20 Planos equacao geral vetorial parametricas (1)

Prévia do material em texto

n. 20 – EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
 
Seja A (x1, y1, z1) um ponto que pertence ao plano π e �⃗� = a 𝑖 + b 𝑗 + c �⃗� , 
sendo �⃗� ≠ (0, 0, 0) um vetor ortogonal ao plano. 
 
O plano π pode ser definido como o conjunto de todos os pontos P (x, y, z) do 
espaço, tais que o vetor 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ é ortogonal a �⃗� . 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto P pertence a π se, e somente se: 
 �⃗� . 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 
Seja �⃗� = (a, b, c) e 
 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = P – A = (x, y, z) – ( x1, y1, z1) = (x – x1, y – y1, z – z1) 
∴ (a, b, c) . (x – x1, y – y1, z – z1) = 0 
∴ a (x – x1) + b (y – y1) + c(z – z1) = 0 
∴ a x – a x1 + b y – b y1 + c z – c z1 = 0 
Fazendo – a x1 – b y1 – c z1 = d 
Temos: 
a x + b y + c z + d = 0 que é a equação geral do plano ou equação 
cartesiana do plano 
 
 d é o termo independente, uma constante que influencia na interseção 
entre o plano e os eixos cartesianos. 
 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO: a x + b y + c z + d = 0 
 
Exemplos: 
1. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, – 5) e é ortogonal 
ao vetor �⃗� = (1, 2, 6) R: α: x + 2 y + 6 z + 19 = 0 
 
2. Escreva a equação do plano π que contém o ponto A (– 3, 2, 0) e é paralelo 
ao plano α: 4 x + 5 y – 7 z + 8 = 0. R: π: 4 x + 5 y – 7 z + 2 = 0 
 
3. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (– 1, 3, – 5) e é paralelo 
aos vetores �⃗� = (2, 4, 6) e 𝑣 = (1, 0, 3). R: α: 3 x – z – 2 = 0 
 
4. Escreva a equação do plano mediador do segmento AB, dados A (2, – 1, 4) 
e B (4, – 3, – 2). R: α: x – y – 3z – 2 = 0 
 
 
Resolução dos exercícios: 
1. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, – 5) e é ortogonal 
ao vetor �⃗� = (1, 2, 6) 
Equação geral: a x + b y + c z + d = 0 
(a, b, c) é o vetor normal 
(x1, y1, z1) é o ponto que pertence ao plano: A (3, 4, – 5) 
d = – a x1 – b y1 – c z1 
 
 ∴ 1 x + 2 y + 6 z + [– 1 (3) – 2 (4) – 6 (– 5) ] = 0 
∴ 1 x + 2 y + 6 z + [– 3 – 8 + 30 ] = 0 
∴ A equação do plano é: x + 2 y + 6 z + 19 = 0 
 
2. Escreva a equação do plano π que contém o ponto A (– 3, 2, 0) e é paralelo 
ao plano α: 4 x + 5 y – 7 z + 8 = 0. 
 
Se π é paralelo ao plano α, um vetor normal é (4, 5, – 7) 
Então a equação do plano é: 4 x + 5 y – 7 z + [– 4 (– 3) – 5 (2) + 7 (0)] = 0 
 4 x + 5 y – 7 z + 12 – 10 = 0 
 4 x + 5 y – 7 z + 2 = 0 
 
3. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (– 1, 3, – 5) e é paralelo 
aos vetores �⃗� = (2, 4, 6) e 𝑣 = (1, 0, 3). 
 
O vetor normal ao plano é o produto vetorial, ou produto externo entre �⃗� e 𝑣 , 
ou seja, 
�⃗� = (�⃗� x 𝑣 ) = |
𝑖 𝑗 𝑘
2 4 6
1 0 3
| = (12 - 0) i – (6 – 6) j + (0 – 4)k = 12 i – 4 k = (12, 0, - 4) 
∴ a equação do plano é: 12 x + 0 y – 4 z + [- 12 (- 1) – 0 (3) – (- 4) (- 5) ] = 0 
 12 x – 4 z + 12 – 20 = 0 
 12 x – 4 z – 8 = 0 
 α: 3 x – z – 2 = 0 
 
 
 
4. Escreva a equação do plano mediador do segmento AB, dados A (2, – 1, 4) 
e B (4, – 3, – 2). 
 
O plano mediador de AB é o plano ortogonal a AB e que contém seu ponto 
médio. 
Logo, um vetor normal a este plano é 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = (4, – 3, – 2) – (2, – 1, 4) = 
(2, – 2, – 6) 
Um ponto do plano é 
 
 
𝐴 + 𝐵
2
= 
2 + 4
2
 ,
− 1 +(−3)
2
 ,
4 +(−2)
2
= 
6
2
 ,
− 4
2
 ,
2 
2
 = (3 , − 2 , 1) 
 
∴ a equação do plano é: 2 x – 2 y – 6 z + [– 2 (3) – (– 2) (– 2) – (– 6) (1) ] = 0 
 2 x – 2y – 6 z – 6 – 4 + 6 = 0 
 2 x – 2y – 6 z – 4 = 0  x – y – 3z – 2 = 0 
 
 
 
Equação vetorial do plano 
 
Seja A (x0, y0, z0) um ponto do plano π e �⃗� = (a1, b1, c1) e 𝑣 = (a2, b2, c2) dois 
vetores não paralelos pertencentes a esse plano. 
Um ponto P (x, y, z) pertence ao plano π, se e somente se, existem números 
reais h e k tais que: 
 
 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = h �⃗� + k 𝑣 
 
(adição de vetores pela construção do 
paralelogramo) 
 
Escrevendo a equação em coordenadas temos: 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = h �⃗� + k 𝑣 
P – A = h (a1, b1, c1) + k (a2, b2, c2) 
P = A + h (a1, b1, c1) + k (a2, b2, c2) 
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + h (a1, b1, c1) + k(a2, b2, c2)  equação vetorial do plano 
 Ou 
(x, y, z) = (x0 + h a1 + k a2, y0 + h b1 + k b2, z0 + h c1 + k c2)  equação vetorial do plano 
 
Os vetores �⃗� e 𝑣 são chamados de vetores diretores do plano 𝜋. 
 
Equações paramétricas do plano 
 
{
 
 
 
 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1ℎ + 𝑎2 𝑘
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏1ℎ + 𝑏2 𝑘
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐1ℎ + 𝑐2 𝑘
 
 
Exemplos: 
1. Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A (2, 1, 
3) e é paralelo aos vetores �⃗� = (– 3, – 3, 1) e 𝑣 = (2, 1, – 2). 
2. Escreva as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos 
A (5, 7, - 2), B (8, 2, - 3 ) e C (1, 2, 4). 
 
 
Resolução dos exercícios: 
1. Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A 
(2, 1, 3) e é paralelo aos vetores �⃗� = (– 3, – 3, 1) e 𝑣 = (2, 1, – 2). 
{
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1ℎ + 𝑎2𝑘
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏1ℎ + 𝑏2𝑘
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐1ℎ + 𝑐2𝑘
 
 {
𝑥 = 2 − 3ℎ + 2𝑘
𝑦 = 1 − 3ℎ + 1𝑘
𝑧 = 3 + 1ℎ − 2𝑘
 
 
Se quisermos um ponto de plano, basta atribuir valores quaisquer para h e k. 
Por exemplo: se h = 5 e k = 1, temos 
 {
𝑥 = 2 − 3(5) + 2(1) → 𝑥 = −11
𝑦 = 1 − 3(5) + 1(1) → 𝑦 = −13
𝑧 = 3 + 1(5) − 2(1) → 𝑧 = 6
 
Logo, B (- 11, - 13, 6) é um ponto do plano. 
 
Para descobrir a equação geral do plano: 
O vetor normal ao plano é o produto vetorial, ou produto externo entre �⃗� e 𝑣 , 
ou seja, 
�⃗� = (�⃗� x 𝑣 ) = |
𝑖 𝑗 𝑘
−3 −3 1
2 1 −2
| = (6-1) i – (6 – 2) j + (-3+6)k = 5i – 4j +3 k = (5,- 4,3) 
∴ a equação do plano é: 5 x – 4 y + 3 z + [– 5 (2) – (– 4) (1) – 3 (3) ] = 0 
 5 x – 4 y +3z +[ – 10 +4 -9) = 0 
 5 x – 4 y +3 z – 5 = 0 
 α: 5 x – 4y +3z – 5 = 0 
 
 
 
2. Escreva as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos 
 A (5, 7, - 2), B (8, 2, - 3 ) e C (1, 2, 4). 
Primeiro descobrir se os pontos são colineares ou não. 
Logo, det = 0  colinearidade. 
[
5 7 −2 5 7
8 2 −3 8 2
1 2 4 1 2
] = 40 − 21 − 32 + 4 + 30 − 224 = −277 + 74 = −203 
 
Três pontos não colineares determinam um plano, assim: 
�⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = (8, 2, - 3) – (5, 7, - 2) = (3, - 5, - 1) 
𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – A = (1, 2, 4) – (5, 7, - 2) = (- 4, - 5, 6) 
 
Logo, as paramétricas desse plano, utilizando o ponto A são: 
{
𝑥 = 5 + 3ℎ − 4𝑘
𝑦 = 7 − 5ℎ − 5𝑘
𝑧 = −2 − 1ℎ + 6𝑘
 
 
Exercícios: 
1. Escreva a equação do plano π que passa pelo ponto A (3, 1, - 4) e é 
paralelo ao plano: α: 2 x – 3 y + z – 6 = 0 R: 𝜋: 2 x – 3 y + z + 1 = 0 
2. Determine a equação geral do plano δ que passa pelo ponto A (2, 1, - 2) e é 
ortogonal à reta 𝑟: {
𝑥 = −4 + 3𝑡
𝑦 = 1 + 2𝑡
𝑧 = 𝑡
 R: δ: 3 x + 2 y + 1 z - 6 = 0 
3. São dadas as equações paramétricas de um plano 𝛼: {
𝑥 = 1 − 2𝑢 + 𝑣
𝑦 = 2 + 𝑢 − 2 𝑣
𝑧 = 3 + 𝑢
 
Encontre a equação geral.𝑅: 𝛼: 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 13 = 0 
4. Ache a equação geral do plano que contém os pontos A (0, 4, 1) e B (- 1, 
3, 2) e têm à direção do vetor 𝑣 = ( - 1, 3, 5). R: π: 2 x – y + z + 3 = 0 
 
5. Determine a equação do plano que contém A (4, -1, 2) e é ortogonal ao 
vetor 𝑣 = ( - 2, 3, 1). R: – 2x + 3y + z + 9 = 0 
 
6. Obtenha um vetor unitário ortogonal ao plano π: 2 x + y - z + 5 = 0 
 R: �⃗� = (
2
√6
 ,
1
√6
 , − 
1
√6
 ) 
7. Determine o valor de a para que o ponto P(a, 3, -1) pertença ao plano π: 
2x + 11y + 8z = 27. R: a = 1 
 
8. Determine as equações paramétricas e a equação geral do plano que passa 
pelos pontos A (4, - 2, 1), B (- 1, 1, - 1) e C (3, 0, 2). 
 R: π: x + y – z – 1 = 0 e 𝜋: {
𝑥 = 4 − 5 �⃗� − 𝑣 
𝑦 = −2 + 3 �⃗� + 2 𝑣 
𝑧 = 1 − 2 �⃗� + 𝑣 
 
 
9. Encontre a equação geral do plano que passa por P (1, 2, - 3) e é paralelo 
ao plano yOz. R: π: x – 1 = 0 
 
 
10. Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P (3, - 1, 2) e é 
ortogonal à reta: 
𝑥 − 1
−2
=
𝑦 + 1 
1
= 
𝑧 − 2
−1
 R: π: – 2 x + y – z + 9 = 0 
 
11. Determine a equação geral do plano paralelo aos vetores �⃗� = (- 2, 0,1) e 
𝑣 = (- 1, - 2, 1) e passa pelo ponto A(1, 1, 0). R: π: 2 x + y + 4 z – 3 = 0 
 
12. Encontre a equação do plano α que passa pelos pontos 𝑀(
1
2
 , 0, 0), 
𝑁 (0,
1
2
 , 0) e 𝑂 (0,−
1
2
 ,
1
2
) R: α: 2 x + 2 y + 4 z – 1 = 0 
 
13. Calcule o valor de k para que os planos π: 3x – y + z - 4 = 0 e α: k x + 3y 
– z – 2 = 0 sejam ortogonais. R: 𝑘 = 
4
3
 
 
 
Resoluções: 
1. Escreva a equação do plano π que passa pelo ponto A (3, 1, - 4) e é 
paralelo ao plano: α: 2 x – 3 y + z – 6 = 0 
 
Se os dois planos são paralelos então o vetor normal (ortogonal) ao plano α 
também é ortogonal ao plano π, logo �⃗� = ( 2, - 3, 1). 
Então a equação do plano π pode ser escrita como: 2 x – 3 y + z + d = 0 
Descobrindo d: 
d = – 2 ( 3) – (–3) . (1 ) – 1 (– 4) + 
d = – 6 + 3 + 4 
d = 1 
Logo a equação do plano π é: 2 x – 3 y + z + 1 = 0 
 
 
 
2. Determine a equação geral do plano δ que passa pelo ponto A (2, 1, - 2) e é 
ortogonal à reta 𝑟: {
𝑥 = −4 + 3𝑡
𝑦 = 1 + 2𝑡
𝑧 = 𝑡
 
Se o plano δ é ortogonal a reta r, então o vetor diretor de r será um vetor 
ortogonal ao plano δ, logo, �⃗� = (3, 2, 1) então, a equação do plano pode ser 
escrita como: 
 δ: 3 x + 2 y + 1 z + d = 0 
3 (2) + 2 (1) + 1 (– 2) + d = 0 
6 + 2 – 2 + d = 0 
d = – 6 
Logo, a equação do plano δ é: 
δ: 3 x + 2 y + 1 z – 6 = 0 
 
 
 
3. São dadas as equações paramétricas de um plano: 
{
𝑥 = 1 − 2𝑢 + 𝑣
𝑦 = 2 + 𝑢 − 2 𝑣
𝑧 = 3 + 𝑢
 
 Encontre a equação geral. 
Os vetores �⃗� = (−2, 1, 1) e 𝑣 = (1, −2, 0) são vetores diretores do plano. 
O vetor �⃗� 𝑥 𝑣 (produto externo) é o vetor normal ao plano, logo: 
 
�⃗� 𝑥 𝑣 = [
𝑖 𝑗 �⃗� 
−2 1 1
1 −2 0
] = 2 𝑖 + 1 𝑗 + 3 �⃗� = �⃗� 𝑥 𝑣 = (2, 1, 3) 
Ponto do plano: A (1, 2, 3) 
Descobrindo o termo independente “d”: 
d = – 1 . (2) – 2 . (1) – 3 . (3) 
d = – 13 
Logo, a equação geral do plano é: 2 x + y + 3 z – 13 = 0 
 
 
 
4. Ache a equação geral do plano que contém os pontos A (0, 4, 1) e B (- 1, 3, 2) e têm 
à direção do vetor 𝑣 = ( - 1, 3, 5). R: π: 2 x – y + z + 3 = 0 
 
AB = B – A = (-1, 3, 2) – (0, 4, 1) = ( - 1, - 1, 1) = u 
 
Outro vetor do plano: v = (-1, 3, 5) 
 
�⃗� 𝑥 𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘
−1 − 1 1
−1 3 5
 | = (−5 − 3)𝑖 − (−5 + 1) 𝑗 + (−3 − 1)𝑘 = (− 8, 4, −4) 
 
 �⃗� = ( - 8, 4, - 4) utilizando o ponto A 
 
𝑑 = −(−8)(0) − 4 (4) − (−4) (1) 
𝑑 = −16 + 4 
d = - 12 
Logo, π: 2 x – y + z + 3 = 0 
 
5. Determine a equação do plano que contém A (4, -1, 2) e é ortogonal ao vetor 𝑣 = ( - 2, 3, 
1). R: π: – 2x + 3y + z + 9 = 0 
 
d = - (-2) (4) – 3 (- 1) – (1) 2 
d = 8 + 3 - 2 
d = 9 
Logo, a equação do plano é π: – 2x + 3y + z + 9 = 0 
 
 
6. Obtenha um vetor unitário ortogonal ao plano π: 2 x + y - z + 5 = 0 
 
�⃗� = (2, 1, -1) 
|�⃗� | = √22 + 12 + (−1)2 = √6 
�⃗� ′ = 
�⃗� 
|�⃗� |
 = ( 
2
√6
 ,
1
√6
, − 
1
√6
 ) 
 
7. Determine o valor de a para que o ponto P(a, 3, -1) pertença ao plano π: 2x + 
11y + 8z = 27. R: a = 1 
d = - 2 x0 – 11 y0 – 8 z0 
- 27 = - 2 x0 – 11 y0 – 8 z0 
- 27 = - 2 a – 11 (3) – 8 (-1) 
2 a = - 33 + 8 + 27 
2 a = 2 
a = 1 
 
8. Determine as equações paramétricas e a equação geral do plano que passa pelos pontos 
A (4, - 2, 1), B (- 1, 1, - 1) e C (3, 0, 2). 
R: π: x + y – z – 1 = 0 e 𝜋: {
𝑥 = 4 − 5 𝑢 − 𝑣 
𝑦 = −2 + 3 𝑢 + 2 𝑣 
𝑧 = 1 − 2 𝑢 + 𝑣 
 
 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = (-1, 1, -1) – (4, - 2 , 1) = (- 5, 3, - 2) = �⃗� 
 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – A = (3, 0, 2) – (4, - 2 , 1) = (- 1, 2, 1) = 𝑣 
 
�⃗� 𝑥 𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘
−5 3 −2
−1 2 1
 | = 7 𝑖 + 7 𝑗 − 7𝑘 = (7, 7, −7) → �⃗� = (7, 7, −7) 
 
Encontrando d pelo ponto A 
d = - 7 (4) – 7 (- 2) – (-7) 1 
d = - 28 + 14 + 7 
d = - 7 
 
Logo, a equação geral é π: x + y – z – 1 = 0 
 
Vetorial pelo ponto A: 𝜋: {
𝑥 = 4 − 5 𝑢 − 𝑣 
𝑦 = −2 + 3 𝑢 + 2 𝑣 
𝑧 = 1 − 2 𝑢 + 𝑣 
 
 
 
9. Encontre a equação geral do plano que passa por P (1, 2, - 3) e é paralelo ao plano 
yOz. R: π: x - 1 = 0 
 
como é paralelo ao yOz e a normal é ortogonal ao plano temos: �⃗� = (𝑥, 0, 0) = ( 1,0, 0) 
 
 �⃗� = (1, 0, 0) 
d = - 1 (1) – 0 (2) – 0 (- 3) 
d = - 1 
Portanto, π: x - 1 = 0 
 
 
10. Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P (3, - 1, 2) e é ortogonal à 
reta: 
𝑥 − 1
−2
=
𝑦 + 1 
1
= 
𝑧 − 2
−1
 R: π: – 2 x + y – z + 9 = 0 
Vetor diretor da reta: (-2, 1, -1) 
d = - (-2) (3) – 1 (-1) – (-1).(2) 
d = 6 + 1 + 2 
d = 9 
Portanto, π: – 2 x + y – z + 9 = 0 
 
11. Determine a equação geral do plano paralelo aos vetores �⃗� = (- 2, 0,1) e 𝑣 = (- 1, - 2, 1) e 
passa pelo ponto A(1, 1, 0). R: π: 2 x + y + 4 z – 3 = 0 
 
Como �⃗� e 𝑣 não são paralelos fazemos produto externo: 
 
�⃗� 𝑥 𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘
−2 0 1
−1 −2 1
 | = 2 𝑖 − (−2 + 1)𝑗 + 4𝑘 = 2 𝑖 + 𝑗 + 4𝑘 = (2, 1, 4) → �⃗� = (2, 1, 4) 
 
A (1, 1, 0) 
 
d = -2 (1) – 1 (1) – 4 (0) 
d = - 2 - 1 
d = - 3 
π: 2 x + y + 4 z – 3 = 0 
12. Calcule o valor de k para que os planos π: 3x – y + z - 4 = 0 e α: k x + 3y – z – 2 = 0 
sejam ortogonais. R: 𝑘 = 
4
3
 
(3, -1, 1) . (k, 3, -1) = 0 
3 k – 3 – 1 = 0 
3 k = 4 
𝑘 = 
4
3
 
 
13. Encontre a equação do plano α que passa pelos pontos 𝑀(
1
2
 , 0, 0), 𝑁 (0,
1
2
 , 0) e 
𝑂 (0,−
1
2
 ,
1
2
) R: α: 2 x + 2 y + 4 z – 1 = 0 
 
Como 3 pontos determinam um plano, então com os 3 pontos dados obtemos os vetores 
 
𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = N – M =(0,
1
2
 , 0) − (
1
2
 , 0, 0) = (−
1
2
 ,
1
2
, 0) = 𝑢 
 
𝑀𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = O – M =(0,−
1
2
 ,
1
2
) − (
1
2
 , 0, 0) = (−1
2
, −
1
2
 ,
1
2
) = 𝑣 
 
�⃗� 𝑥 𝑣 = 
|
|
𝑖 𝑗 𝑘
−
1
2
 
1
2
0
− 
1
2
− 
1
2
 
1
2
 
|
|
= 
1
4
 𝑖 +
1
4
 𝑗 + 
1
2
 𝑘 = (
1
4
 ,
1
4
,
1
2
) → �⃗� = (
1
4
 ,
1
4
,
1
2
) 
 
Encontrando o d a partir do ponto M (
1
2
 , 0, 0): 
d = − 
1
4
 (
1
2
) − 
1
4
(0) − 
1
2
 (0) 
 
d = − 
1
8
 
 
Logo, 
1
4
 𝑥 + 
1
4
 𝑦 + 
1
2
 𝑧 − 
1
8
 = 0  multiplicando tudo por 8: 
 
α: 2 x + 2 y + 4 z – 1 = 0 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: 
McGraw-Hill, 1987. 
 
BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – 
UTFPR. 
 
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. 
 
VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990. 
 
VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba. 1949.