2- São dados os pontos A=(3,-6,7); B=(-5,2,3) e C=(4,-7,-6). Escreva equações vetoriais e paramétricas para a reta determinada pelos pontos B e C ...

Para encontrar a equação vetorial da reta que passa pelos pontos B e C, precisamos primeiro encontrar o vetor diretor da reta, que é dado pela diferença entre os vetores posição dos pontos B e C: vetor diretor = BC = C - B = (4,-7,-6) - (-5,2,3) = (9,-9,-9) Agora podemos escrever a equação vetorial da reta: r(t) = B + t * vetor diretor = (-5,2,3) + t * (9,-9,-9) = (-5+9t, 2-9t, 3-9t) Para encontrar a equação paramétrica, basta escrever as coordenadas x, y e z em função do parâmetro t: x = -5 + 9t y = 2 - 9t z = 3 - 9t Para obter a forma simétrica da equação, podemos isolar o parâmetro t em cada uma das equações paramétricas: t = (x + 5) / 9 t = (y - 2) / (-9) t = (z - 3) / (-9) Igualando as expressões para t, temos: (x + 5) / 9 = (y - 2) / (-9) = (z - 3) / (-9) Podemos reescrever essa equação como: (x + 5) / 9 = -(y - 2) / 9 = -(z - 3) / 9 ou ainda: (x + 5) = -(y - 2) = -(z - 3) Para verificar se o ponto D pertence à reta, basta substituir as coordenadas de D na equação paramétrica da reta e verificar se existe um valor de t que satisfaça todas as equações: x = -5 + 9t y = 2 - 9t z = 3 - 9t Substituindo as coordenadas de D, temos: x = 3, y = 1, z = 4 Substituindo na equação paramétrica, temos: 3 = -5 + 9t 1 = 2 - 9t 4 = 3 - 9t A primeira equação nos dá t = 8/9. Substituindo esse valor nas outras equações, verificamos que elas também são satisfeitas. Portanto, o ponto D pertence à reta.