Tutorial Wolfram Alpha

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Universidade Estadual de Campinas 
Faculdade de Ciências Aplicadas 
Limeira 
2009 
 
 
 
LE 203 - Cálculo II 
Prof. Márcio Rosa 
 
 
 
Tutorial do Wolfram Mathematica® 
 
 
 
 
 
 
 
Clara Aya Cunha Fukui RA: 090774 
 
 
 
 
 
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Sumário 
Introdução ......................................................................................................................... 3 
Sobre o Mathematica ........................................................................................................ 4 
Informações Iniciais ......................................................................................................... 5 
Comandos Básicos ............................................................................................................ 6 
Operações matemáticas ................................................................................................ 6 
Funções Trigonométricas ............................................................................................. 6 
Funções Trigonométricas Inversas ............................................................................... 6 
Letras Gregas ................................................................................................................ 7 
Símbolos Matemáticos ................................................................................................. 7 
Outros ........................................................................................................................... 7 
Funções ............................................................................................................................. 8 
Inserindo Funções ......................................................................................................... 8 
Resolução de Funções .................................................................................................. 8 
Derivadas .......................................................................................................................... 9 
Integrais ............................................................................................................................ 9 
Gráficos de Funções ......................................................................................................... 9 
Gráficos em duas dimensões ........................................................................................ 9 
Gráficos em três dimensões ........................................................................................ 11 
Gráficos de funções parametrizadas ........................................................................... 12 
Gráficos de funções em coordenadas polares ............................................................. 13 
Curvas de nível ........................................................................................................... 14 
Um comando interessante! ......................................................................................... 16 
Comando “Show” ....................................................................................................... 17 
Considerações Finais ...................................................................................................... 19 
Bibliografia ..................................................................................................................... 20 
 
 
 
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Introdução 
 A realização deste tutorial é uma proposta do Prof. Márcio Rosa, que busca 
auxiliar na fixação de conceitos desenvolvidos em sala de aula, junto com o uso do 
software Wolfram Mathematica®. Este foi amplamente utilizado durante as aulas e é de 
ampla utilidade não só no curso de Cálculo, mas também como uma ferramenta muito 
prática e versátil. A versão utilizada para a elaboração deste tutorial é o Wolfram 
Mathematica® 6.0. 
 Entretanto, esse tutorial não visa o aprofundamento do uso do software, visto 
que existe uma infinidade de possibilidades de comandos e recursos. O propósito maior 
é o de incentivar o usuário a conhecer o programa e ajudá-lo com os comandos básicos, 
principalmente para o uso direcionado para o cálculo sendo, portanto, um tutorial 
introdutório ao seu uso por novos usuários. 
 Obs: O software Wolfram Mathematica® foi desenvolvido pela Wolfram 
Research Inc., ciente desta informação, simplificaremos descrevendo-o apenas como 
Mathematica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sobre o Mathematica 
 O Mathematica® é um software desenvolvido pela Wolfram Research Inc., que 
foi lançado pela primeira vez em 1988. Entretanto, no início existiam diversos pacotes 
para atividades individuais, com o aprimoramento e lançamento deste novo programa 
pela Wolfram, foi possível atingir o objetivo visionário do programa, de possibilitar o 
manejo de diversas ferramentas, desde as mais simples até as mais complexas, de 
maneira rápida e descomplicada. 
 Usado inicialmente para fins matemáticos, nas ciências físicas e na engenharia. 
Entretanto, com os anos o programa atinge vários campos, de técnicos a outros. Ele teve 
um papel muito importante em diversas descobertas científicas, e também para o 
desenvolvimento de diversos estudos técnicos. Na engenharia, o Mathematica tornou-se 
ferramenta padrão para o desenvolvimento e a produção, e atualmente vários dos mais 
importantes novos produtos tem participação do software em alguma etapa de 
desenvolvimento de seu design. 
 A maior parte de seus usuários são técnicos ou outros profissionais. Mas também 
é amplamente utilizado no ramo da educação, desde o ensino médio ao ensino superior. 
Alcança também usuários como artistas, compositores, e até advogados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Informações Iniciais 
 Ao iniciar o Mathematica uma tela em branco é aberta, o chamado Notebook, 
onde serão desenvolvidos todos os comandos desejados, ou seja, sua área de trabalho no 
software. A partir dele são realizadas as atividades desejadas, ao colocar o cursor abaixo 
da última atividade realizada pode-se dar início a um novo comando. 
 As palavras devem ser sempre iniciadas por letra maiúscula, o uso de letra 
minúscula no início de uma palavra gera um erro de sintaxe, que impede o 
reconhecimento do comando utilizado. Para executar um conjunto de comandos ou 
operações, descritas corretamente, basta clicar “Shift + Enter”. 
 Ao determinar o comando que se deseja executar e clicar “ Shift+Enter”, o 
Mathematica automaticamente reconhece e denomina como ln[n]:=, o resultado obtido 
por este comando aparecerá e será nomeado como Out[n]=. Por exemplo: 
 
 A descrição de números decimais deve ser feita com o uso de ponto, não de 
vírgula. E ao escrever um comando, sua expressão deve ser escrita entre colchetes, e ao 
determinar domínios e/ou imagem deve-se utilizar chaves, separando-os com vírgulas. É 
de extrema importância atenção ao utilizá-los, pois um erro comum é esquecer-se de 
fechá-los gerando um erro na execução do comando. 
 
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 O uso de ponto e vírgula (;) ao final de um comando não o executa, mas o deixa 
reservado para ser utilizado em um momento posterior. Já o uso de “%” substitui um 
valor determinado em uma célula imediatamente acima da atual, onde se empregou o 
símbolo de porcentagem. 
 
 
Comandos Básicos 
 Demonstraremos como inserir alguns dos comandos básicos mais utilizados no 
Mathematica, como um pequeno guia. 
Operações matemáticas 
Adição (+)
Subtração (-)
Divisão ( / )
Multiplicação
( * ) ou "space" entre os 
números 
Funções Trigonométricas 
Seno (x) Sin [x]
Cosseno (x) Cos [x]
Tangente (x) Tan[x]
Secante (x) Sec [x]
Cossecante (x) Csc [x] 
Funções Trigonométricas Inversas 
Arco Seno (x) ArcSin[x]
Arco Cosseno (x) ArcCos[x]
Arco Tangente (x) ArcTan[x] 
 
 
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Letras Gregas 
θ "Esc+th+Esc"
λ "Esc+l+Esc"
τ "Esc+t+Esc"
ϕ "Esc+f+Esc"
μ "Esc+m+Esc"
γ "Esc+g+Esc"
ρ "Esc+r+Esc"
α "Esc+a+Esc"
β "Esc+b+Esc"
 
 
Símbolos Matemáticos 
Raiz quadrada "Ctrl+2"
Expoente "Ctrl+6"
Integral "Esc+int+Esc"
Derivada "Esc+dd+Esc"
Logaritmo natural de x (ln x) Log[x]
Logaritmo de x na base b Log[b, x]
Módulo de x Abs[x]
Número neperiano elevado a x Exp[x]
 
Obs: Para sair da raiz quadrada ou do expoente tecle “Ctrl+Space”. 
Outros 
π "Esc+p+Esc"
Número Neperiano "Esc+ee+Esc"
Seta " ->" 
 
 
 
 
 
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Funções 
 Uma das grandes utilidades deste software é a possibilidade de manipular todos 
os tipos de funções de diversas formas, desde resolvê-las até traçar gráficos sobrepostos. 
 
Inserindo Funções 
 A inserção de uma função ocorre de uma maneira simples, bastando digitá-la de 
maneira intuitiva, não sendo necessários chaves ou parêntesis. Entretanto, a igualdade é 
estabelecida utilizando “==”, e não apenas um símbolo de igual. Ao inseri-la e 
confirmá-la com “Shift+Enter” o Mathematica apenas reagrupa as incógnitas em ordem 
crescente de expoente. 
 
Resolução de Funções 
 Uma das formas de manipulação das funções é achar suas raízes, que podem 
inclusives ser imaginárias, o que o Mathematica faz com qualquer expressão através do 
comando Solve [função]. Para resolver uma equação que envolve mais de uma 
incógnita é necessário informar em relação a qual deseja o resultado. 
 
 
 
 
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Derivadas 
 Uma das maneiras de calcular derivadas no Mathematica é utilizando apenas a 
letra “D” maiúscula como comando, D[f(x), x], sendo f(x) a função a ser derivada e x a 
variável. Para determinar um valor para a variável basta acrescentar ao comando 
“/.variável -> valor”. 
 
Integrais 
 Para calcular integrais podemos utilizar o comando “Integrate” de maneira 
similar às derivadas. De maneira genérica pode ser escrita da seguinte forma: 
“Integrate[f(x),x]” ou “Integrate[f(x),{x, a, b}]”, no caso da integral de f(x) em função 
de x, com x variando de a até b. 
 
Gráficos de Funções 
 Outra importante função muito utilizada no Mathematica é a determinação de 
gráficos de funções, e as possibilidades de manipulação destes. Os gráficos podem ser 
determinados em duas ou três dimensões, dependendo do número de variáveis da 
função, que pode ser inclusive parametrizada ou uma superfície de revolução para 
geração de um sólido. 
Gráficos em duas dimensões 
 Para sua construção no Mathematica utilizamos o comando “Plot”, que de forma 
genérica pode ser descrito da seguinte forma: “Plot[f(x), {x, xmín, xmáx}]”. 
 
 
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 O PlotStyle é uma das manipulações que podem ser feitas no comando Plot, o 
mesmo acontece com outros comandos. Para saber quais são as possíveis alterações 
fazemos de maneira genérica: “Options[comando]”. 
 
 
 
 
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 Ao tentar desenhar uma circunferência com o comando “Plot” obtemos a 
seguinte figura, que se assemelha visualmente a uma elipse. 
 
 Para alterar esta aparência e torná-la uma circunferência utilizamos o comando 
“AspectRatio” de manipulação do gráfico, que altera as proporções do desenho. 
 
Gráficos em três dimensões 
 Para sua construção no Mathematica utilizamos o comando “Plot3D”, que de 
forma genérica pode ser descrito da seguinte forma: “Plot3D[f(x, y), {x, xmín, xmáx}, {y, 
ymín, ymáx}]”. 
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Gráficos de funções parametrizadas 
 O comando usado para plotar o gráfico de funções parametrizadas utilizamos de 
forma genérica: “ParametricPlot[{x(θ), y(θ)}, {θ, θmín, θmáx}]”. 
 
 
 
 
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 Existe também a opção análoga “ParametricPlot3D”. 
 
Gráficos de funções em coordenadas polares 
 O comando utilizado é o “PolarPlot”, que é utilizado quando é r é dado em 
função de θ, por exemplo em cardióides e rosáceas. Escrito de maneira genérica como: 
“PolarPlot[r[θ], {θ, θmín, θmáx}]. No exemplo uma rosácea, como a do exercício 4, dos 
problemas 15.4, do Edwards e Penny. 
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Curvas de nível 
 Para realizar a representação gráfica das curvas de nível utilizamos o comando 
“ContourPlot” para funções do tipo f(x, y) e “ContourPlot3D” para funções do tipo 
f(x,y,z). 
 
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 No comando “ContourPlot” temos a opção de determinar qual curva de nível 
queremos ver, de acordo com o k constante que a determina, ou então determinar o 
número de curvas que gostaríamos de representar. 
 
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Um comando interessante! 
 O comando “Manipulate” se mostra muito interessante, inovador e útil. Ao se 
aliar a um comando gráfico, permite que façamos a fácil variação de valores através de 
constantes aliadas às funções. O que facilita o estudo de funções que, por exemplo, tem 
o raio alterado de acordo com o ângulo, ou a posição de um carrinho em uma trajetória 
de acordo com o tempo. Usaremos o mesmo exemplo utilizado para o comando 
“PolarPlot”. 
 
 
 
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Comando “Show” 
 Este é utilizado para representar mais de uma função em um mesmo eixo de 
coordenadas. Para tanto, nomeamos cada uma das funções com letras gregas e as 
executamos, então podemos uni-las de forma genérica: “Show[α,β]”. Utilizaremos um 
toro para o exemplo. 
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Considerações Finais 
 Com este tutorial pode-se obter algumas noções básicas do manejo do 
Mathematica, que é uma ferramenta extremamente versátil e inovadora. Entretanto, não 
é possível descrever a infinidade de comandos e possibilidades existentes nele, por isso 
citamos apenas alguns, que foram vastamente utilizados durante o curso de Cálculo II. 
 O uso mais profundo do software pode ser realizado sem dificuldade 
consultando os ícones de ajuda na barra de ferramentas do programa. Uma muito útil é o 
Index of Functions (localizado em Help, Documentation Center, Index of Functions), 
que lista todos os comandos e seus detalhes e opções de uso. Dentre os mais exóticos 
existe o “KnotData” que permite a representação gráfica de nós, a seguir um exemplo. 
 
 Dentre outras facilidades que o software proporciona ao usuário, está a 
possibilidade de abrir janelas que trazem ícones prontos de símbolos, eliminando a 
necessidade de conhecer os atalhos no teclado. Na barra de ferramentas em Palletes 
encontramos várias possibilidades dessas janelas. Alguns exemplos abaixo. 
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 Com tantas possibilidades, cabe ao leitor instigar-se e explorar o Mathematica, e 
fazer o melhor uso possível conforme as necessidades forem aparecendo. 
 
Bibliografia 
www.wolfram.com 
EDWARDS, C. H. PENNEY, David E. Cálculo com Geometria Analítica, Volume 3. 
Tradução Alfredo Alves de Farias. 4ª edição. Rio de Janeiro: LTC-Livros Técnicos e 
Científicos Editora S.A., 1999.