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Aula 14: Equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas.
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneas
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Se G(t) for um produto de func¸o˜es dos tipos tratados na aula anterior, enta˜o
tentamos a soluc¸a˜o como um produto de func¸o˜es do mesmo tipo. Por exem-
plo, ao resolver a equac¸a˜o diferencial:
y′′ + 2y′ + 4y = t cos(3t)
tentamos
yp(t) = (At+B) cos(3t) + (Ct+D)sen(3t)
Se G(t) for uma soma de func¸o˜es desses tipos, usamos o princ´ıpio da super-
posic¸a˜o que nos diz que se yp1 e yp2 forem soluc¸o˜es de
ay′′ + by′ + cy = G1(t) e ay′′ + by′ + cy = G2(t)
respectivamente, enta˜o yp1 + yp2 e´ uma soluc¸a˜o de
ay′′ + by′ + cy = G1(t) +G2(t)
Exemplo: Resolva a equac¸a˜o diferencial y′′ − 4y = tet + cos(2t)
Observac¸a˜o: A soluc¸a˜o tentativa recomendada yp algumas vezes resulta
em uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o complementar e, portanto, na˜o pode ser uma
soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o na˜o homogeˆnea. Em tais casos, multiplicamos a
soluc¸a˜o tentativa recomendada por t (ou por t2 se necessa´rio) de modo que
nenhum termo em yp(t) seja uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o complementar.
Exemplo: Resolva a equac¸a˜o diferencial y′′ + y = sent
Resumo do me´todo dos coeficientes indeterminados:
1
1. Se G(t) = ektP (t), onde P e´ um polinoˆnio de grau n, enta˜o tente
yp(t) = e
ktQ(t),
onde Q(t) e´ um polinoˆmio de grau n (cujos coeficientes sa˜o determinados por
substituic¸a˜o na equac¸a˜o diferencial).
2. Se G(t) = ektP (t) cos(mt) ou G(t) = ektP (t)sen(mt), onde P e´ um po-
linoˆmio de grau n, enta˜o tente
yp(t) = e
ktQ(t) cos(mt) + ektR(t)sen(mt),
onde Q e R sa˜o polinoˆmios de grau n.
Atenc¸a˜o: Se algum termo de yp for uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o complementar,
multiplique yp por t (ou por t
2 se necessa´rio).
Exemplo: Determine a fo´rmula para a soluc¸a˜o tentativa para a equac¸a˜o
diferencial y′′ − 4y′ + 13y = e2x cos(3x)
O me´todo das variac¸o˜es dos paraˆmetros:
Suponha que apo´s resolver a equac¸a˜o homogeˆnea ay′′ + by′ + cy = 0, escre-
vamos a soluc¸a˜o como
y(t) = c1y1(t) + c2y2(t)
onde y1(t) e y2(t) sa˜o soluc¸o˜es linearmente independentes. Vamos substituir
as constantes (ou paraˆmetros) c1 e c2 da equac¸a˜o acima pelas func¸o˜es ar-
bitra´rias u1(t) e u2(t). Procuramos por uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o
na˜o homogeˆnea ay′′ + by′ + cy = G(t) da forma
yp(t) = u1(t)y1(t) + u2(t)y2(t)
Este me´todo chama variac¸a˜o dos paraˆmetros pois variamos os paraˆmetros c1
e c2 tornando-os func¸o˜es.
2
Derivando yp(t) = u1(t)y1(t) + u2(t)y2(t), obtemos:
y′p = (u
′
1y1 + u
′
2y2) + (u1y
′
1 + u2y
′
2)
Uma vez que u1 e u2 sa˜o func¸o˜es arbitra´rias, podemos impor duas condic¸o˜es
sobre elas. Uma condic¸a˜o e´ que yp e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e
podemos escolher a segunda condic¸a˜o de tal forma que simplifique os ca´lculos.
Consideremos que
u′1y1 + u
′
2y2 = 0
.
Enta˜o
y′′p = u
′
1y
′
1 + u
′
2y
′
2 + u1y
′′
1 + u2y
′′
2
Substituindo na equac¸a˜o diferencial, obtemos:
a(u′1y
′
1 + u
′
2y
′
2 + u1y
′′
1 + u2y
′′
2) + b(u1y
′
1 + u2y
′
2) + c(u1y1 + u2y2) = G
ou
u1(ay
′′
1 + by
′
1 + cy1) + u2(ay
′′
2 + by
′
2 + cy2) + a(u
′
1y
′
1 + u
′
2y
′
2) = G
Mas sabemos que y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o complementar, logo:
ay′′1 + by
′
1 + cy1 = 0 e ay
′′
2 + by
′
2 + cy2 = 0
Assim a equac¸a˜o u1(ay
′′
1 +by
′
1+cy1)+u2(ay
′′
2 +by
′
2+cy2)+a(u
′
1y
′
1+u
′
2y
′
2) = G
torna-se:
a(u′1y
′
1 + u
′
2y
′
2) = G
.
3
Dessa forma temos um sistema de duas equac¸o˜es nas func¸o˜es desconhecidas
u1 e u2:  u′1y1 + u′2y2 = 0a(u′1y′1 + u′2y′2) = G
Apo´s resolver esse sistema, podemos integrar para encontrar u1 e u2 e enta˜o
a soluc¸a˜o particular sera´ dada por:
yp(t) = u1(t)y1(t) + u2(t)y2(t).
Exemplo: Resolva a equac¸a˜o diferencial y′′ + y = tg(x), 0 < x <
pi
2
4