Estudos Disciplinares -Fundamentos da Engenharia Economica - Mód. 2

Prévia do material em texto

09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 1/7
 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1. Conceito de capitalização composta 
2. Fórmulas 
3. Exercícios resolvidos 
 
 
1. Conceito de capitalização composta
 
No regime de capitalização composta ou de juros compostos os juros calculados num período serão acrescidos ao capital principal para o cálculo dos juros no próximo período. Por esta razão diz­se, no caso de regime de capitalização composta, “juros sobre juros” ou “capitalização de juros”.
Este é o sistema utilizado no Brasil e na maioria dos países do mundo. 
Observe o esquema abaixo, onde é aplicado um capital de $ 1.000 durante ‘n’ períodos à uma taxa de 1% por período.
 
No primeiro período (n=1) a taxa de juros (1%) foi aplicada sobre o Capital C=1.000 gerando juros J1=10 e formando o montante M1=1.010. 
No segundo período a taxa de juros foi aplicada sobre o montante do período anterior (n=1), M1=1.010, gerando juros de J2=10,10 e formando o montante M
E assim sucessivamente a cada período.
2. Fórmulas
O Montante pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:
Da mesma maneira, para calcularmos o Valor Presente:
Os Juros são calculados pela fórmula: J=M­C
No exemplo acima temos, para cada período:
Período Juro Capital
0   1.000,00
1 10,00 1.010,00
2 10,10 1.020,10
3 10,20 1.030,30
4 10,30 1.040,60
Note que o capital cresce segundo uma progressão geométrica.
Para o cálculo da taxa temos: 
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 2/7
 
e para o cálculo do número de períodos:
  
 
3. Exercícios resolvidos
1. Qual o montante gerado por um capital de $35.000 aplicado durante 4 anos à uma taxa de 12% ao ano? 
2. Qual capital preciso aplicar à uma taxa de 3% ao mês, capitalizável mensalmente, durante 10 meses, para produzir um montante de $5.800? 
3. A que taxa semestral um capital de $6.000 gera juros de $ 1.813,56 durante 3 anos?
M=C+J=6.000+1.813,56=7.813,56 
Obs.: Como a taxa deve ser ao semestre, devemos passar n=3 anos para n=6 semestres.
4. Durante quanto tempo devo aplicar um capital de $1.000.000, à uma taxa de juros de 1,5% ao mês, capitalizável mensalmente, para obter um montante de $1.240.959,51?
 
Ou n= 14 meses e 15 dias.
 
 
Bibliografia
Básica
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002.
 
Complementar
 
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.
 
 
 
 
 
 
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 3/7
Exercício 1:
Um capital de $ 66.200,00 foi aplicado durante 2 semestres a uma taxa de juros compostos de 8,5% ao semestre, capitalizável semestralmente. Após este período o capital resultante foi aplicado por mais 3 anos a uma taxa de juros compostos de 2,8% ao trimestre, capitalizável trimestralmente.
Calculando o valor do montante após este período, temos como resultado
A ­ $ 78.444,00. 
B ­ $ 84.664,00. 
C ­ $ 99.921,00. 
D ­ $ 103.478,00. 
E ­ $ 108.551,00. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E ­ M=C.(1+i)^n M=66200.(1+0,085)^2 M=77932,29 M=77932,29.(1+0,028)^12 M=108551,25 
Exercício 2:
Em quanto tempo uma taxa de juros compostos de 4% ao mês triplica um determinado capital?
A ­ 2 anos e 4 meses. 
B ­ 2 anos e 11 meses. 
C ­ 3 anos e 3 meses. 
D ­ 5 anos e 2 meses. 
E ­ 5 anos e 8 meses. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A ­ M=C.(1+i)^n 3C=C.(1+0,04)^n 3=1,04^n ln3=n.ln(1,04) n=28 meses = 2anos e 4 meses 
Exercício 3:
Se um capital de R$ 73.500,00, aplicado durante 8 meses, gera juros de R$ 9.952,00, em quanto tempo ele gera juros de R$ 16.845,00?
A ­ 11 meses. 
B ­ 12 meses. 
C ­ 13 meses. 
D ­ 14 meses. 
E ­ 15 meses. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C ­ 73500+9952=73500.(1+i)^8 i=0,016 73500+16845=73500.(1+0,016)^n n=13 meses 
Exercício 4:
Em uma determinada data foram aplicados dois capitais: um de $ 100.000,00, a uma taxa de juros compostos de 3,4% ao mês, e outro de $150.000,00, a uma taxa de juros compostos de 2,45% ao mês.
Após quanto tempo os montantes das duas aplicações ficaram iguais?
A ­ 2 anos e 6 meses. 
B ­ 3 anos e 8 meses. 
C ­ 4 anos e 1 mês. 
D ­ 7 anos e 3 meses. 
E ­ 13 anos e 6 meses. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B ­ 150000.(1+0,0245)^n=100000.(1+0,034)^n 1,5=(1,034/1,0245)^n n=43,93 = 3 anos e 8 meses 
Exercício 5:
Considere os três investimentos possíveis relacionados a seguir: 
Investimento I: aplicar R$ 7.000,00 hoje e resgatar R$ 7.795,00 daqui a um ano. 
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 4/7
Investimento II: aplicar R$ 4.000,00 hoje e resgatar R$ 4.400,00 daqui a 8 meses. 
Investimento III: aplicar R$ 10.000,00 hoje e resgatar R$ 12.400,00 daqui a 4 semestres.
Assinale a alternativa correta:
A ­ O Investimento I apresenta a melhor rentabilidade. 
B ­ O Investimento II apresenta a melhor rentabilidade. 
C ­ O Investimento III apresenta a melhor rentabilidade. 
D ­ Os Investimentos I e II apresentam a mesma rentabilidade. 
E ­ Os investimentos apresentam todos a mesma rentabilidade. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B ­ 7795=7000.(1+i)^12 i=0,9% a.m. 4400=4000.(1+i)^8 i=1,198% a.m. 12400=10000.(1+i)^24 i=0,9% a.m. 
Exercício 6:
Um equipamento é vendido à vista por R$ 10.000,00 ou a prazo em duas condições: R$ 5.030,00 de entrada mais R$ 5.030,00 em um mês; ou R$ 3.000,00 de entrada, R$ 2.050,00 em um mês, R$ 3.000,00 em dois meses e R$ 2.090,00 em 3 meses.
Se você possui capital suficiente para comprar este equipamento em qualquer uma destas condições, e se este capital estiver rendendo 1,2% ao mês, qual das alternativas abaixo é a mais vantajosa financeiramente?
A ­ A melhor opção de pagamento é à vista. 
B ­ A melhor opção de pagamento é a de duas parcelas. 
C ­ A melhor opção de pagamento é a de quatro parcelas. 
D ­ A opção à vista é tão boa quanto a de quatro parcelas e ambas são melhores que a opção de duas parcelas. 
E ­ A opção de duas parcelas é tão boa quanto a de quatro parcelas e ambas são melhores que a opção a vista. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C ­ Está correta. 
Exercício 7:
Qual a taxa de juros compostos que quintuplica um capital em 8 anos?
A ­   1,45% a.m. 
B ­   1,69% a.m. 
C ­   1,75% a.m. 
D ­   1,80% a.m. 
E ­   1,86% a.m. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B ­ 5C=C.(1+i)^96 5=(1+i)^96 i=1,69% a.m. 
Exercício 8:
Que taxa de juros compostos quadruplica um capital em 8 anos?
A ­ 1,45% a.m. 
B ­ 1,69% a.m. 
C ­ 1,75% a.m. 
D ­ 1,80% a.m. 
E ­ 1,86% a.m. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A ­ 4C=C.(1+i)^96 4=(1+i)^96 i=1,45% a.m. 
Exercício 9:
Em quanto tempo uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês duplica um determinado capital?
A ­ 15 meses. 
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 5/7
B ­ 18 meses. 
C ­ 20 meses. 
D ­ 22 meses. 
E ­ 25 meses.O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C ­ 2C=C.(1+0,035)^n 2=(1,035)^n ln(2)=n.ln(1,035) n=20,149 meses 
Exercício 10:
Em quanto tempo uma taxa de juros compostos de 3,5% ao bimestre duplica um determinado capital?
A ­ 40 meses. 
B ­ 42 meses. 
C ­ 44 meses. 
D ­ 47 meses. 
E ­ 50 meses. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A ­ 2C=C.(1+0,035)^n 2=(1,035)^n n=20,149 bimestres = 40,3 meses 
Exercício 11:
Se um capital de R$ 12.000,00, aplicado durante 15 meses, gera juros compostos de R$ 1.523,00, em quanto tempo ele gera juros de R$ 3.000,00?
A ­ 20 meses. 
B ­ 24 meses. 
C ­ 28 meses. 
D ­ 30 meses. 
E ­ 34 meses. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C ­ 12000+1523=12000.(1+i)^15 13523=12000.(1+i)^15 i=0,007997 12000+3000=12000.(1+0,007997)^n n=28,01 meses 
Exercício 12:
Se um capital de R$ 12.000,00, aplicado durante 15 meses, gera juros compostos de R$ 1.523, em quanto tempo ele gera juros de R$ 995,30?
A ­ 9 meses. 
B ­ 10 meses. 
C ­ 11 meses. 
D ­ 12 meses. 
E ­ 13 meses. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B ­ 12000+1523=12000.(1+i)^15 i=0,007997 12000+995,30=12000.(1+0,007997)^n n=10 meses 
Exercício 13:
Em uma determinada data foram aplicados dois capitais: um de $ 8.000,00, a uma taxa de juros compostos de 0,8% ao mês, e outro de $ 7.500,00, a uma taxa de juros compostos de 1,1% ao mês.
Após quanto tempo os montantes das duas aplicações ficaram iguais?
A ­ 1 ano e 3 meses. 
B ­ 1 ano, 4 meses e 10 dias. 
C ­ 1 ano e 6 meses. 
D ­ 1 ano, 7 meses e 1 dia. 
E ­ 1 ano, 9 meses e 21 dias. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 6/7
Comentários:
E ­ 8000.(1+0,008)^n=7500.(1+0,011)^n 1,0667=(1,00297)^n n=21,72 meses = 1 ano, 9 meses e 21 dias
Exercício 14:
Em uma determinada data foram aplicados dois capitais: um de $ 8.000,00, a uma taxa de juros compostos de 0,7% ao mês, e outro de $ 7.000,00, a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. 
Após quanto tempo os montantes das duas aplicações ficaram iguais?
A ­ 2 anos, 7 meses e 20 dias. 
B ­ 3 anos e 11 dias. 
C ­ 3 anos, 4 meses e 6 dias. 
D ­ 3 anos, 8 meses e 26 dias. 
E ­ 3 anos, 10 meses e 16 dias. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D ­ 8000.(1+0,007)^n=7000.(1+0,01)^n 1,1428=(1,00298)^n n=44,578 meses = 3anos, 8meses e 17dias 
Exercício 15:
Um capital de $ 22.000,00 foi aplicado durante 7 trimestres a uma taxa de juros compostos de 4,5% ao bimestre, capitalizável bimestralmente. Após este período, o capital resultante foi aplicado por mais 2 anos a uma taxa de juros compostos de 5,2% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. 
Qual é o valor do montante após este período?
A ­ $ 36.621,00. 
B ­ $ 44.912,00. 
C ­ $ 47.050,00. 
D ­ $ 52.392,00. 
E ­ $ 53.882,00. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
B ­ Corrigir o enunciado para 7bimestres M=22000.(1+0,045)^7 M=29938,96 M=29938,96.(1+0,052)^8 M=44912,02 
D ­ M=22000.(1+0,045)^10,5 M=34925,59 M=34925,59.(1+0,052)^8 M=52392,56 
Exercício 16:
Um capital de $ 22.000,00 foi aplicado durante 7 bimestres, a uma taxa de juros compostos de 4,5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. Após este período, o capital resultante foi aplicado por mais 2 anos a uma taxa de juros compostos de 5,2% ao quadrimestre, capitalizável quadrimestralmente. 
Qual é o valor do montante após este período?
A ­ $ 36.621,00. 
B ­ $ 44.912,00. 
C ­ $ 47.050,00. 
D ­ $ 52.392,00. 
E ­ $ 53.882,00. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A ­ M=22000.(1+0,045)^4,667 M=27017,08 M=27017,08.(1+0,052)^6 M=36621,22 
Exercício 17:
Certo capital é aplicado a uma taxa de juros compostos de 3,42% ao trimestre. Em quanto tempo os juros gerarão o quádruplo do capital? Para que este tempo seja de 10 anos, qual é a taxa de juros que deve ser aplicada?
A ­ 10 anos e 4 meses; 3,53% ao trimestre. 
B ­ 11 anos; 3,7% ao trimestre. 
C ­ 12 anos; 4,1% ao trimestre. 
D ­ 3 anos e meio; 1,16% ao mês. 
E ­ 4 anos; 1,35% ao mês. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
09/05/2016 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 7/7
A ­ 4C=C.(1+0,0342)^n 4=(1,0342)^n n=41,22 trimestres = 10 anos e 4 meses 
C ­ 5C=C.(1+0,0342)^n 5=(1,0342)^n n=47,86 trimestres = 11 anos, 11 meses e 17 dias 5C=C.(1+i)^40 5=(1+i)^40 i=0,041 = 4,1% a.t.
Exercício 18:
Certo capital é aplicado a uma taxa de juros compostos de 3,42% ao trimestre. Em quanto tempo os juros ficarão o quadruplo do capital? Para que este tempo seja de 10 anos, qual a taxa de juros que deve ser aplicada?
A ­ 10 anos e 4 meses e 3,53% ao trimestre. 
B ­ 11 anos e 3,7% ao trimestre. 
C ­ 12 anos e 4,1% ao trimestre. 
D ­ 3 anos e meio e 1,16% ao mês. 
E ­ 4 anos e 1,35% ao mês. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C ­ Idem a anterior. 
Exercício 19:
Dispondo de certo capital, um investidor aplicou metade dele em um fundo de investimentos de médio risco, que rende 0,8% a.m.. A outra metade foi aplicada na mesma data em um outro fundo, de baixo risco, que rende 0,6% a.m..
A perspectiva de tempo para que o saldo do primeiro investimento fique o dobro do segundo é de
A ­ 182 meses. 
B ­ 240 meses. 
C ­ 258 meses. 
D ­ 280 meses. 
E ­ 349 meses. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E ­ C.(1+0,008)^n=2C.(1+0,006)^n 2=(1,001988)^n n=349 meses