
(a) Mostre que y1 (x) = x
2 e y2 (x) = x
5 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o
x2y′′ − 6xy′ + 10y = 0.
(b) Obtenha a soluc¸a˜o do problema de valor inicial

x2y′′ − 6xy′ + 10y = 0,
y (1) = 3,
y′ (1) = 3.
Justifique sua resposta!
Link para a soluc¸a˜o.
3. Mostre que a soluc¸a˜o do problema y′′+2y′ = 0, y(0) = a, y′(0) = b tende para uma
constante quando t → +∞. Determine esta constante.
Link para a soluc¸a˜o.
4. Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
(1 − t2)y′′ − 2ty′ + 12y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1
Link para a soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o
1. Soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homogeˆnea:
y(t) = c1e
2t + c2e
4t
Soluc¸a˜o particular da forma yp(t) = A sen t + B cos t.
y′p(t) = A cos t − B sen t
y′′p(t) = −A sen t − B cos t
Substituindo yp(t), y
′
p(t) e y
′′
p(t) na equac¸a˜o:
(−B − 6A + 8B) cos t + (−A + 6B + 8A) sen t = sen t
(7B − 6A) cos t + (6B + 7A)sen t = sen t{
7B − 6A = 0
6B + 7A = 1
B = 6/85 e A = 7/85
y(t) = c1e
2t + c2e
4t + (7/85) sen t + (6/85) cos t
Link para a pro´xima questa˜o.
2.
(a)
x2y′′1 − 6xy
′
1 + 10y1 = x
2(2) − 6x(2x) + 10(x2) = 0
x2y′′2 − 6xy
′
2 + 10y2 = x
2(20x3) − 6x(5x4) + 10(x5) = 0
Logo, y1(x) = x
2 e y2(x) = x
5 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o.
(b) Como
det
[
y1(1) y2(1)
y′1(1) y
′
2(1)
]
= det
[
1 1
2 5
]
= 3 6= 0
enta˜o a soluc¸a˜o geral e´
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x),
Agora, como y(1) = 3, enta˜o substituindo x = 1 e y = 3 na expressa˜o de y(x)
obtemos que c1 + c2 = 3. Como y
′(1) = 3, substituindo-se x = 1 e y′ = 3 na
expressa˜o obtida derivando-se y(x):
y′(x) = 2c1x + 5c2x
4
obtemos 2c1 + 5c2 = 3. Resolvendo o sistema
c1 + c2 = 3, 2c1 + 5c2 = 3
obtemos c2 = 4 e c1 = −1. Assim a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
y(x) = 4x2 − x5
Link para a pro´xima questa˜o.
3. y′′ + 2y′ = 0 tem soluc¸a˜o geral y(t) = k1e
−2t + k2. Logo, k1 + k2 = a, k1 = −b/2 e
k2 = a + b/2 e y → a + b/2 quando t → +∞.
Link para a pro´xima questa˜o.
4. Substituindo-se y(t) =
∑
∞
n=0 ant
n, y′(t) =
∑
∞
n=0(n + 1)an+1t
n e
y′′(t) =
∑
∞
n=0(n + 2)(n + 1)an+2t
n na equac¸a˜o (1 − t2)y′′ − 2ty′ + 12y = 0, obtemos
(1 − t2)
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2t
n − 2t
∞∑
n=0
(n + 1)an+1t
n + 12
∞∑
n=0
ant
n = 0
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2t
n − t2
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2t
n − 2
∞∑
n=0
(n + 1)an+1t
n+1
+ 12
∞∑
n=0
ant
n = 0
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2t
n −
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2t
n+2 − 2
∞∑
n=0
(n + 1)an+1t
n+1
+ 12
∞∑
n=0
ant
n = 0
∞∑
n=0
(n + 2)(n + 1)an+2t
n −
∞∑
n=2
n(n − 1)ant
n − 2
∞∑
n=1
nant
n
+ 12
∞∑
n=0
ant
n = 0
2a2+6a3t−2a1t+12a0+12a1t+
∞∑
n=2
[(n+2)(n+1)an+2−n(n−1)an−2nan+12an]t
n = 0
O que implica em


2a2 + 12a0 = 0
6a3 + 10a1 = 0
(n + 2)(n + 1)an+2 − n(n − 1)an − 2nan + 12an = 0, n = 2, 3, . . .


a2 = −6a0
a3 = −
10
6
a1
an+2 =
n(n−1)+2n−12
(n+2)(n+1)
an =
n2+n−12
(n+2)(n+1)
an =
(n+4)(n−3)
(n+2)(n+1)
an, n = 2, 3, . . .
a4 =
(6)(−1)
(4)(3)
a2 = 3a0, a6 =
(8)(−1)
(6)(5)
a4 = −
4
5
a0, . . .
a5 = 0, a7 = 0, · · · a2n+1 = 0, para n = 2, 3, . . .
Substituindo-se os valores an encontrados acima, na se´rie de y(t) obtemos
y(t) =
∞∑
n=0
ant
n
=
∞∑
n=0
a2nt
2n +
∞∑
n=0
a2n+1t
2n+1
= a0
(
1 − 6t2 + 3t4 −
4
5
t6 + · · ·
)
+ a1
(
t −
5
3
t3
)
Assim, a soluc¸a˜o geral e´
y(t) = a0y1(t) + a1y2(t),
em que
y1(t) = 1 − 6t
2 + 3t4 −
4
5
t6 + · · · e y2(t) = t −
5
3
t3
pois
det
[
y1(0) y2(0)
y′1(0) y
′
2(0)
]
= det
[
1 0
0 1
]
= 1 6= 0
Agora, como y(0) = 0, enta˜o substituindo t = 0 e y = 0 na expressa˜o de y(t)
obtemos que a0 = 0. Como y
′(0) = 1, substituindo-se t = 0 e y′ = 1 na expressa˜o
obtida derivando-se y(t):
y′(t) = a0
(
−12t + 12t3 −
20
5
t5 + · · ·
)
+ a1
(
1 − 5t2
)
obtemos a1 = 1. Assim a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
y(t) = t −
5
3
t3