ROTA 4 P.O

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PESQUISA OPERACIONAL 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. José de Souza Leal Neto 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Até o presente momento, foram apresentados diversos conceitos relativos 
ao método simplex. Perceba que houve uma construção de conhecimento sobre 
o método simplex e que a sequência de cada tópico, abordados anteriormente, 
teve por objetivo desenvolver as condições necessárias para que você 
compreendesse a lógica da programação existente nos diferentes softwares 
disponíveis no mercado, os quais foram desenvolvidos para resolver problemas 
de programação linear. 
Em um primeiro momento, seria mais pragmático ensinar apenas o uso 
do Solver para resolver problemas de programação linear. Porém, a 
compreensão da sistemática proposta pelo método simplex seria comprometida. 
Se você dedicou tempo para estudar o método simplex, então é capaz de 
perceber que a primeira ação necessária é estudar o problema, em seguida obter 
informações/dados adequados e, posteriormente, identificar as restrições 
existentes, para então iniciar o processo de modelagem do problema. 
Sem modelagem não há como resolver o problema estudado e muito 
menos fazer uso da ferramenta Solver do Excel ou de qualquer outro software. 
A compreensão do conceito de função objetivo e de restrições fará com que 
você possa, além de empregar o Solver, explorar diferentes cenários a partir de 
uma dada situação. 
Agora, antes de começarmos a explicar o uso da ferramenta Solver do 
Excel, é importante você saiba que esta ferramenta possui um algoritmo 
(programação) baseado no algoritmo do método simplex, apresentado 
anteriormente, e que, apesar de ser uma ferramenta confiável, é sempre 
aconselhável analisar de forma crítica os dados apresentados na solução, a fim 
de identificar possíveis inconsistências... não exclua a possibilidade de você ter 
inserido dados de forma equivocada! Mas, uma coisa de cada vez, vamos ao 
que interessa: é hora de estudar. 
CONTEXTUALIZANDO 
Como comentado acima, o foco de nosso estudo sobre o método simplex 
foi apresentar o fundamento teórico necessário para a resolução de problema de 
programação linear e sua análise. Entretanto, a partir desta aula, mostraremos 
como evitar todos os cálculos apresentado anteriormente a fim de que a 
 
 
3 
atividade gerencial do administrador seja priorizada. Portanto, vamos nos 
concentrar na modelagem de problemas e na análise de suas respostas. 
Felizmente, há muitos softwares disponíveis no mercado que podem nos 
auxiliar na execução dos cálculos previstos no método simplex. Entre as 
ferramentas que possuem um número significativo de usuários, estão as 
Planilhas Eletrônicas, pois, além do seu manuseio ser amigável, elas estão 
acessíveis a praticamente todos os usuários de computadores. 
No nosso caso específico, faremos uso em nosso estudo da planilha Excel 
da Microsoft e, por ser a mais popular no Brasil, presumimos que você possua o 
conhecimento dos comandos elementares existentes em uma planilha Excel. A 
versão do Excel empregada nesta disciplina é a existente na Microsoft Office 365 
ProPlus, e, consequentemente, poderá haver diferenças nos menus, nome de 
funções e outras, dependendo da versão que você estiver usando no momento. 
Existe uma série de softwares específicos para a resolução de problemas 
de programação linear. Um dos mais populares é o LINDO, da Lindo Systems, 
que possui uma versão educacional limitada e gratuita (download no site: 
<http://www.lindo.com>). A Lindo Systems também disponibiliza um suplemento 
para o Excel chamado What´s Best, que substitui a ferramenta Solver do Excel 
e permite a resolução de problemas de maior porte (Lachtermacher, 2009). 
Se você tiver conhecimento básico em inglês e quiser outra alternativa, 
então faça uma pesquisa no Google Play por operational research (pesquisa 
operacional) e você descobrirá que há alguns apps desenvolvidos a partir do 
algoritmo do método simplex que estão disponíveis, são gratuitos, porém com 
limitações nas quantidades de variáveis de decisão e de restrições, mas são 
apoio à aprendizagem do método simplex. 
Nesta aula, a ferramenta Solver do Excel será apresentada e aplicada em 
um problema de maximização e em dois problemas de minimização. Os 
problemas de minimização são situações que podem ocorrer nas empresas, e o 
conhecimento de suas modelagens poderão ser úteis ao administrador, quando 
no desempenho de suas funções. Por fim, na abordagem de análise de 
sensibilidade são apresentados conceitos referentes às variações dos 
coeficientes da função objetivo e dos coeficientes e das constantes das 
restrições, tal estudo se denomina. 
 
 
 
4 
TEMA 1 – FERRAMENTA SOLVER DO EXCEL 
O Solver realiza na planilha Excel todos os procedimentos do método 
simplex, e, para isto, deve-se informar ao Excel os dados previamente definidos 
na caixa de diálogo Parâmetros do Solver. Tais parâmetros são obtidos a partir 
da modelagem do problema de programação linear e estão inclusos tanto na 
função objetivo e como nas restrições. Mas, antes de aplicar o Solver, temos de 
estruturar/organizar a planilha de forma que os parâmetros necessários sejam 
“visíveis” àquela ferramenta. Os passos para preparar o Excel para usar a 
ferramenta Solver são apresentados a seguir, bem como um exemplo 
comentado passo a passo para facilitar a aprendizagem. 
Habilitação do Solver: a primeira ação a ser realizada é a habilitação da 
ferramenta Solver na planilha Excel. Inicialmente, selecione a guia “Arquivo” na 
Faixa de Opções da planilha e, em seguida, na nova janela aberta, selecione a 
opção “Opções”. Será aberta uma nova janela e, no menu à esquerda, selecione 
“Suplementos” e em seguida clique no botão “Ir...”, na parte inferior da janela. 
Novamente, uma nova janela será aberta e nesta, selecione a opção “Solver” e 
em seguida clique no botão “Ok”. Agora, selecione a guia “Dados” na Faixa de 
Opões da planilha e identifique o ícone do Solver em “Análise”, conforme 
apresentado na Figura 1. 
Figura 1 – Localização do ícone da ferramenta Solver 
 
Adequação da planilha aos dados do problema. Após a habilitação do 
Solver no Excel, é necessário estruturar a planilha para receber os dados obtidos 
na modelagem do problema de programação linear. Para usar o Solver, é 
necessário apenas os dados obtidos na modelagem, portanto você não precisa 
se preocupar em incluir outros tipos de variáveis, sejam de folga, excesso ou 
artificial. 
A organização proposta da planilha por Lachtermacher (2009) é didática 
e de fácil compreensão, por isso a tomamos como referencial. Ele nos diz que 
 
 
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“a mágica da modelagem de um problema de programação linear em uma 
planilha eletrônica está na maneira como arrumamos a célula”. A partir da 
proposta daquele autor, designamos uma célula para representar cada uma das 
seguintes entidades: 
 Função objetivo (maximização/minimização): designação das variáveis 
de decisão e de seus coeficientes; 
 Variáveis (Solver): são os valores que o Solver vai calcular para as 
variáveis de decisão; 
 Z: é o valor da solução ótima, que será obtida pela multiplicação dos 
coeficientes das variáveis de decisão pelos valores calculados pelo 
Solver. 
 Para cada restrição: 
• Uma para o lado esquerdo da restrição – LHS (left hand side). Uma 
célula vai representar toda a expressão que está à esquerda do sinal 
de inequação. Assim, o valor nesta célula será a soma das 
multiplicações dos coeficientes de cada variável de decisão, nas linhas 
de restrição, pelo respectivo valor calculado pelo Solver. 
• Uma para o lado direito darestrição – RHS (right hand side). Uma célula 
terá o valor da constante (o b no quadro do simplex), que está do lado 
direito do sinal de inequação. 
A partir da designação das células, apresentadas acima, a estrutura da 
planilha terá o formado semelhante ao apresentado na Figura 2, que, no caso, 
foi configurada para 4 (quatro) variáveis de decisão e para 4 (quatro) restrições. 
Figura 2 – Estrutura de planilha (modelo) 
 
 
 
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Para exemplificar o preenchimento, vamos usar o exemplo da marcenaria 
(Andrade, 2009) apresentado na Rota de Ensino 3. A modelagem do problema 
gerou a forma-padrão e a solução gráfica – Figura 3 –, apresentadas a seguir. 
Maximizar 𝑍 = 4𝑥1 + 1𝑥2, 
 sujeito às restrições 
 Madeira 2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 12 
 Mão de obra 2𝑥1 + 1𝑥2 ≤ 8 
 e 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 
 sendo, 
 𝑥1: mesas (un.), e 𝑥2: armários (un.). 
Figura 3 – Solução gráfica 
 
Figura 4 – Problema da marcenaria 
 
 
 
7 
Assim, termos a planilha preenchida – Figura 4 –, na qual a fórmula na 
célula C5 (Zmáx) é C3*C4+D3*D4 (𝑍 = 4𝑥1 + 1𝑥2), na célula E8 (Madeira-LHS) é 
C4*C8+D4*D8 (2𝑥1 + 3𝑥2) e na célula E9 (Mão de obra-LHS) é C4*C9+D4*D9 
(2𝑥1 + 1𝑥2). Os valores unitários de 𝑥1 (mesas) e de 𝑥2 (armários) são calculados 
pelo Solver e inseridos nas células C4 e D4. Consequentemente, os valores de 
Z e das restrições madeira (LHS) e mão de obra (LHS) são calculados e deixam 
de ter o valor igual a 0 (zero). A indicação dos sinais ≤ ao final das restrições é 
para lembrar o tipo de inequação existente em cada restrição e será útil quando 
for preencher a caixa de diálogo Parâmetros do Solver. 
Para preencher a caixa de diálogo Parâmetros do Solver – Figura 5 – para 
iniciar o cálculo, selecionamos a guia “Dados” e em seguida clicamos no ícone 
“Solver” em “Análise” para o Excel abri-la. 
Figura 5 – Parâmetros do Solver 
 
Os passos para preencher a caixa de diálogo Parâmetros do Solver são 
os seguintes: 
 Definir objetivo: selecionar a célula C5 (Zmáx). 
 
 
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 Para: Máx... já está previamente selecionado. Quando o problema for de 
minimização, deve-se fazer a seleção da opção Mín. 
 Alterando Células Variáveis: selecionar as células C4 e D4 (C4:D4), 
destacadas em “amarelo” na Figura 4. Estas células não devem conter 
quaisquer tipos de informações/dados porque são reservadas para uso do 
Solver. 
 Sujeito às restrições: neste espaço serão incluídas as relações LHS e os 
valores RHS, bem como os sinais das inequações. Para isso, você deve 
clicar no botão “Adicionar” para abrir uma caixa de diálogo – Figura 7 – 
para informar as relações das restrições, uma de cada vez. 
Figura 6 – Relações das restrições 
 
• Referência de célula: preencher com o valor do LHS. 
• O sinal <= já é previamente selecionado. Quando for necessário, deve 
ser alterado (por isso foi colocado ao final da restrição o sinal da 
inequação para lembrar quando for necessário fazer a alteração). 
• Restrição: preencher com o valor RHS, ou seja, o valor da constante. 
• Adicionar: clique neste botão para inserir uma nova restrição. 
• Ok: clique neste botão quando todas as restrições forem incluídas. 
 GRG Não Linear: deve ser modificado para LP Simplex. 
 Opções: este botão permite selecionar, em outra caixa de diálogo, a opção 
de Mostrar Resultados de Iterações. Tal opção permitirá a você 
identificar os valores dos tableau intermediários do algoritmo do método 
simplex. 
 Resolver: clique neste botão para realizar o cálculo. 
Após o preenchimento da caixa de diálogo Parâmetros do Solver 
conforme instruções acima, a caixa de diálogo deverá estar conforme 
 
 
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apresentado na Figura 7. Agora, o passo seguinte é clicar no botão Resolver, o 
que vai fazer com que seja aberta a caixa de diálogo Resultados do Solver –– 
Figura 8. Para prosseguir, seleciona o botão OK, e o resultado final dos cálculos 
é conforme o apresentado na planilha da Figura 9. 
Figura 7 – Parâmetros do Solver preenchido 
 
Figura 8 – Resultados do Solver 
 
 
 
 
 
 
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Figura 9 – Resultado Final do Solver 
 
A partir dos dados da planilha – Figura 9 –, é possível verificar que o 
resultado é compatível com a solução gráfica – Figura 2 – do problema. O 
recurso “madeira” possui 4m² disponíveis (RHS-LHS=4), o recurso “mão de obra” 
não possui disponibilidade (RHS-LHS=0) e devem ser produzidas 4 mesas (𝑥1) 
e 0 armário (𝑥2), conforme dados das células C4 e D4, respectivamente. 
Saiba mais 
O vídeo indicado aqui apresenta uma estrutura de planilha diferente, mas 
com todos os parâmetros necessários para aplicar o Solver. Veja o vídeo, 
consolide referências e acrescente conhecimento sobre comandos do Excel. 
Melhor ainda, coloque o problema apresentado no vídeo, na estrutura 
apresentada neste tema de ensino. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=5ruECzrJDUM>. 
TEMA 2 – PROBLEMA DE MAXIMIZAÇÃO: USO DO SOLVER 
O problema a seguir tem por objetivo primário aplicar o Solver para obter 
uma solução. Acreditamos que a abordagem sobre o Solver, feita anteriormente, 
tenha sido esclarecedora. Assim, no desenvolvimento do problema deste tema, 
serão realizados os comentários julgados imprescindíveis. Nesta oportunidade, 
o cenário do problema da “produção de pães salgados” apresentado na aula 
passada foi modificado com o objetivo de demonstrar que a programação linear 
é uma ferramenta que proporciona subsídios para a tomada de decisão, bem 
como permite explorar diferentes cenários. 
Produção de pães salgados. Os gestores da padaria Le Petite Pain não 
ficaram satisfeitos com o cenário em que somente a versão “Tradicional” e a 
 
 
11 
“+Queijo” deveriam ser produzidas para obter o máximo faturamento. Assim, 
decidiram adotar uma nova estratégia, em que limitam a produção diária da 
versão “Tradicional” a até 70kg para que as outras versões, com maior valor 
agregado, sejam vendidas. Além disso, atualizaram os seus dados de referência, 
modificando a disponibilidade diária de sua famosa calabresa artesanal, de 60kg 
para 70kg, conforme apresentado na Tabela 1. Nessas condições, os gestores 
desejam determinar qual quantidade de cada versão do pão salgado devem 
produzir a fim de obter o máximo faturamento com a venda dos pães. 
Tabela 1 – Pães salgados 
Pão salgado 
Trigo 
(kg) 
Muçarela 
(kg) 
Calabresa 
(kg) 
Preço 
($/kg) 
Tradicional 0,6 0,2 0,2 12 
+Queijo 0,6 0,6 0,2 23 
+Calabresa 0,6 0,4 0,6 28 
Quantidade 
diária disponível 
(kg) 
200 150 70 
 Solução: 
 O modelo atualizado do problema de programação linear da padaria Le 
Petite Pain é (Z em $): 
 Maximizar 𝑍 = 12𝑥1 + 23𝑥2 + 28𝑥3, 
 sujeito às restrições 
 Trigo 0,6𝑥1 + 0,6𝑥2 + 0,6𝑥3 ≤ 200 
 Muçarela 0,2𝑥1 + 0,6𝑥2 + 0,4𝑥3 ≤ 150 
 Calabresa 0,2𝑥1 + 0,2𝑥2 + 0,6𝑥3 ≤ 70 
 Pão tradicional 1,0𝑥1 + 0,0𝑥2 + 0,0𝑥3 ≤ 70 
 e 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, 𝑥3 ≥ 0 
 sendo, 𝑥1: pão salgado ‘tradicional’ (kg), 𝑥2: pão salgado ‘+queijo’ (kg), e 
𝑥3: pão salgado ‘+calabresa’ (kg). 
 A planilha preenchida com os dados do problema é a apresentada na 
Figura 10. 
 
 
 
12 
Figura 10 – Planilha preenchida com os dados da Le Petite Pain 
 
Na planilha da Figura 10, tem-se: a fórmula na célula C5 (Zmáx) é 
C3*C4+D3*D4+E3*E4 (𝑍 = 12𝑥1 + 23𝑥2 + 28𝑥3), na célula F8 (Trigo-LHS) é 
C4*C9+D4*D9+E4*E9 (0,6𝑥1 + 0,6𝑥2 + 0,6𝑥3), na célula F9 (Muçarela-LHS) é 
C4*C9+D4*D9+E4*E9 (0,2𝑥1 + 0,6𝑥2 + 0,4𝑥3), na célula F10 (Calabresa-LHS) é 
C4*C10+D4*D10+E4*E10 (0,2𝑥1 + 0,2𝑥2 + 0,6𝑥3) e na célula F11 (Pão 
Tradicional-LHS) é C4*C11+D4*D11+E4*E11 (1,0𝑥1 + 0,0𝑥2 + 0,0𝑥3). Os valoresem kg de 𝑥1(pão salgado ‘Tradicional’), 𝑥2 (pão salgado ‘+Queijo’), e 𝑥3 (pão 
salgado ‘+Calabresa’) são calculados pelo Solver e inseridos nas células C4, D4 
e E4. Consequentemente, os valores de Z e das restrições Trigo (LHS), Muçarela 
(LHS), Calabresa (LHS) e Pão Tradicional (LHS) são calculados e deixam de ter 
o valor igual a 0 (zero). A indicação dos sinais ≤ ao final das restrições é para 
lembrar o tipo de inequação existente em cada restrição e será útil quando for 
preencher a caixa de diálogo Parâmetros do Solver. 
A caixa de diálogo Parâmetro do Solver preenchida é a apresentada na 
Figura 11, e o resultado final dos cálculos do Solver é apresentado na Figura 12. 
 
 
 
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Figura 11 – Parâmetros do Solver preenchidos 
 
Figura 12 – Resultado final do Solver 
 
A partir dos dados da planilha – Figura 12 –,verifica-se que ao se limitar a 
produção diária do pão salgado “Tradicional” (𝑥1) em 70 kg e de acrescer 10 Kg 
de calabresa para a produção, obtém-se a produção de pão salgado “+Queijo” 
(𝑥2) de 211,43kg, de pão salgado “+Calabresa” (𝑥3), de 22,86kg e de um 
faturamento máximo de $ 6.342,86. Também se verifica a disponibilidade de 
 
 
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17,43Kg (200-182,57) de trigo e que a muçarela e a calabresa são 
completamente usados na produção definida. 
Saiba mais 
Se você colocou o problema do vídeo indicado no tema de ensino 
anterior, poderá resolvê-lo e confirmar a solução agora. Acesse: 
<https://www.youtube.com/watch?v=5Yl9GgNrpx4>. 
TEMA 3 – PROBLEMA DE TRANSPORTE: UMA INTRODUÇÃO 
Problema de transporte é um tipo de problema real que acontece no 
cotidiano e que pode ser aplicado em Programação Linear. O “chamado 
problema de transporte recebeu esta denominação em virtude de suas 
aplicações envolverem como transportar mercadorias de maneira otimizada”, 
mas algumas de suas importantes aplicações (por exemplo, cronograma de 
produção) não estão relacionadas ao transporte (Hillier; Lieberman, 2010). O 
administrador sabe que no processo geral de produção e comercialização do 
produto a estrutura de transporte deve ser cuidadosamente planejada a fim de 
cumprir o seu objetivo com o menor acréscimo possível no custo final do produto 
(Andrade, 2009), por isso o estudo do problema de transporte lhe capacitará para 
decidir melhor. Como este tema tem por objetivo apresentar uma introdução ao 
problema de transporte, os conceitos fundamentais serão apresentados da 
forma mais objetiva possível e aplicados em um exemplo. 
Problema de transporte: é melhor visualizado quando se identificam as 
relações entre os componentes do sistema, tais como origem e destino, e 
consequentemente as possíveis alternativas de percurso. Neste contexto, 
deseja-se determinar, entre as diversas alternativas de percurso para realizar a 
distribuição de um produto, a que resultará no menor custo de transporte entre 
as fábricas (origem) e os centros de distribuição (destino) (Lachtermacher, 2009). 
A Figura 13 é uma representação em rede de um problema de transporte 
composto por três origens, dois destinos e seis rotas possíveis. 
 
 
 
15 
Figura 13 – Representação em rede 
 
No cenário da Figura 13, o problema consiste em definir a quantidade de 
produtos a ser enviada em cada rota (A1, A2, ... C2), que possuem custos 
unitários distintos. Perceba que as quantidades em cada rota são as variáveis 
de decisão, e os custos unitários das rotas são seus coeficientes na função 
objetivo, bem como que cada origem possui um limite de fornecimento e cada 
destino, um limite de demanda, armazenagem etc. 
O problema de transporte de um modo geral, na visão de Hillier e 
Lieberman (2010), “se refere a distribuir qualquer commodity de qualquer grupo 
de centros de fornecimento, chamado origem, a qualquer grupo de centros de 
recepção, denominado destinos, de modo a minimizar o custo total de 
distribuição”. Prosseguindo, os autores destacam que “cada origem possui 
determinada oferta de unidades a serem distribuídas aos destinos, e cada 
destino tem certa demanda pelas unidades a serem recebidas das origens” e 
que o modelo para um problema de transporte possui as seguintes hipóteses: 
 Das exigências: cada origem possui uma oferta fixa de unidades e que 
a sua totalidade deve ser distribuída aos destinos. De forma similar, cada 
destino possui uma demanda fixa por unidades, e toda essa demanda 
deve ser recebida das origens; 
 Do custo: o custo de distribuição de unidades de qualquer origem em 
particular para qualquer destino em particular é diretamente 
proporcional ao número de unidades distribuídas, consequentemente o 
custo final é: o custo unitário de distribuição vezes o número de unidades 
distribuídas. 
DESTINO
(Consumidores)
ORIGEM
(Fornecedores)
Alfa
P1
A1
Bravo
Charlie
P2
A2
C1
C2
B1
B2
 
 
16 
Fazendo com que Z seja o custo total de distribuição e 𝑥𝑖𝑗 (𝑖 =
1, 2, … , 𝑚; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛) seja o número de unidades a serem distribuídas da 
origem i para o destino j, a formulação em programação linear do problema de 
transporte é: 
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = ∑ ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1
,
𝑚
𝑖=1
 
 sujeito a 
∑ 𝑥𝑖𝑗
𝑚
𝑗=1
= 𝑠𝑖 para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚, 
∑ 𝑥𝑖𝑗
𝑛
𝑖=1
= 𝑑𝑗 para 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛, 
 e 
𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 para todo 𝑖 e 𝑗 
 onde: 
 𝑠𝑖 é o número de unidades sendo distribuído pela origem 𝑖, para 𝑖 =
1, 2, … , 𝑚. 
 𝑑𝑗 é o número de unidades recebidas pelo destino 𝑗, para 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛. 
Considerando a rede da Figura 13, temos que: 𝑚 = 3, 𝑛 = 2 e, no caso, 
a rota B1 será identificada com a variável de decisão 𝑥21 (origem 2 e destino 1). 
A partir da formulação em programação linear do problema de transporte, 
verifica-se que deve haver um equilíbrio entre a quantidade de oferta e a 
quantidade da demanda. Entretanto, pode haver situações em que há uma 
quantidade maior do que a outra, ou seja, com a oferta maior que a demanda ou 
a demanda maior que a oferta. 
Para o caso de a oferta ser maior que a demanda, pode-se adotar uma 
das seguintes medidas, a fim de que o destino não receba quantidade superior 
à demanda (Lactermacher, 2009): 
 Inserir um destino fictício (fantasma) com o custo unitário de transporte de 
todas as origens igual a zero e com a demanda igual à diferença entre o 
 
 
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total ofertado e o total demandado. Dessa forma, será garantida a 
igualdade das quantidades ofertadas e demandadas; ou 
 Modificar o sinal das restrições de ofertas (origens) de = para ≤ a fim de 
garantir que ocorra sobra de produtos ofertados. 
Para o caso de a demanda ser maior que a oferta, pode-se adotar uma 
das seguintes medidas, a fim de que toda a oferta (capacidade) seja esgotada 
no destino, mesmo que não atenda toda demanda requerida (Lachtermacher, 
2009): 
 Inserir uma fonte de oferta fictícia (fantasma) com o custo unitário de 
transporte para todos os destinos igual a zero e com a capacidade (oferta) 
igual à diferença entre o total demandado e o total ofertado. Dessa forma, 
será garantida a igualdade das quantidades demandas e ofertadas; ou 
 Modificar o sinal das restrições das demandas de = para ≤ a fim de 
garantir que parte da demanda não será atendida. 
Fornecedores de complemento alimentar: após o sucesso do 
lançamento de sua bebida láctea, a padaria Le Petite Pain deseja ampliar as 
vendas desse produto com a abertura de um PDV no centro da cidade. Nesse 
novo planejamento, identificou três fornecedores (Alfa, Bravo e Charlie) na 
região metropolitana capazes de fabricar o complemento alimentar (farinha) 
dentro das especificações. No planejamento, os gestoresda padaria definiram a 
potencial demanda semanal pelo complemento alimentar no PDV e na padaria, 
bem como identificaram a capacidade dos fornecedores e os custos transporte, 
conforme apresentado na Tabela 2. 
Tabela 2 – Complemento alimentar: custo de transporte 
Fornecedor 
Custo unitário de transporte do 
complemento alimentar ($/kg) 
Disponível no 
fornecedor (kg) 
PDV Padaria 
Alfa 0,9 1,6 8,3 
Bravo 1,4 2,9 13,7 
Charlie 1,1 1,2 8 
Demanda semanal (kg) 7,1 13,3 
A partir dessas informações, os gestores da padaria desejam determinar 
a quantidade que cada fornecedor deve entregar no PDV e na padaria de forma 
a ter o mínimo custo possível. 
 
 
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 Solução: 
 O modelo do problema de transporte da Le Petite Pain é (Z em $): 
 Minimizar 𝑍 = 0,9𝑥11 + 1,6𝑥12 + 1,4𝑥21 + 2,9𝑥22 + 1,1𝑥31 + 1,2𝑥32, 
 sujeito às restrições, 
1. Disponibilidade do fornecedor (em razão da oferta ser maior que a 
demanda, modificou-se o sinal de = para ≤): 
 Alfa (kg) 1 𝑥11 + 1 𝑥12 ≤ 8,3 
 Bravo (kg) 1 𝑥21 + 1 𝑥22 ≤ 13,7 
 Charlie (kg) 1 𝑥31 + 1 𝑥32 ≤ 8 
2. Demanda semanal (receber a exata quantidade demandada): 
 PDV (kg) 1 𝑥11 + 1 𝑥21 + 1 𝑥31 = 7,1 
 Padaria (kg) 1 𝑥12 + 1 𝑥22 + 1 𝑥32 = 13,3 
 e 𝑥11 ≥ 0, 𝑥12 ≥ 0, 𝑥21 ≥ 0, 𝑥22 ≥ 0, 𝑥31 ≥ 0, 𝑥32 ≥ 0 
sendo 𝑥11: rota Alfa-PDV (kg); 𝑥12: rota Alfa-padaria (kg); 𝑥21: rota Bravo-
PDV (kg); 𝑥22: rota Bravo-padaria (kg); 𝑥31: rota Charlie-PDV (kg); e 𝑥32: rota 
Charlie-PDV (kg). 
Lachtermacher (2009) usa para resolver problema de transporte uma 
planilha com estrutura mais compactada, cuja compreensão requer um pouco 
mais de estudo. Entretanto, julgamos ser mais didático continuar a empregar o 
modelo anteriormente apresentado, assim a Figura 14 apresenta a planilha 
preenchida com os dados do problema em estudo. 
Figura 14 – Planilha preenchida com os dados do problema de transporte 
 
 
 
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Na planilha da Figura 14, tem-se: a fórmula na célula C5 (Zmin) é 
C3*C4+D3*D4+E3*E4+F3*F4+G3*G4+H3*H4 (𝑍 = 0,9𝑥11 + 1,6𝑥12 + 1,4𝑥21 +
2,9𝑥22 + 1,1𝑥31 + 1,2𝑥32), na célula I8 (disponibilidade Alfa-LHS) é 
C4*C8+D4*D8+E4*E8+F4*F8+G4*G8+H4*H8 (1𝑥11 + 1𝑥12 + 0𝑥21 + 0𝑥22 +
0𝑥31 + 0𝑥32) e de forma semelhante nas células I9 (disponibilidade Bravo-LHS), 
I10 (disponibilidade Charlie-LHS), I11 (demanda PDV-LHS) e I12 (demanda 
padaria-LHS). Os valores em kg de 𝑥11 (rota Alfa-PDV), 𝑥12 (rota Alfa-padaria), 
𝑥21 (rota Bravo-PDV), 𝑥22 (rota Bravo-padaria), 𝑥31 (rota Charlie-PDV) e 𝑥32 (rota 
Charlie-PDV) são calculados pelo Solver e inseridos nas células C4, D4, E4, F4, 
G4 e H4. Consequentemente, os valores de Z e das restrições disponibilidade 
Alfa (LHS), disponibilidade Bravo (LHS), disponibilidade Charlie (LHS), demanda 
PDV (LHS) e demanda Padaria (LHS) são calculados e deixam de ter o valor 
igual a 0 (zero). 
A caixa de diálogo Parâmetro do Solver preenchida é a apresentada na 
Figura 15, e o resultado final dos cálculos do Solver é apresentado na Figura 16. 
Figura 15 – Parâmetros do Solver preenchidos 
 
Figura 16 – Resultado final do Solver 
 
 
 
20 
A partir dos dados da planilha – Figura 15 –, é possível verificar que o 
fornecedor Alfa proverá o PDV com 3 kg e a padaria com 5,3 Kg, ou seja, toda a 
sua capacidade de fornecimento será empregada. O fornecedor Bravo proverá 
somente o PDV, com 4,1 Kg, e tem uma disponibilidade 9,6 kg (13,7-4,1) do 
produto. O fornecedor Charlie proverá a padaria com toda a sua capacidade, que 
é de 8 kg. Esta disposição de fornecimento do complemento alimentar gerará o 
menor custo, que é de $26,52. 
Saiba mais 
Leia da página 76 até o início da página 80 do livro (impresso). Se 
possível, aplique o Solver para resolver os exemplos e os problemas propostos 
referentes ao problema de transporte existentes no capítulo. Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788544302194/pa
ges/79>. 
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à pesquisa 
operacional no ambiente de gestão. 2. ed. rev., atual. e ampl. Curitiba: 
InterSaberes, 2014. 
Leia a introdução do capítulo 5 e o Item 5.1 do TAHA e, se possível, 
aplique o Solver para resolver exemplos e exercícios propostos com respostas. 
Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576051503/pa
ges/85>. 
TAHA, H. A. Pesquisa Operacional: uma visão geral. 8. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2008. 
TEMA 4 – PROBLEMA DA DESIGNAÇÃO: UMA INTRODUÇÃO 
Segundo Hillier e Lieberman (2010), o “denominado problema da 
designação envolve aplicações tais como distribuir pessoas para realizar 
determinadas tarefas” e que, apesar das aplicações parecerem distintas em 
relação as do problema de transporte, o problema da designação pode ser visto 
como um tipo especial de problema de transporte, com o que concorda Andrade 
(2009), pois nos diz que “à primeira vista, não tem semelhança alguma com o 
problema de transporte, mas que, na verdade, pode ser modelada e resolvida de 
maneira análoga”. Consideramos que o estudo do problema da designação será 
útil ao administrador no desempenho de suas funções por tratar de problemas 
 
 
21 
de sua rotina. Como este tema tem por objetivo apresentar uma introdução ao 
problema de designação, os conceitos fundamentais serão apresentados da 
forma mais objetiva possível e aplicados em um exemplo, de forma semelhante 
à abordagem do problema de transporte. 
Problema da designação (Hillier; Lieberman, 2010): o problema da 
designação é um tipo especial de problema de programação linear em que os 
designados estão sendo indicados para realizar tarefas, por exemplo, a definição 
de empregados (designados) que precisam receber designações de trabalho 
(tarefas) é uma aplicação comum do problema da designação. Os designados 
podem ser máquinas, veículos, fábricas ou até mesmo períodos a serem 
destinados a tarefas, não necessariamente pessoas. 
Para caracterizar um determinado problema como problema de 
designação, ele precisa ser formulado de maneira a satisfazer as seguintes 
hipóteses: 
 O número de designados e o número de tarefas é o mesmo (esse número 
é representado por n). 
 Deve-se atribuir a cada designado exatamente uma tarefa. 
 Cada tarefa deve ser realizada exatamente por um designado. 
 Há um custo associado ao designado i (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛) executando a tarefa 
j (𝑗 = 1, 2, … , 𝑛). 
 O objetivo é determinar como todas as n designações devem ser feitas 
para minimizar o custo total. 
O modelo matemático para o problema da designação utiliza as seguintes 
variáveis de decisão: 
𝑥𝑖𝑗 = {
1 se o designado 𝑖 realiza a tarefa 𝑗 
0 caso contrário 
 
 para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 e 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛. Portanto, cada 𝑥𝑖𝑗 é uma variável binária 
(ela possui valor 0 ou 1). 
O modelo para o problema da designação possui a seguinte estrutura: 
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = ∑ ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1
,
𝑛
𝑖=1
 
 sujeito a 
 
 
22 
∑ 𝑥𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1
= 1 para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, 
∑ 𝑥𝑖𝑗
𝑛
𝑖=1
= 1 para 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛, 
 e 
𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 para todo 𝑖 e 𝑗 
O primeiro conjunto de restrições funcionais especifica que cada 
designado deve realizar exatamente uma tarefa, ao passo que o segundo 
conjunto requer que cada tarefa seja realizada exatamente por um designado. 
Cabe uma observação: nada impede que Z seja calculado como o menor tempo 
de operação, de manutenção... e não somente como o menor custo. 
Designação de máquinas para operações.Existem três operações, T1, 
T2 e T3, em uma fábrica que podem ser processadas por três máquinas 
disponíveis, M1, M2 e M3. Como cada máquina difere das demais em termos de 
idade, tecnologia e outras características, o tempo de processamento de cada 
trabalho é diferente em cada máquina. A matriz de tempos de processamento, 
em horas, é a apresentada na Tabela 3. Para este cenário, elabore o modelo de 
programação linear, apresentando a função objetivo e as restrições e, em 
seguida, resolva o problema empregando o Solver e determine o tempo de 
processamento acumulado. 
Tabela 3 – Tempos de processamento 
Máquinas 
Trabalho 
T1 T2 T3 
M1 10 5 8 
M2 12 9 15 
M3 9 12 10 
 Solução: 
No problema da designação, as máquinas são as designadas, e o modelo 
de programação linear é (Z em horas): 
 Minimizar 𝑍 = 10𝑥11 + 5𝑥12 + 8𝑥13 + 12𝑥21 + 9𝑥22 + 15𝑥23 + 9𝑥31 +
12𝑥32 + 10𝑥33, 
 sujeito às restrições, 
 
 
23 
1. Designado (máquina): realizar apenas uma tarefa 
 M1 1𝑥11 + 1𝑥12 + 1𝑥13 = 1 
 M2 1𝑥21 + 1𝑥22 + 1𝑥23 = 1 
 M3 1𝑥31 + 1𝑥32 + 1𝑥33 = 1 
2. Tarefa: executada por apenas um designado 
 T1 1𝑥11 + 1𝑥21 + 1𝑥31 = 1 
 T2 1𝑥12 + 1𝑥22 + 1𝑥32 = 1 
 T3 1𝑥13 + 1𝑥23 + 1𝑥33 = 1 
 e 𝑥11 ≥ 0, 𝑥12 ≥ 0, 𝑥13 ≥ 0, 𝑥21 ≥ 0, 𝑥22 ≥ 0, 𝑥23 ≥ 0, 𝑥31, 𝑥32 ≥ 0, 𝑥33 ≥ 0 
 sendo, 𝑥11: M1-T1 (un.); 𝑥12: M1-T2 (un.); 𝑥13: M1-T3 (un.); 𝑥21: M2-T1 
(un.); 𝑥22: M2-T2 (un.); 𝑥23: M2-T3 (un.); 𝑥31: M3-T1 (un.); 𝑥32: M3-T2 (un.); e 
𝑥33: M3-T3 (un.). 
A planilha preenchida com os dados do problema da designação é 
apresentada na Figura 17. 
Figura 17 – Planilha preenchida com os dados do problema da designação 
 
Na planilha da Figura 17, tem-se: a fórmula na célula C5 (Zmin) é 
C3*C4+D3*D4+E3*E4+F3*F4+G3*G4+H3*H4+I3*I4+J3*J4+K3*K4 (𝑍 = 10𝑥11 +
 5𝑥12 + 8𝑥13 + 12𝑥21 + 9𝑥22 + 15𝑥23 + 9𝑥31 + 12𝑥32 + 10𝑥33), na célula L8 (M1-
LHS) é C4*C8+D4*D8+E4*E8+F4*F8+G4*G8+H4*H8+I4*I8+J4*J8+K4*K8 
(1𝑥11 + 1𝑥12 + 1𝑥13 + 0𝑥21 + 0𝑥22 + 0𝑥23 + 0𝑥31 + 0𝑥32 + 0𝑥33) e de forma 
semelhante nas células L9 (M2-LHS), L10 (M3-LHS), L11 (T1-LHS), L12 (T2-
LHS) e L13 (T3-LHS). Os valores binários (1 ou 0) de 𝑥11 (T1-M1), 𝑥12 (T2-M1), 
𝑥13 (T3-M1), 𝑥21 (T1-M2), 𝑥22 (T2-M2), 𝑥23 (T3-M2), 𝑥31 (T1-M3), 𝑥32 (T2-M3) 
 
 
24 
e 𝑥23 (T3-M3) são calculados pelo Solver e inseridos nas células C4, D4, E4, F4, 
G4, H4, I4, J4 e K4. Consequentemente, os valores de Z e das restrições M1 
(LHS), M2 (LHS), M3 (LHS), T1 (LHS), T2 (LHS) e T3 (LHS) são calculados e 
deixam de ter o valor igual a 0 (zero). 
A caixa de diálogo Parâmetro do Solver preenchida é a apresentada na 
Figura 18, e o resultado final dos cálculos do Solver é apresentado na Figura 19. 
Figura 18 – Parâmetros do Solver preenchidos 
 
Figura 19 – Resultado Final do Solver 
 
A partir dos dados da planilha – Figura 19 –, é possível verificar que o 
trabalho T3 será executado pela máquina M1, o trabalho T2 será executado pela 
máquina M2, e o trabalho T1 será executado pela máquina M3, bem como todas 
as restrições foram obedecidas e a operação se realizará no tempo mínimo (Z) 
de 26 horas. 
 
 
25 
Saiba mais 
Leia o Item 5.4 do TAHA e, se possível, aplique o Solver para resolver 
exemplos e exercícios propostos com respostas. Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576051503/pa
ges/99>. 
TAHA, Hamdy A. Pesquisa Operacional: uma visão geral. 8. ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
TEMA 5 – ANÁLISE DE SENSIBILIDADE NO SOLVER 
A análise de sensibilidade permite ir além da solução pontual da 
programação linear: permite avaliar os reflexos de eventuais alterações nos 
dados e condições do problema sobre a solução ótima. A análise é 
especialmente importante para estudo de cenários, pois as empresas estão 
inseridas em um ambiente sujeito a constantes mudanças. Esta análise pode ser 
simplificada com o Relatório de Sensibilidade emitido pelo Solver (Corrar; 
Theóphilo; Bergmann, 2007). O presente tema tem por objetivo introduzir 
conceitos de análise de sensibilidade e apresentar o Relatório de Sensibilidade 
do Excel. 
Análise de sensibilidade: uma das hipóteses dos problemas de 
programação linear é a certeza que se tem sobre os valores dos coeficientes da 
função objetivo e das constantes das restrições (Lachtermacher, 2009). 
Para amenizar essa hipótese, realizamos uma análise pós-otimização 
verificando as possíveis variações, para cima e para baixo, dos valores dos 
coeficientes da função objetivo, dos coeficientes e das constantes das restrições, 
sem que a solução ótima seja alterada. Este estudo se denomina análise de 
sensibilidade. Uma análise de sensibilidade busca responder basicamente a três 
perguntas (Lachtermacher, 2009): 
 Qual é o efeito de uma mudança em um coeficiente da função objetivo? 
 Qual é o efeito de uma mudança em uma constante de uma restrição? 
 Qual é o efeito de uma mudança em um coeficiente de uma restrição? 
Existem dois tipos básicos de análise de sensibilidade. O primeiro 
estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes da função 
objetivo e para os coeficientes e as constantes das restrições. Esta análise é 
efetuada automaticamente pelo Excel, considerando a hipótese de apenas uma 
 
 
26 
alteração a cada momento. O segundo verifica se mais de uma mudança 
simultânea em um problema altera a sua solução ótima, o que não é realizado 
pelo Excel por ser um estudo mais complexo. Uma maneira simples para se 
realizar este estudo, em problemas de pequeno e médio portes, é o de se realizar 
as alterações na modelagem do problema e encontrar sua nova solução 
realizando uma nova otimização (Lachtermacher, 2009). 
Relatórios do Solver: no processo de solução do problema pelo Solver, 
a caixa de diálogo Resultados do Solver – Figura 8 – aparece e exibe uma 
mensagem de conclusão. No lado direito da caixa de diálogo, são relacionados 
os relatórios disponíveis – Respostas, Sensibilidade e Limites –, mas o nosso 
foco é o Relatório de Sensibilidade. Após você selecionar os relatórios desejados 
e clicar no botão OK, a planilha passa a exibir os resultados obtidos, e os 
relatórios selecionados são gerados (Corrar; Theóphilo; Bergmann, 2007). 
Relatório de Sensibilidade: quando um ou mais dados do problema 
sofrem alteração, o modelo inicial pode ser atualizado e recalculado com 
facilidade. O Solver permite que se alterem apenas os dados que sofrem 
alterações, recalculando a planilha e emitindo novos relatórios. Entretanto, pode-
se desejar conhecer, a partir de um cenário, os impactos advindos de eventuais 
mudanças nos valores atuais das variáveis e restrições. 
Seja o Relatório de Sensibilidade – Figura 20 – obtido a partir da resolução 
do problema da marcenaria (Tema 01). Observa-se que o relatório é subdividido 
em duas partes: uma destinada às células variáveis (função objetivo) e outra, às 
restrições. Vamos a seguir apresentar alguns comentários: 
Figura 20 – Relatório de sensibilidade 
 
Em células variáveis, o campo Final Valor indica a quantidade dos 
produtos a serem produzidas na solução ótima. Os campos Permitido Aumentar 
Microsoft Excel 16.0 Relatório de Sensibilidade
Planilha: [Estrutura_Solver_Rota 4.xlsx]Ex_Marcenaria
Relatório Criado: 30/07/2017 19:58:04
Células Variáveis
Final Reduzido Objetivo Permitido Permitido
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Aumentar Reduzir
$C$4 Variáveis (Solver) X1 4 0 4 1E+30 2
$D$4 Variáveis (Solver) X2 0 -1 1 1 1E+30
Restrições
Final Sombra Restrição PermitidoPermitido
Célula Nome Valor Preço Lateral R.H. Aumentar Reduzir
$E$8 Madeira LHS 8 0 12 1E+30 4
$E$9 Mão de obra LHS 8 2 8 4 8
 
 
27 
e Permitido Reduzir indicam o limite em que cada quantidade pode ser acrescida 
ou reduzida de forma a modificar a solução ótima. No exemplo, o custo da 
variável 𝑥1(mesas) pode ser aumentado indefinidamente e reduzido em até $ 2 
que as quantidades produzidas de mesas e cadeiras não se alteram. O mesmo 
raciocínio serve para as restrições. 
Em restrições, o campo Sombra Preço indica que se o valor for positivo, 
um incremento de uma unidade na constante da restrição resulta em um 
aumento do valor da função objetivo; e se for negativo, resulta na diminuição do 
valor da função objetivo. 
Saiba mais 
Leia o item 7.1 do livro-texto (impresso) e o 8.1 do livro digital. 
Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788544302194/pa
ges/175>. 
BARBOSA, Marcos Antonio. ZANARDINI, Ricardo Alexandre D. 
Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de gestão. 2. ed. rev., atual. e 
ampl. Curitiba: Intersaberes, 2014. 
Leia o Item 4.5 do Taha. Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576051503/pa
ges/81>. 
TAHA, Hamdy A. Pesquisa Operacional: uma visão geral. 8. ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
NA PRÁTICA 
A partir da caracterização dos problemas de transporte e da designação, 
a partir de sua rotina de trabalho, elabore um problema com estas 
características, estruture no Excel e aplique o Solver. Em seguida, compartilhe 
o seu problema, no fórum com seus colegas de disciplina e avalie os problemas 
apresentados pelos seus colegas. 
Leia o caso de ensino sugerido e depois responda o solicitado. Terminada 
a atividade de estudo e solucionado o estudo de caso, você receberá a solução 
para a atividade realizada pelo professor que elaborou o presente caso de 
ensino. 
 
 
 
28 
 Orientações para realizar a atividade: 
1. Leia o caso de ensino atentamente e os temas da rota. 
2. Reveja os procedimentos para aplicação do Solver, pois são necessários 
para resolver o caso de ensino. 
3. Elabore um checklist para usar o Solver a fim de evitar erros na 
elaboração da planilha no Excel e no preenchimento dos dados 
solicitados para aplicação do Solver. Tenha o material em mãos para 
consulta. 
4. Boa aprendizagem! 
 Caso de Ensino n. 5: Problema de mistura (solução pelo Solver) 
A padaria Le Petit Pain deseja lançar uma nova bebida para seus 
frequentadores, em especial, aos moradores do bairro, que são em sua maioria 
pessoas com mais de 60 anos. A nova bebida é basicamente composta por uma 
bebida láctea e por um complemento alimentar (farinha) em diversos sabores. 
Sabe-se que os nutrientes da bebida láctea e do complemento alimentar 
fornecem as quantidades de vitaminas dadas na Tabela 4. 
Tabela 4 – Composição alimentar: quantidade e custo 
Vitaminas Bebida láctea (l) 
Complemento 
alimentar (kg) 
Quantidade 
diária mínima 
A 0,25 mg 2 mg 1 mg 
B 25 mg 20 mg 50 mg 
C 3 mg 6 mg 10 mg 
Custo unitário ($) 3,0 17,0 - 
Use o Solver para calcular as quantidades de bebida láctea e de 
complemento alimentar capazes de satisfazer as quantidades diárias mínimas 
de nutrientes (vitaminas) a um custo mínimo. 
Padrão de resposta: a solução a ser encontrada pelo estudante, após 
estruturar a planilha e inserir os dados na caixa de diálogo Parâmetros do Solver, 
é a seguinte: 
 
 
 
 
29 
Figura 21 – Solução do problema com o uso do Solver 
 
Conclusão: o menor custo é $11,22 (Z_min=11,22), as quantidades de 
leite são 3,11 l e a do suplemento alimentar é de 0,11 kg para se obter a 
quantidade diária de vitaminas. A proporcionalidade entre leite e suplemento 
alimentar é a dosagem de 35,37 gramas do suplemento alimentar para cada litro 
de leite. 
FINALIZANDO 
O tema principal abordado na presente aula foi a ferramenta Solver do 
Excel. Inicialmente apresentamos os procedimentos para seu uso de forma 
aplicada em um exemplo comentado. Em seguida, resolvemos um problema de 
maximização empregando o Solver e comentamos a resolução. Posteriormente, 
apresentamos as características, o modelo e a resolução por meio do Solver de 
problema de transporte e, da mesma forma, de problema da designação. Estes 
dois últimos problemas são problemas de minimização. Por fim, apresentamos 
alguns conceitos de análise de sensibilidade. 
O caso de ensino proposto é um exercício resolvido anteriormente de 
forma gráfica, portanto com solução já conhecida. A sua solução por meio do 
Solver tem por objetivo fazer o aluno aplicar os procedimentos previstos pelo 
Solver e estimulá-lo a empregar essa ferramenta para resolver outros problemas 
de programação linear. 
 
 
 
30 
REFERÊNCIAS 
ANDRADE, E. L. de. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos 
para análise de decisões. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
CORRAR, L. J.; THÉOPHILO, C. R.; BERGMANN, D. R. Programação linear. In: 
CORRAR, L. J.; THÉOPHILO. Pesquisa operacional para decisão em 
contabilidade e administração: contabilometria. 1. ed. 3. reimp. São Paulo: 
Atlas, 2007. 
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. 9. ed. 
Porto Alegres: McGraw-Hill, 2010. 
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões: 
modelagem em Excel. 4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009.