7 - Vetor I

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CENTRO UNIVERSITÁRIO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA – IESB 
Curso: ENGENHARIA CIVIL
Disciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA
Professor(a): SOFIA MITSUYO TAGUCHI DA CUNHA
RESUMO DA AULA 1 
Assunto: Vetores no plano e no espaço – conceitos, operações e representação geométrica. 
Preliminares
Reta orientada ou Eixo: possui sentido (positivo ou negativo – oposto). 	 r		 B
Segmento Orientado AB: tem origem A e extremidade B, com sentido. 		A
Segmento Nulo: A B (origem coincidente com extremidade).
Segmentos Opostos: BA é oposto de AB. (sentidos contrários)	 A	 B	A	 B
Medida de um segmento: 	 = 4 u.c . I I I I I Também, chamado de módulo.
Segmentos Equipolentes: segmentos com direção, sentido e comprimento iguais. AB CD 
Propriedades da Equipolência: Reflexiva (AB AB); Simétrica (AB CD e CD AB); 
				Transitiva (Se AB CD e CD EF, então AB EF).
VETOR : é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB. 
		 ou (B – A) = {XY | XY AB }
Vetores iguais: se AB CD.
Vetor nulo ou vetor zero: 
Vetores Opostos: Se = , então é oposto de .
Vetor unitário: quando = 1.
Versor de um vetor não nulo : vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de . ()
Vetores colineares: vetores que tem a mesma direção (segmentos paralelos ou de uma mesma reta).
Vetores coplanares: pertencentes a um mesmo plano. Dois vetores quaisquer são sempre coplanares.
		 Contudo, 3 vetores poderão ou não ser coplanares.
Operação com Vetores 
Adição de vetores: 
 C
 B
 
C
d = u – v 
 
 
 s = u + v
 APropriedades:
Comutativa: v + u = u + v
Associativa: (u + v) + w = u + (v + w ) 
Existência do vetor neutro: v + 0 = v = 0 + v
Existência do vetor simétrico: v + ( – v ) = 0
Diferença de dois vetores: d = u – v = u + (– v ) 
Multiplicação do v não-nulo por um escalar (número real): k. = 
 Sentido permanece se k> 0. Se k < 0, o sentido de é contrário ao do v.
Propriedades: I) Associativa: (u.v)w = u.(vw)
		II) Distributiva em relação à adição de escalares: (a + b).v = av + bv
		III) Distributiva em relação à adição de vetores: a.(u + v) = au + av
Identidade: 1.v = v
Ângulo de 2 vetores: é o ângulo , , formado pelas semiretas AO (u) e OB (v). 
			Se , u e v tem a mesma direção e sentidos contrários.
			Se , u e v tem mesma direção e mesmo sentido.
			Se , u e v são ortogonais.
Problemas Propostos (STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1987).
Dados os vetores u e v da figura, mostrar, num gráfico, um representante do vetor: v
u – v; 	b) v – u;	c) –v – 2u; 	d) 2u – 3v 				 u
Obs: Atenção com a medida do segmento orientado e a sua direção e sentido. 
Dados os vetores a, b e c, como na figura, apresentar a
um representante de cada um dos vetores:			 b
4a – 2b – c ; 	b) a + b + c; 	c) 2b – (a + c) 			 c 
Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, determinar o ângulo formado pelos vetores: a) u e – v;	b) – u e v; 	c) – u e – v; 	d) 2u e 3v
Vetores no R2 e no R3
Decomposição de um vetor no plano: 
Qualquer vetor v, coplanar com dois outros vetores v1 e v2 não colineares,
 pode ser representado como combinação linear de v1 e v2 , y
 ou seja, v = a1v1 + a2v2 .
O conjunto {v1 , v2 } constitui uma base no plano. 			 a2v2		
Os escalares a1 e a2 são componentes ou coordenadas de v 				 v
em relação à base {v1, v2}.						 v2
a1v1 é projeção de v sobre v1, segundo direção de v2.							x
a2v2 é projeção de v sob re v2, segundo direção de v1. 			 v1	 a1v1
	
Expressão analítica de um vetor: 
Vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais tal que . 
 significa que a base é { } e (x,y) = (3, - 5) . Expressão analítica de é: 
 Se , ; 3= (0,3) ; -10 = (-10,0)
Igualdade e Operações entre vetores em R2 
Igualdade: se e só se x1 = x2 e y1 = y2 . 
Operações: Sejam os vetores e a R. 
Define-se: 1) e 2) 
 As propriedades são as mesmas do item B.
 Exemplos: 1) Determinar o vetor w, na igualdade 3w +2u=(1/2)v + w, sendo u=(3,-1) e v=(-2,4).
	 2) Encontrar os números a1 e a2 tais que w=a1u + a2v, sendo u=(1,2), v=(4,-2) e w=(-1,8).
Vetor definido por dois pontos: 
Se 
Exemplo: Dados os pontos A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4), calculando D(x,y) para será D(0, 5/2).
Decomposição no espaço: ,onde {v1, v2, v3} , vi não coplanares, é uma base e a1 ,a2 e a3 são as componentes de . 
Exemplo: Se , , sendo =(0,0,1) .
Igualdade e Operações entre vetores em R3
Igualdade: se e só se x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 .
Operações: Sejam os vetores e a R. 
Define-se: 1) e 2) 
Se .
Condição de paralelismo de dois vetores: Os vetores são // ou coincidentes, se existe um número real k, tal que k. , ou seja, x1=kx2 , y1=Ky2 e z1=Kz2 ,k R, isto é, suas coordenadas são proporcionais. Exemplo: =(-6, 9,12). 
Exercícios
Calcule os valores de a1, a2 e a3 tais que , sendo A(0,1,-1), B(1,2,-1) e os vetores .
Determine as coordenadas do ponto S, de modo que P(1,2,4), Q(2,3,2), R(2,1,-1) e S(x,y,z) formam um paralelogramo.
Encontre os valores de m e n, para que os vetores sejam paralelos.
Expresse as coordenadas do ponto médio M(x,y) do segmento de reta que contém origem .
Lista 1 de exercícios anexa.