Geometria - 2

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Geometria II
Manaus 2007
FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice–Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice–Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró–Reitor de Planej. e Administração 
Antônio Dias Couto
Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró–Reitor de Ensino de Graduação
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa
Walmir de Albuquerque Barbosa
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
Coordenador Pedagógico
Luciano Balbino dos Santos
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Projeto Gráfico
Mário Lima
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Revisão Técnico-gramatical
João Batista Gomes
Oliveira, Disney Douglas de Lima.
O48g Geometria II / Disney Douglas de Lima Oliveira, Domingos
Anselmo Moura da Silva, Helisângela Ramos da Costa. –
Manaus/AM: UEA, 2007. – (Licenciatura em Matemática. 2.
Período)
141 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia
1. Geometria. I. Silva, Domingos Anselmo Moura da. II. Costa,
Helisângela Ramos da. III. Título.
CDU (1997): 514 
CDD (19.ed.): 516 
SUMÁRIO
Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE I – Noções primitivas e posições relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – Conceitos primitivos, postulados e posições relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
UNIDADE II – Distâncias, diedros e triedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
TEMA 02 – Distâncias e diedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
UNIDADE III – Poliedros, prismas e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TEMA 03 – Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
TEMA 04 – Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
TEMA 05 – Planificação e área do prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
TEMA 06 – Volume do prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
TEMA 07 – Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 
UNIDADE IV – Cilindro e cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TEMA 08 – Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
TEMA 09 – Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 
UNIDADE V – Superfícies de revolução e sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
TEMA 10 – Superfícies e sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
UNIDADE VI – Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
TEMA 11 – Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
UNIDADE VII – Noções de geometria não-euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
TEMA 12 – Geometria não-euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 
Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 
Respostas dos Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Disney Douglas de Lima Oliveira
Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM
Mestre em Matemática - UFAM 
Doutorando em Computação Gráfica - UFRJ
Domingos Anselmo Moura da Silva
Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM
Mestre em Matemática - UFAM 
Helisângela Ramos da Costa
Bacharela em Matemática – UFAM
Bacharela em Processamento de Dados – UFAM
Especialização em Instrumentação para o Ensino da Matemática (concluindo) (UFF) 
PERFIL DOS AUTORES
PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada
à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do
Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-
der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em
dinamismo técnico–científico.
Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-
cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-
tenciais, estimulando–lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando–lhes
uma visão multifacetada das maneiras de educar.
Os livros–textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história
da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-
tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-
no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.
A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios
que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
UNIDADE I
Noções primitivas e posições relativas
TEMA 01
CONCEITOS PRIMITIVOS, POSTULADOS E
POSIÇÕES RELATIVAS
1. Conceitos primitivos
São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos
sem definição) na Geometria espacial os con-
ceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente,
usamos a seguinte notação:
Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto.
• A
Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto 
Planos: letras minúsculas do alfabeto grego 
Observações:
1. Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Nesse conjunto, desenvolveremos a Geo-
metria Espacial.
2. Axiomas ou postulados (P), são propo-
sições aceitas como verdadeiras sem de-
monstração e que servem de base para o
desenvolvimento de uma teoria.
Assim, iniciaremos a Geometria Espacial com
alguns postulados, relacionando o ponto, a
reta e o plano.
2. Postulados 
2.1 Postulados da existênciaP1)Dada uma reta r, existem nela, bem como
fora dela, infinitos pontos.
P2)Dado um plano α, existem nele, bem como
fora dele, infinitos pontos.
2.2 Postulados da determinação
P3)Por dois pontos distintos passa uma única
reta.
Notação: 
P4)Por três pontos não-colineares passa um
único plano. 
Notação: α = (A,B,C)
2.3 Postulados da inclusão
P5)Se uma reta r tem dois pontos distintos num
plano α, então a reta r está contida nesse
plano:
Simbolicamente, temos:
3. Retas concorrentes e paralelas
3.1 Definição de retas concorrentes
Diremos que duas retas r e s são concorrentes
se, e somente se, elas têm um único ponto em
comum.
r ∩ s = {P}
3.2 Definição de retas paralelas
Diremos que duas retas r e s são paralelas, se
e somente se, elas são coincidentes ou elas
são coplanares e não têm pontos em comum.
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Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
1.° caso
Notação: r = s ⇒ r//s
2.° caso
Notação: r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r//s
Retas paralelas e concorrentes no cotidiano
Exemplo 1
Dado um plano β, nele existem infinitas retas.
Solução: Fazendo uso do postulado da exis-
tência (P2), considere, no plano β dado, dois
pontos distintos A e B.
Pelo postulado da determinação (P3), temos
que existe uma reta r1, a qual está contida no
plano β (postulado da inclusão P5). 
Fazendo uso dos postulados P1 e P2, con-
sidere em β e fora de r1 um ponto C. Os pon-
tos A e C, B e C determinam duas retas r2 e r3
(postulado P3) respectivamente, as quais estão
contidas no plano β (postulado P5).
Desse modo, podemos construir em β “tantas
retas quantas quisermos”, isto é, “ infinitas” retas. 
Exemplo 2
Quantas retas há no espaço? Demonstre.
Solução: Infinitas. 
De fato, consideremos dois pontos distintos do
espaço A e B. Esses pontos determinam uma
reta r (postulado P3).
Seja C um ponto do espaço, fora da reta r
(postulado P1). Os pontos A e C determinam
uma reta S, e os pontos B e C determinam
uma reta t.
Desse modo, podemos construir “tantas retas
quantas quisermos”, isto é, construiremos “infi-
nitas” retas.
Exemplo 3
Mostre que, três retas duas a duas concor-
rentes, não passando por um mesmo ponto,
estão contidas no mesmo plano. 
Solução:
Sejam r, s e t as retas tais que r ∩ s = {A},
r ∩ t = {B}, s ∩ t = {C} e A, B e C são pon-
tos não- colineares. 
Pelo postulado P4, existe um único plano β
passando pelos pontos A, B e C em que
β = (A, B, C). 
Sendo A ≠ B, A ≠ C, B ≠ C com A, B, C ∈ β,
concluímos que as retas r, s e t estão contidas
no mesmo plano β (postulado P5), pois são
determinadas pelos pontos A, B e C de modo
que .
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UEA – Licenciatura em Matemática
1. Quantas retas podemos traçar por um ponto
no espaço? Justifique sua resposta.
2. Quantos são os planos determinados por qua-
tro pontos distintos dois a dois? Justifique sua
resposta
3. É comum encontrarmos mesas com 4 “pernas”
que, mesmo apoiada em um piso plano, ba-
lançam e nos obrigam a colocar um calço em uma
das “pernas”, se a quisermos firme. Explique,
usando argumento de geometria, por que isso não
acontece com uma mesa de 3 “pernas”.
4. Determinação de um plano
Existem mais três modos de determinar um
plano, além do postulado P2, os quais vamos
enunciar em forma de proposição;
Proposição 1 – Um plano fica determinado de
modo único, por uma reta (r) e um ponto (P)
que não pertença a essa reta.
Notação: α = (P, r)
Demonstração:
Tome na reta r dois pontos distintos A e B (pos-
tulado P1). Dessa forma, temos que os pontos
A, B e P não são colineares, pois o ponto
P ∉ r.
Sendo assim, temos que existe um plano α
determinado pelos pontos A, B e P(postulado
P2), o qual vamos denotar por α =(A, B, P).
Observe que o ponto P ∈ α, e a reta r = AB ⊂ α
(postulado P5), ficando assim provada a
existência do plano α.
Vamos agora mostrar a unicidade do plano α:
Se existisse um outro plano, digamos β, pas-
sando por P e r teríamos que:
α = (P, r); com A, B ∈ r ⇒ α = (A,B,P) e
β = (P, r); com A, B ∈ r ⇒ β = (A,B,P).
Portanto (postulado P2) concluímos que α = β.
Exemplo1 
Quantos são os planos que passam por uma
reta dada? Justifique sua resposta.
Solução: Infinitos.
Seja r a reta e A um ponto fora de r (postulado
P1). A reta r e o ponto A determinam um plano
α (Proposição 1). Fora do plano α, tomamos
um ponto B (postulado P2). Desse modo, te-
mos que a reta r e o ponto B determinam um
plano β (Proposição 1). Fora de α e β, toma-
mos um ponto C (postulado P2). A reta r e o
ponto C determinam um plano γ (Proposição 1).
Desse modo, podemos construir, por r, tantos
planos quantos quisermos, isto é, construire-
mos infinitos planos. 
Exemplo 2
Quantos planos passam por dois pontos distin-
tos? Justifique sua resposta.
Solução: Infinitos.
Seja A e B tais pontos distintos. Pelo postulado
P3, temos que existe uma única reta r passan-
do por eles.
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Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
Sendo assim, fazendo uso do exercício ante-
rior, concluímos que existem infinitos planos
passando pelos pontos A e B.
1. (Proposição 2) Mostre que um plano fica deter-
minado de modo único, por duas retas concor-
rentes.
2. (Proposição 3) Mostre que um plano fica deter-
minado de modo único, por duas retas parale-
las entre si e distintas. 
3. Prove que duas retas paralelas distintas e uma
concorrente com as duas são coplanares.
4. Mostre que, se duas retas são paralelas distin-
tas, todo plano que contém uma delas e um
ponto da outra, contém a outra. 
5. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
a) Três pontos distintos determinam um plano.
b) Um ponto e um reta determinam um único
plano.
c) Três retas distintas, duas a duas paralelas,
determinam um ou três planos.
d) Três retas distintas, duas a duas concor-
rentes, determinam um ou três planos.
e) Três retas distintas, duas a duas concor-
rentes, determinam um único plano.
f) Quatro pontos distintos e não-colineares
determinam um único plano.
4. Retas reversas
Definição – Diremos que duas retas r e s são
ditas reversas se, e somente se, não existe
plano que as contenha. 
Notação: r e s são reversas ⇔ α; r, s ⊂ α e
r ∩ s = ∅ 
Retas reversas no cotidiano
5. Quadrilátero reverso
Definição – Um quadrilátero é chamado rever-
so se, e somente se, não existe plano con-
tendo seus quatros vértices.
Se α = (A, B, D) e C ∉ α, então ABCD é um
quadrilátero reverso.
Exemplo 1
Mostre que todo quadrilátero reverso não pode
ser um paralelogramo.
Solução: (Demonstração pelo método indireto)
Suponha que um quadrilátero reverso ABCD,
seja um paralelogramo ⇒ ⇒ ∃α
“plano” tal que ⊂ α, ⊂ α, portanto os
pontos A, B, C e D estão contidos em α. Isso
gera um absurdo em relação à hipótese . 
Logo, o quadrilátero reverso ABCD, não pode
ser um paralelogramo.
Exemplo 2
As diagonais de um quadrilátero reverso são
reversas.
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UEA – Licenciatura em Matemática
Solução: (Demonstração pelo método indireto)
Sejam 
⎯
AC e
⎯
BD as diagonais do quadrilátero
reverso ABCD. Sendo assim, suponha que as
diagonais 
⎯
AC e
⎯
BD não sejam reversas ⇒
e são coplanares ⇒ ∃ α “plano” tal que,
que os pontos A, B, C e D estão
contidos em α. Isso gera um absurdo em
relação ao fato do quadrilátero ser reverso. 
Logo, as diagonais
⎯
AC e
⎯
BD de um
quadrilátero reverso são reversas.
1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
a. ( ) Duas retas ou são coincidentes ou são
distintas.
b. ( ) Duas retas ou são coplanares ou são
reversas.
c. ( ) Duas retas distintas determinam um
plano.
d. ( ) Duas retas concorrentes têm um ponto
em comum.
e. ( ) Duas retas concorrentes têm um único
ponto em comum.
f. ( ) Duas retas que têmum ponto em co-
mum são concorrentes.
g. ( ) Duas retas que têm um único ponto em
comum são concorrentes.
h. ( ) Duas retas coplanares são concorrentes.
i. ( ) Duas retas não-coplanares são reversas.
2. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
Obs.: Em cada caso, abaixo, r e s são retas.
a. ( ) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s são reversas.
b. ( ) r e s são reversas ⇒ r ∩ s = ∅.
c. ( ) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s são paralelas.
d. ( ) r//s, r ≠ s ⇒ r ∩ s = ∅.
e. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para
que r e s sejam reversas.
f. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é suficiente para
que r e s sejam reversas.
g. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para
que as duas retas distintas r e s sejam
reversas.
h. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para
que as duas retas distintas r e s sejam
paralelas.
i. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária e
suficiente para que as duas retas distin-
tas r e s sejam reversas.
6. Interseção de planos
6.1 Postulados da interseção
P6) Se dois planos distintos têm um ponto em
comum, então eles têm pelos menos um outro
ponto em comum.
Notação:
α ≠ β, P ∈ α e P ∈ β ⇒ ∃Q; P ≠ Q, Q ∈ α e
Q ∈ β
Uma conseqüêcia natural do postulado P6 é que:
Se dois planos distintos têm um ponto em
comum, então a sua intersecção é dada por
uma única reta que passa por esse ponto.
7. Paralelismo de retas 
7.1 Postulado das paralelas (postulado 
de Euclisdes)
P7) Dados uma reta r e um ponto P ∉ r, existe
uma única reta s, passando por P, tal que
r seja paralela a s.
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Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
7.2 Teorema das Paralelas 
Se duas retas são paralelas a uma terceira,
então elas são paralelas entre si, ou seja, r, s e
t retas, em que r//t e s//t ⇒ r//s.
Temos dois casos a considerar:
1.o) As três retas são coplanares. 
2.o) As retas são não-coplanares.
Vamos considerar o segundo caso, que é o
mais geral.
Demonstração: 
Fazendo uso do postulado P7, as retas r e s não
têm ponto comum, pois caso essa afirmação
não fosse verdadeira, teríamos duas retas pas-
sado por um mesmo ponto e paralelas à reta t,
contrariando o postulado das paralelas. 
Considere os planos β = (r, t) e α = (s, t), ou
seja, o plano β é determinado pelas retas r e t,
pois r//t, e o plano α é determinado pelas retas
s e t, pois s//t.
Tomemos um ponto P em s; dessa forma,
podemos obter um plano γ = (P, r).
Os planos distintos α e γ têm um ponto P
comum; sendo assim, pela conseqüêcia natu-
ral do postulado P6, eles têm uma reta em co-
mum, que chamaremos de x (não podemos di-
zer que as retas s e x são as mesmas, pois
estaríamos admitinto a tese que queremos pro-
var).
(r = β ∩ γ , x = α ∩ γ , t = α ∩ β e r//t) ⇒
r//x e t//x
O ponto P pertence, então, às retas s e x, e
ambas são paralelas à reta t. Logo, fazendo
uso do postulado das paralelas, temos que
x = s. Donde concluímos que r = s.
1. Mostre que duas retas sendo paralelas a uma
terceira, então elas são paralelas entre si (para
o caso das três retas serem coplanares).
2. Mostre que os pontos médios dos lados de um
quadrilátero reverso são os vértices de um
paralelogramo.
8. Paralelismo entre retas e planos 
8.1 Definição
Sejam α e r um plano e uma reta respectiva-
mente. Diremos que a reta r é paralela ao plano α
se, e somente se, eles não têm ponto em comum.
Notação: α // r ⇔ α ∩ r = ∅
Vamos enunciar, como exercício resolvido,
uma condição necessária e suficiente para que
uma reta dada seja paralela a um plano dado.
Exemplo 1
(Condição Suficiente) Diremos que uma reta,
que não está contida num plano e é paralela a
pelo menos uma reta desse plano, é paralela
ao plano.
Em outras palavras:
Sejam r e α uma reta e um plano respectiva-
mente, tal que r ⊄ α. Se a reta r é paralela a
uma reta s do plano α, então a reta r é paralela
ao plano α.
Hipótese: r ⊄ α, r//s, s ⊂ α ⇒ Tese r//α
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UEA – Licenciatura em Matemática
Demonstração:
Temos por hipótese que r//s com r ∩ s = ∅.
Então, existe um plano β determinado por r e
s, onde s ⊂ α, s ⊂ β e α ≠ β implicando que
s = α ∩ β.
Se r e α têm um ponto em comum, digamos A,
teremos A ∈ r e r ⊂ β ⇒ A ∈ β. Como A ∈ β
e A ∈ α, decorre daí que A ∈ s.
Sendo assim, concluímos que A ∈ r e A ∈ s.
Logo, existe um ponto A ∈(r ∩ s) = ∅, o que
gera um absurdo. Logo, concluímos que a reta
r não pode ter ponto em comum com o plano
α, isto é, r//α.
Exemplo 2
(Condição necessária) Se uma reta é paralela
a um determinado plano, então ela é paralela a
uma reta desse plano. 
Em outras palavras:
Sejam r e α uma reta e um plano respectiva-
mente. Se r//α, então existe uma reta s ⊂ α tal
que r//s. r
Hipótese: r //α ⇒ Tese: ∃ s ⊂ α |r//s
Demonstração: 
Conduzimos por r um plano β que intercepta α.
Seja s a reta dada pela interseção dos planos
α e β.
As retas r e s são coplanares, pois estão em β
e não têm pontos em comum, pois r ∩ α = ∅,
s ⊂ α ⇒ r ∩ s = ∅. Logo, r//s.
Observação – Uma condição nescessária e
suficiente para que uma reta (r), não contida
num plano (α), seja paralela a esse plano, é ser
paralela a uma reta (s) contida no plano (α).
9. Posições relativas entre uma reta e um plano 
São três as posições relativas entre uma reta e
um plano:
1.a) A reta está contida no plano. 
Ou seja, dois pontos distintos da reta, di-
gamos A e B também são pontos do plano. 
r ⊂ α ⇔ r ∩ α = r
2.a) A reta e o plano são concorrentes ou a reta
e o plano são secantes.
r ∩ α = {P}
3°) A reta e um plano são paralelos.
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Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
r // α ⇔ r ∩ α = ∅
1. Se uma reta é paralela a dois planos secantes,
então ela é paralela à interseção.
2. Se duas retas paralelas são dadas e uma delas
é paralela a um plano, então a outra é parale-
las ou está contida nesse plano. 
3. Dadas duas retas reversas r e s, construa por
s um plano paralelo a r.
4. Construa por um ponto uma reta paralela a
dois planos secantes.
5. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
a. ( ) Uma reta e um plano que têm um ponto
comum são concorrentes.
b. ( ) Uma reta e um plano secantes têm um
único ponto comum.
c. ( ) Uma reta e um plano paralelos não têm
ponto comum.
d. ( ) Um plano e uma reta secantes têm um
ponto comum.
e. ( ) Se uma reta está contida num plano,
eles têm um ponto comum.
f. ( ) Se uma reta é paralela a um plano, ela é
paralela a qualquer reta do plano.
g. ( ) Se um plano é paralelo a uma reta,
qualquer reta do plano é reversa à reta
dada.
h. ( ) Se uma reta é paralela a um plano,
existe no plano uma reta concorrente
com a reta dada.
i. ( ) Se uma reta e um plano são concor-
rentes, então a reta é concorrente com
qualquer reta do plano.
j. ( ) Se uma reta é paralela a um plano, ela é
paralela a infinitas retas do planos.
k. ( ) Se duas retas distintas são paralelas a um
plano, então elas são paralelas entre si.
l. ( ) Uma condição necessária e suficiente
para uma reta ser paralela a um plano é
ser paralela a uma reta do plano e não
estar nele.
10. Paralelismo entre planos
Definição:
Dois planos são paralelos se, e somente se,
eles não têm ponto comum ou são iguais
(coincidentes).
1.° caso:
2.° caso:
Notação: α // β ⇔ α = β ou α ∩ β = ∅
Uma condição necessária e suficiente para
que dois planos distintos sejam paralelos é
que um deles contenha duas retas concor-
rentes, ambas paralelas ao outro.
Exemplo 1
(Condição suficiente) Sejam α e β dois planos.
Se um deles, digamos β, possui duas retas a e
b concorrentes, ambas paralelas ao plano α,
então o plano α e β são paralelos.
Hipótese: {a ⊂ β, b ⊂ β, a ∩ b = {O}, a // α, b // α
⇒ Tese: {α // β
Demonstração:
Sendo os planos α e β distintos, vamos mostrar
18
UEA – Licenciatura em Matemática
que eles são paralelos, fazendouso do método
indireto de demonstração, ou seja, supondo
que os planos α e β não sejam paralelos.
Logo, existiria uma reta, a qual vamos denotar
de i, tal que i = α ∩ β. Dessa forma, teríamos:
a // α, a ⊂ β, i = a ∩ β ⇒ a//i e b// α, b ⊂ β,
i = a ∩ β ⇒ b//i.
Logo, pelo teorema das paralelas, temos que
as retas a e b são paralelas, o que é um absur-
do, pois por hipótese as retas a e b são con-
correntes.
Assim, concluímos que os planos α e β são
paralelos.
Exemplo 2
(Condição necessária) Se dois planos distintos
α e β são paralelos, então um deles, digamos
β, contém duas retas concorrenres, ambas
paralelas ao outro (α).
Hipótese: {α // β ⇒ Tese {∃a ⊂ β, ∃b ⊂ β,
a ∩ b = {O}, a // α, b // α
Demonstração:
Sabemos que num plano dado (β) existem
infinitas retas; tome duas (a e b) que sejam
concorrentes, digamos, no ponto O, ou seja,
α ∩ β = {O}. Basta mostrar que as retas a e b
são ambas paralelas ao plano α.
Fazendo uso do método indireto de demons-
tração, ou seja , supondo que as retas a e b
não sejam paralelas ao plano α. Logo, existiria
pelo menos um ponto de uma das retas, di-
gamos P em reta a, que seria também ponto
do plano α.
Dessa forma, teríamos:
a ⊂ β, a ∩ α ≠ ∅ ⇒ α ∩ β ≠ ∅, o que é um
absurdo, pois os planos α // β tais que
α ∩ β = ∅. Portanto a tese é verdadeira.
11. Posições relativas entre dois planos
As posições relativas de dois planos, digamos
α e β, podem ser de três formas.
1. Planos coincidentes
α ∩ β = α = β
2. Planos paralelos distintos
α ∩ β = ∅
3. Planos secantes
α ∩ β = i
Exemplo 1
Sejam α, β dois planos distintos e paralelos.
Mostre que toda reta r de α é paralela ao pla-
no β.
Hipótese: {α // β, r ⊂ α ⇒ Tese {r // β
Demonstração:
Sendo α e β planos paralelos distintos e r ⊂ α,
vamos mostrar que r // β. Para isso, vamos
fazer uso do método indireto de demons-
tração, ou seja, vamos supor que a reta r não
seja paralela ao plano β.
Logo, existiria pelo menos um ponto Q ∈ r, tal
que o ponto Q ∈ β. Como Q ∈ α, pois r ⊂ α e
Q ∈ β, teríamos que Q ∈ α ∩ β, o que seria um
absurdo, pois por hipótese α ∩ β = ∅. Logo,
vale a tese, ou seja, r // β.
19
Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
Exemplo 2
Sejam α, β e γ três planos distintos. Se α, β
são paralelos, e γ encontra α segundo a reta r,
então γ encontra β segundo a reta s.
Hipótese: {α, β, γ planos, α // β e γ ∩ α= r ⇒
Tese: {γ ∩ β = s
Demonstração:
Basta considerar, em γ, uma reta t concorrente
com a reta r. 
Como γ ≠ α, concluímos que t é concorrente
com α. Sendo α // β, teremos que t é concor-
rente com o plano β num ponto, digamos Q.
Logo, fazendo uso da conseqüêcia natural do
postulado P6, temos que existe uma reta, di-
gamos s, tal que Q ∈ s e s = γ ∩ β.
1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
a. ( ) Se dois planos são secantes, então
qualquer reta de um deles é concor-
rente com o outro.
b. ( ) Se dois planos são secantes, então
uma reta de um deles pode ser concor-
rente com uma reta do outro.
c. ( ) Se dois planos são secantes, então
uma reta de um deles pode ser reversa
com uma reta do outro,
d. ( ) Dois planos distintos paralelos têm um
ponto em comum.
e. ( ) Se dois planos distintos são paralelos,
então uma reta de um deles é paralela
ao outro.
f. ( ) Se dois planos distintos são paralelos,
então uma reta de um e uma reta de
outro podem ser concorrentes.
g. ( ) Se um plano contém duas retas distin-
tas e paralelas a um outro plano, então
esses planos são paralelos.
h. ( ) Uma condição suficiente para que dois
planos sejam paralelos é que duas retas
distintas de um sejam paralelas ao outro.
i. ( ) Se dois planos são paralelos, então toda
reta que tem um ponto comum com um
deles, tem um ponto comum com o outro.
2. Se dois planos paralelos interceptam um ter-
ceiro, então as interseções são paralelas.
3. Se dois plano são paralelos, toda reta paralela
a um deles é paralela ou está contida no outro.
4. Mostre a transitividade entre planos, isto é, se
dois planos são paralelos a um terceiro , então
eles são paralelos entre si.
12. Retas e planos perpendiculares
Definição
Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e
somente se, r é perpendicular a todas as retas
de α que passam pelo ponto de intersecção de
r e α.
Observações:
1. Se uma reta r e um plano são concorrentes
e não são perpendiculares, eles são oblí-
quos.
2. se uma reta r é perpendicular a um plano α,
então ela é perpendicular ou ortogonal a
toda reta de α: 
Como conseqüência, temos o seguinte Teo-
rema, que vamos admitir sem demonstração.
20
UEA – Licenciatura em Matemática
Teorema (Fundamental) – Para que uma reta r
seja perpendicular a um plano α, basta ser per-
pendicular a duas retas concorrentes, contidas
em α.
Hipótese: ⇒ Tese {r ⊥ α
Como conseqüência deste teorema, temos os
seguintes corolários.
Corolário 1 – Num plano (α), há duas retas (b
e c) concorrentes (em P). Se uma reta (a) é
perpendicular a uma delas (b em O) e ortogo-
nal à outra (c), então essa reta (a) é perpendi-
cular ao plano (α).
Corolário 2 – Se uma reta é ortogonal a duas
retas concorrentes de um plano, então ela é
perpendicular ao plano.
1.° Caso
2.° Caso
3.° Caso
Exemplo 1
Classifique em verdadeiro ou falso. Justifican-
do sua resposta.
a) Uma reta e um plano secantes são perpen-
diculares.
Resposta: Falso, pois a reta e o plano
podem ser secante oblíquos.
b) Uma reta é perpendicular a um plano é per-
pendicular a infinitas retas desse plano.
Resposta: Verdadeiro. Use a definição de
perpendicularismo entre reta e plano.
c) Um reta perpendicular a um plano é reversa
a todas as retas do plano.
Resposta: Falso. Use o Teorema (Funda-
mental) e observe que a reta é perpendicu-
lar a pelo menos duas retas do plano.
21
Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
d) Uma reta perpendicular a um plano é ortog-
onal a infinitas retas do plano.
Resposta: Verdadeiro. Use o corolário 2
“Se uma reta (r) é ortogonal a duas retas (s
e t) concorrentes de um plano, então ela é
perpendicular ao plano” e observe que, no
plano, existem infinitas retas paralelas às
retas (s e t) e ortogonais à reta dada.
13. Planos perpendiculares
Definição
Dois planos (α e β) são perpendiculares se, e
somente se, existe uma reta de um deles que é
perpendicular ao outro.
Fazendo uso da definição, temos a seguinte,
proposição.
Proposição – Sejam α, β planos, e i uma reta
tal que i = α ∩ β. Se α ⊥ β e r é uma reta con-
tida em um deles, digamos r ⊂ α e r ⊥ i. Então,
r ⊥ β.
Demonstração:
Sendo α ⊥ β, temos que existe uma reta a tal
que a ⊂ α, em que α ⊥ β. Então, concluímos
que a reta a é perpendicular à reta i.
No plano α, temos que a ⊥ i e r ⊥ i ⇒ a//r.
Sendo a//r e α ⊥ β, concluímos que r ⊥ β.
Finalmente, vamos enunciar, sem demons-
tração, uma condição necessária e suficiente
para que dois planos secantes sejam perpen-
diculares.
Proposição – Uma condição necessária e sufi-
ciente para que dois planos secantes sejam
perpendiculares é que toda reta de um deles,
perpendicular à interseção, seja perpendicular
ao outro.
1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
a. ( ) Dois planos, perpendiculares a um ter-
ceiro, são perpendiculares entre si.
b. ( ) Se dois planos são perpendiculares a
um terceiro, então eles são paralelos.
c. ( ) Se dois planos são perpendiculares,
então toda reta perpendicular a um
deles é paralela ao outro ou está conti-
da neste outro.
d. ( ) Se dois planos são paralelos, todo
plano perpendicular a um deles é per-
pendicular ao outro.
e. ( ) Uma reta e um plano são paralelos. Se
um plano é perpendicular ao plano
dado, então ele é perpendicular à reta.
f. ( ) Se dois planos são secantes, então eles
são perpendiculares.g. ( ) Se dois planos são perpendiculares,
então toda reta de um deles é perpendi-
cular ao outro.
22
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE II
Distâncias, diedros e triedros
25
Geometria II – Distâncias, diedros e triedros
TEMA 02
DISTÂNCIAS E DIEDROS
1. Projeção ortogonal
Definiçao – A projeção ortogonal de um ponto
P sobre um plano α é a intersecção do plano
com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo
ponto P.
P’ = projα P
1.1 Projeção ortogonal de uma figura geométrica
A projeção ortogonal de uma figura geométrica
F (qualquer conjunto de pontos) sobre um
plano α é o conjunto das projeções ortogonais
de todos os pontos de F sobre α.
F’ = projα F
1.2 Projeção de uma reta
Se a reta (r) é perpendicular ao plano (α), tere-
mos como projeção ortogonal exatamente um
ponto, digamos P.
P’ = projα r
Se a reta não é perpendicular ao plano, tere-
mos a seguinte definição.
Definição – Chama-se projeção ortogonal de
uma reta r, não perpendicular a um plano α,
sobre esse plano, ao traço em α, do plano β,
perpendicular a α, conduzido por r.
Geometricamente, temos:
r’ = projα r
2. Distâncias geométricas
Vamos definir distâncias geométricas entre
entes geométricos.
2.1 Distância entre ponto e ponto
Definição – Chama-se distância entre dois pon-
tos distintos A e B ao comprimento do segui-
mento de reta
⎯
AB ou ao comprimento qual-
quer segmento congruente a
⎯
AB. Se A = B, a
distância entre A e B é nula. 
Notação: d(A, B) = AB
2.2 Distância entre ponto e reta
Definição – Chama-se distância entre um
ponto (A) e um reta (r) à distância entre esse
ponto e o pé da perpendicular à reta conduzi-
da pelo ponto.
Notação: d(A, r) = AB
B é o pé da perpendicular à reta r conduzido
por A, ou seja, B é a intersecção de uma reta
conduzida por A e perpendicular à reta r. 
2.3 Distância entre ponto e plano
Definição – A distância entre um ponto e um
plano é a medida do segmento cujos
extremos são o ponto e sua projeção ortogonal
sobre o plano.
26
UEA – Licenciatura em Matemática
Notação: d(P, α) = PP’
2.4 Distância entre uma reta e um plano paralelo
Definição – A distância entre uma reta e um
plano paralelo é a distância entre um ponto
qualquer da reta e o plano.
Notação: d(r, a) = d(P, α) = PP’
2.5 Distância entre dois planos paralelos
Definição – A distância entre dois planos para-
lelos é a distância entre um ponto qualquer de
um deles e o outro plano
dα . β= PP’
Notação: d(α, β) = d (P, β) = PP’
2.6 Distância entre duas retas reversas
Definição – A distância entre duas retas rever-
sas (r e s) é a distância entre um ponto qual-
quer de uma delas e o plano que passa pela
outra e é paralelo à primeira reta.
Notação: d(r, s) = PP’
1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-
do sua resposta.
a. ( ) Se 
⎯
PA é um seguimento oblíquo a um
plano α, com A ∈ α, então a distância
entre P e A é a distância entre P e α.
b. ( ) A distância entre um ponto e um plano
é a reta perpendicular ao plano pelo
ponto.
c. ( ) A distância de um ponto P a um plano α
é a distância de P ao ponto P’ de inter-
seção de α com a reta r, perpendicular
a α por P.
d. ( ) A distância entre um plano e uma reta,
sendo eles paralelos distintos, é a dis-
tância de um ponto qualquer do plano a
reta.
e. ( ) A distância entre um plano e uma reta,
sendo eles paralelos e distintos, é a dis-
tância de um ponto qualquer do plano a
um ponto qualquer da reta.
3. Ângulos entre retas reversas 
Definição – De modo geral, definimos ângulo
entre duas retas reversas como sendo o ângu-
lo agudo que uma delas forma com uma reta
paralela à outra.
Geometricamente, temos:
θ é o ângulo entre r e s.
4. Ângulos entre reta e planos
Definição – O ângulo entre uma reta e um
plano é o ângulo agudo que a reta forma com
sua projeção ortogonal sobre o plano.
Gemetricamente, temos:
27
Geometria II – Distâncias, diedros e triedros
θ é o ângulo entre r e α
5. Diedros
5.1 Definição – Dois semiplanos não-coplanares,
com origem numa mesma reta, determinam
uma figura geométrica chamada ângulo dié-
drico, ou simplesmente diedro.
5.2 Secção de um diedro 
Definição – Secção de um diedro é a interseção
do diedro com um plano secante à aresta.
Exemplo: 
Duas secções paralelas de um diedro são con-
gruentes. 
Solução:
De fato, as secções são dois ângulos de lados
com sentidos respectivamente concordantes,
e portanto são congruentes.
1. Defina:
a) Diedro reto.
b) Diedro agudo.
c) Diedro obtuso.
d) Diedros adjacentes.
e) Diedros opostos pela aresta.
5.3 Congruência entre diedros
Definição – Dois diedros são congruentes se,
e sommente se, uma secção normal de um é
congruente à secção normal do outro.
Notação: αrβ = α’ r’ β’ ⇔ xy ≡ x’ y’
28
UEA – Licenciatura em Matemática
6. Triedos
Definição – Três semi-retas não-coplanares,
com origem num mesmo ponto, determinam
três ângulos que formam uma figura geométri-
ca chamada ângulo triédrico, ou simples-
mente triedro.
7. Ângulo poliédrico
Definição – Sejam n semi-retas (n ≥ 3) de
mesma origem, tais que nunca fiquem três num
mesmo semiplano. Essas semi-retas determi-
nam n ângulos em que o plano de cada um
deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-
espaço. A figura formada por esses ângulos é
o ângulo poliédrico.
UNIDADE III
Poliedros, prismas e pirâmides
31
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
TEMA 03
POLIEDROS
1. Definição
Chamamos de poliedro o sólido limitado por
quatro ou mais polígonos planos, pertencentes
a planos diferentes e que têm dois a dois
somente uma aresta em comum. Veja alguns
exemplos
1.
2.
3.
4.
5. 
2. Elementos
Os polígonos são as faces do poliedro; os la-
dos e os vértices dos polígonos são as arestas
e os vértices do poliedro.
3. Poliedros convexos e côncavos
Um poliedro é dito convexo se limita uma re-
gião do espaço que é convexa. Essa região
identifica o interior do poliedro convexo. 
A região interior de um poliedro é convexa se,
ao tomar arbitrariamente dois pontos quais-
quer da região, todo o segmento definido por
esses pontos também está totalmente contido
na região. Outra maneira de identificar a região
interior como convexa é a seguinte: considere
uma face qualquer do poliedro e o plano que a
contém. Se todo o poliedro fica totalmente em
um dos lados deste plano, independente da
face escolhida, o poliedro é convexo. 
Os exemplos 1, 2 e 3 são poliedros convexos. 
O exemplo 4 não é um poliedro convexo, pois,
em relação a duas de suas faces, ele não está
contido em apenas um semi-espaço. 
O poliedro do exemplo 5, denominado “toro”,
tem o formato de uma câmara de ar dos anti-
gos pneus e é formado por quatro tetraedos e
quatro pirâmides de base triangular, sendo a
região central vazada. Este poliedro também
não é convexo. Os poliedros que não são con-
vexos são chamados de poliedros côncavos.
4. Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes espe-
ciais de acordo com o número de faces, como
por exemplo:
• Tetraedro: quatro faces.
• Pentaedro: cinco faces.
• Hexaedro: seis faces. 
• Heptaedro: sete faces. 
• Octaedro: oito faces.
• Icosaedro: vinte faces. 
5. Relação de Euler
Muitos dos símbolos matemáticos que são
usados hoje se devem ao matemático suíço
32
UEA – Licenciatura em Matemática
Leonard Euler, nascido em Basiléia (1707-
1783). Ele foi o primeiro a usar a letra e para
denotar a base dos logaritmos naturais, o pri-
meiro a usar a letra grega π e o primeiro a usar
i como sendo a raiz quadrada de –1 ( ).
Embora a descoberta do resultado do teorema
que relaciona vértices, faces e arestas de um
poliedro regular convexo seja atribuída a Des-
cartes (1596-1650), a fórmula V – A + F = 2
leva o nome de Euler, quealém de tê-la redes-
coberto, publicou uma demonstração em 1751.
Euler
Além de estudar Matemática, dedicou-se tam-
bém à Teologia, Medicina, Astronomia, Física e
às línguas orientais. É considerado O mestre
de todos os matemáticos do século XVIII pelo
fato de as suas pesquisas terem aberto novos
caminhos para a Matemática. 
Em 1741, recebeu um convite para exercer o
cargo de vice-presidente da seção de Mate-
mática da Academia de Berlim. Durante o lon-
go período em que aí permaneceu, escreveu
mais de trezentos trabalhos científicos. Mas,
em 1776, quando retorna à Rússia, descobre
que estava perdendo a visão do olho que lhe
restava. Mesmo completamente cego, Euler,
auxiliado por seus filhos Kraff e Lexill, escrevia
numa lousa colocada em sua casa as novas
descobertas Matemáticas que fazia.
Em todo poliedro convexo, é válida a relação
seguinte:
V – F + A = 2
Tal relação é demonimana relação de Euler,
em que V é o número de vértices, A é o
número de arestas e F, o número de faces.
Exemplo:
Verifique se os poliedros abaixo satisfazem a
relação de Euler
a)
Solução:
V = 9, A = 18, F = 11
V – A + F = 9 – 18 + 11 = 2 
Portanto satisfaz a relação de Euler.
b) 
Solução:
V = 14, A = 21, F = 9
V – A + F = 14 – 21 + 9 = 2
Portanto satisfaz a relação de Euler.
c) 
Solução:
V = 16, A = 32, F = 16
V – A + F = 16 – 32 + 16 = 0
Portanto não satisfaz a relação de Euler.
Observação – Os poliedros para os quais é
válida a relação de Euler são chamados euleri-
anos.
33
5. Poliedros de Platão 
Esse nome dado a alguns poliedros deve-se ao
filósofo grego Platão (427-348 a.C.), discípulo de
Sócrates e mestre de Aristóteles. Foi fundador
da Academia de Atenas onde se ensinava
Matemática, Ginástica e Filosofia. Ele valorizava
muito a Matemática, por ela nos dar a capaci-
dade de raciocínio abstrato. Na entrada da sua
academia, havia a seguinte afirmação: “Que aqui
não adentre quem não souber geometria”.
Platão
5.1 Definição
Um poliedro é chamado “poliedro de Platão”
se, e somente se, satisfaz as três seguintes
condições:
a) todas as faces têm o mesmo número (n) de
arestas;
b) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo
número (m) de arestas, ou seja, de cada
vértice parte o mesmo número (m) de ares-
tas;
c) vale a relação de Euler (V – F + A = 2).
5.2 Propriedade
Existem cinco, e somente cinco, classes de
poliedros de Platão, que são: tetraedro, hexae-
dro, octaedro, dodecaedro, icosaedro. Observe
que todos eles satisfazem as condições citadas. 
6. Poliedros regulares 
6.1 Definição:
Um poliedro convexo é regular quando:
a) suas faces são polígonos regulares e con-
gruentes;
b) seus ângulos poliédricos são congruentes.
6.2 Propriedade
Existem cinco, e somente cinco, tipos de
poliedros regulares convexos, que são: tetrae-
dro regular, hexaedro regular, octaedro regular,
dodecaedro regular e icosaedro regular.
Observe que:
a) se suas faces são polígonos regulares e
congruentes, então todas têm o mesmo
número de arestas;
b) se seus ângulos poliédricos são congru-
entes, então todos têm o mesmo número
de arestas.
Portanto temos:
Todo poliedro regular convexo é poliedro de
Platão, mas nem todo poliedro de Platão é
poliedro regular. 
Por exemplo, uma caixa de bombons como a da
figura a seguir é um poliedro de Platão (hexae-
dro), mas não é um poliedro regular, pois as faces
não são polígonos regulares e congruentes.
Johann Kepler (1571-1630) descobriu dois po-
liedros que são, simultaneamente, regulares e
não-convexos: o pequeno dodecaedro estrela-
do e o grande dodecaedro estrelado. 
Pequeno dodecadro Grande dodecadro
estrelado estrelado
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
34
UEA – Licenciatura em Matemática
Dentre os vários poliedros serão destacados
nos temas a seguir os prismas e as pirâmides. 
Aula prática 1: Construção dos poliedros
Objetivos:
• Visualizar os poliedros bem como as suas
planificações.
• Verificar a relação de Euler nos poliedros
construídos e nas embalagens do cotidi-
ano.
• Verificar as propriedades dos poliedros
convexos, de Platão e regulares nos polie-
dros construídos e nas embalagens.
• Determinar experimentalmente a área total
e o volume dos poliedros.
ATIVIDADE 1
Material: 
• Embalagens do cotidiano com formas difer-
entes. 
Descrição:
• Identificar, nas embalagens, as que são
poliedros, poliedros convexos, de Platão
e/ou poliedros regulares. 
ATIVIDADE 2
Material:
• Canudinhos (com cores diferentes).
• Tesoura.
• Cola.
• Barbante.
• Modelo do anexo.
Descrição:
• Confeccionar, com canudinhos, os polie-
dros de Platão conforme os modelos dos
anexos 1 a 4. 
ATIVIDADE 3
Material:
• Folhas de papel cartão.
• Tesoura.
• Cola.
• Elásticos coloridos.
• Modelo dos anexos 5 a 9.
Descrição:
• Confeccionar, em papel cartão, a planifi-
cação dos poliedros de Platão conforme
modelo do anexo 5 a 9.
• Colorir as faces dos poliedros; recortar a
planificação.
• Obter o valor da área total dos poliedros
antes de montá-los.
• Dobrar as arestas e depois unir com cola as
que estiverem nas bordas da planificação.
• Obter experimentalmente o valor do volume
dos poliedros.
1. Determine o número de vértices de um poliedro
convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face
quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. 
35
2. Num poliedro convexo de 10 arestas, o
número de faces é igual ao número de vértices.
Quantas faces tem esse poliedro?
3. Num poliedro convexo, o número de arestas
excede o número de vértices em 6 unidades.
Calcule o número de faces desse poliedro. 
4. Um poliedro convexo apresenta faces quad-
rangulares e triangulares. Calcule o número de
faces desse poliedro, sabendo que o número
de arestas é o quádruplo do número de faces
triangulares, e o número de faces quadrangu-
lares é igual a 5. 
5. Um poliedro convexo tem 11 vértices, o
número de faces triangulares igual ao número
de faces quadrangulares e uma face pentago-
nal. Calcule o número de faces desse poliedro. 
6. Calcule o número de faces triangulares e o
número de faces quadrangulares de um po-
liedro com 20 arestas e 10 vértices. 
7. Um poliedro de sete vértices tem cinco ângu-
los tetraédricos e dois ângulos pentaédricos.
Quantas arestas e quantas faces tem o
poliedro? 
8. Ache o número de faces de um poliedro con-
vexo que possui 16 ângulos triedros. 
9. Determine o número de vértices, arestas e
faces de um poliedro convexo formado por
cinco triedros, sete ângulos tetraédricos, nove
ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédri-
cos. 
10. Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaé-
drico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais
triedros. Sabendo que o poliedro tem número
de faces triangulares igual ao número de faces
quadrangulares, 11 faces pentagonais, e no
total 21 faces, calcule o número de vértices do
poliedro convexo. 
11. O “cubo-octaedro” possui seis faces quadra-
das e oito triangulares. Determine o número de
faces, arestas e vértices desse sólido euleri-
ano. 
TEMA 04
PRISMAS
1. Definição
Consideremos um polígono convexo (região
poligonal convexa) ABC...DE situado num plano
α e o segmento de reta ⎯PQ, cuja reta suporte
intercepta o plano α. Chama-se prisma (ou pris-
ma convexo) à reunião de todos os segmentos
congruentes e paralelos a
⎯
PQ, com uma extre-
midade nos pontos do polígono e situados num
mesmo semi-espaço dos determinados por α.
Em outras palavras, prisma é um sólido
geométrico (poliedro convexo) delimitado por
faces planas, no qual as bases se situam em
planos paralelos. Várias embalagens utilizadas
têm a forma de prisma, conforme mostra a
figura a seguir.
2. Elementos do prisma
Bases – São as regiões poligonais Ex.:
ABCDE e A’B’C’D’E’.
Faces laterais– São os paralelogramos. Ex.:
ABA’B’ e BCB’C’.
Arestas das bases – São os lados do polí-
gono da base. Ex.: 
⎯
AB e .
Arestas laterais – São os lados dos paralelo-
gramos. Ex. 
⎯
AA’,
⎯
CC’
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
36
UEA – Licenciatura em Matemática
Altura – É distância entre os planos que con-
têm as bases.
3. Classificação dos prismas
Quanto à inclinação das arestas laterais, os
prismas podem ser retos ou oblíquos.
Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são
perpendiculares aos planos das bases. Nesse
caso, as faces laterais são retângulos.
Prisma oblíquo é aquele cujas arestas são
oblíquas aos planos das bases.
Prisma regular é um prisma reto cujas bases
são polígonos regulares. Por exemplo, o prisma
esquerdo da figura acima é um prisma regular.
4. Natureza do prisma
A natureza do prisma é dada de acordo com o
polígono da base.
Exemplo:
Ache a natureza de um prisma, sabendo que
ele possui:
a) 7 faces b) 24 arestas
Solução:
a) V = 2n; A = 3n; F = 7
Como no prisma é válida a relação de Euler,
tem-se:
V – A + F = 2
2n – 3n + 7 = 2 n = 5
Logo, o prisma é pentagonal.
b) V = 2n; A = 24; F = n+2
V – A + F = 2
2n – 24 + n + 2 = 2
3n – 22 = 2 n = 8
Logo, o prisma é octogonal.
5. Secção do prisma
Secção de um prisma é a interseção do prisma
com um plano que intercepta todas as arestas
laterais. A secção de um prisma é um polígono
com vértice em cada aresta lateral.
Secção reta ou secção normal é uma secção
cujo plano é perpendicular às arestas laterais.
6. Tronco do prisma
Quando se secciona um prisma por um plano
não paralelo aos planos das bases, a região
espacial delimitada pela base do prisma e pela
região poligonal do plano que o seccionou é
denominado tronco de prisma, conforme mos-
tra a figura a seguir. 
Secção do prisma Prisma seccionado
POLÍGONO NOME
triângulo Prisma triangular
quadrado Prisma quadrangular
pentágono Prisma pentagonal
hexágono Prisma hexagonal
..... .....
37
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
7. Diagonal do prisma
A diagonal de um prisma é o segmento de reta
que une dois vértices situados em faces distintas.
7.1 Diagonal do cubo
Considere o cubo de aresta a, com diagonal
da base ƒ e diagonal do cubo d, conforme
mostra a figura.
Iniciemos calculando a medida ƒ.
No ΔEFH, ao aplicar o teorema de Pitágoras,
temos:
ƒ2 = a2 + a2 ⇒ ƒ2 = 2a2 ⇒ ƒ = ⇒
ƒ = a
No ΔIHF, ao aplicar o teorema de Pitágoras,
tem-se:
d2 = a2 + ƒ2 ⇒ d2 = a2 + 2a2 ⇒ d2 = 3a2 ⇒
d = a
Portanto:
A diagonal de um cubo de aresta a é: d = a .
Exemplo:
Se a aresta de um cubo mede 100cm, encontre
a distância de um vértice do cubo à sua diagonal.
Solução:
Seja d a diagonal do cubo, ƒ a diagonal da
face do cubo (o quadrado), a aresta do cubo e
x a distância do vértice B à sua diagonal d,
conforme a figura a seguir.
Considerando o triângulo ABC retângulo em
B, podemos utilizar a relação métrica em que o
produto da medida da hipotenusa pela medida
da altura relativa à hipotenusa é igual ao pro-
duto das medidas dos catetos.
Portanto: d.x = a.f (I)
Cálculo da diagonal do cubo (d):
d = a = 100 cm
Cálculo da diagonal do quadrado (ƒ):
ƒ = a = 100 cm
Substituindo d = 100 cm, ƒ = 100 cm e
a = 100cm na expressão (I) temos:
Racionalizando o valor de x, temos:
Resposta: A distância de um vértice do cubo à 
sua diagonal é de .
7.2 Diagonal do paralelepípedo retângulo
Considere o paralelepípedo retângulo de ares-
tas a, b e c com diagonal da base ƒ e diagonal
do paralelepípedo retângulo d.
Iniciemos calculando a medida ƒ da diagonal
da face EFGH:
38
UEA – Licenciatura em Matemática
No ΔEFH, ao aplicar o teorema de Pitágoras,
temos:
ƒ2 = a2 + b2 ⇒ ƒ =
No ΔHFI, ao aplicar o teorema de Pitágoras,
temos:
d2 = ƒ2 + c2 ⇒ d2 = a2 + b2 + c2 ⇒
D = 
Aula prática 2: Construção dos prismas 
Objetivos: 
• Visualizar os prismas construídos.
• Identificar os elementos de alguns prismas
regulares.
• Classificar os prismas em retos ou oblíquos.
• Identificar os prismas regulares.
• Visualizar a secção dos prismas.
• Determinar a quantidade de faces, arestas e
vértices dos primas obtidos.
• Verificar a validade da relação de Euler nos
prismas.
• Visualizar a diagonal do cubo e do para-
lelepípedo retângulo.
• Deduzir a expressão para o cálculo da dia-
gonal do cubo e do paralelepípedo retângulo.
Atividade 1
Material:
• Geoplano 3D.
• Elásticos coloridos.
Descrição:
• Construir alguns prismas retos e oblíquos. 
• Construir alguns prismas regulares identifi-
cando seus elementos, secções e verifi-
cando a validade da relação de Euler.
• Construir alguns prismas não-regulares,
identificando a altura. 
Atividade 2 
Material: 
• Acetato. (ou papel cartão).
• Tesoura.
• Cola.
Descrição:
• Construir o cubo e o paralelepípedo retân-
gulo utilizando acetato (ou papel cartão).
• Construir um triângulo retângulo em que
um dos catetos tem a medidas da aresta do
cubo construído, e o outro tem a medida da
diagonal da face do cubo.
• Calcular a diagonal do cubo utilizando o
teorema de Pitágoras.
• Construir um triângulo retângulo em que
um dos catetos tem a medida da altura do
paralelepípedo retângulo construído, e o
outro tem a medida da face do para-
lelepípedo.
• calcular a diagonal do paralelepípedo retân-
gulo utilizando o teorema de Pitágoras.
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Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
TEMA 05
PLANIFICAÇÃO E ÁREA DO PRISMA
1. Planificação do prisma
Para facilitar a obtenção da área da superfície
de um sólido é necessário representar o sólido
(tridimensional) no plano (bidimensional). Para
isso, é preciso “abri-lo”, de modo que seus ele-
mentos (faces laterais, bases, vértices e ares-
tas) estejam representadas num determinado
plano, conforme mostra a figura a seguir.
2. Área do prisma 
Observe, na figura do prisma planificado, que
para calcular a área lateral (Al) deve-se calcu-
lar a área de uma das faces laterais (Afl) e, por
serem congruentes, multiplicar o resultado
pela quantidade de faces (n). 
Logo: Al = n . Afl. 
Tratando-se de prisma reto, as faces laterais
são retângulos e, portanto, a área do retângulo
é dada pelo produto entre a medida da aresta
da base (l) pela medida da altura do prisma (h). 
Logo: Al = n. l.h 
Para calcular a área das bases, deve-se calcu-
lar a área de um dos polígonos da base (Ab) e,
por serem congruentes, multiplicar o resultado
por 2.
Para calcular a área total (At) deve-se somar a
área lateral com a área das bases. 
Portanto:
Área total do prisma:
At = Al + 2Ab
At = n . Afl + 2Ab
At = n . l . h + 2Ab
Em que: 
A l é a área lateral, e Ab é a área de uma das
bases.
Afl é área de uma das face laterais.
n = quantidade de faces laterais.
l = aresta da base.
h = altura do prisma.
2.1 Área do cubo
Como o cubo possui 4 faces laterais quadran-
gulares congruentes e 2 bases quadradas de
mesma área, temos:
At = Al + 2Ab
Acubo = 4a2 + 2a2
Acubo = 6a2
em que a = aresta do cubo.
2.2 Área do paralelepípedo retângulo
Para a área lateral, temos:
Al = 2a.c + 2b.c
Substituindo na expressão da área do prisma
temos:
At = A l + 2Ab
Aparalel. = 2a.c + 2b.c + 2a.b
em que a = comprimento; b = largura;
c = altura.
40
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 1:
Calcule a área total do prisma de 8dm de altura
e cuja base é um quadrado inscrito num círcu-
lo de 6dm de raio.
Solução:
Representando o prisma enunciado no proble-
ma, tem-se a figura a seguir.
Iniciemos calculando a área da base.
Área da base (Ab) – Destacando o quadrado
inscrito na circunferência, temos:
Para calcular a medida da aresta da base l, deve-
se utilizar a diagonaldo quadrado, pois d = l .
Sendo a diagonal do quadrado o dobro da
medida do raio, tem-se:
d = l ⇒ 2r = l ⇒ 2.6 = l ⇒ 
12 = l
Racionalizando o valor de l, temos:
l =
Substituindo o valor de l na expressão da área
da base, temos:
Área da base: Ab = l2 = (6 )2 = 36.2 =
72dm2. (I)
Agora, calculemos a área lateral do prisma (Al).
Como o prisma possui 4 faces laterais (retân-
gulos), a área lateral é igual a quatro vezes a
área de cada retângulo (Ar).
Al = 4Ar = 4 . l . h = 4 . 6 . 8 = 4.48 dm2 (II)
Substituindo os valores obtidos em (I) e (II)
para a área da base (Ab) e área lateral (Al) na
expressão da área total (At), temos:
Área total no prisma: 
At = Al + 2Ab = 4 . 48 + 2 . 72 = 4 . 48
+ 144 = 48(3 + 4 )dm2
Resposta: 
A área total do prisma é 48(3 + 4 )dm2.
Exemplo 2:
Joana pretende confeccionar embalagens em
forma de prisma reto hexagonal regular com
aresta da base medindo 3cm e aresta da face
lateral medindo 6cm. Sabendo que para con-
feccionar a embalagem o material utilizado
custa R$3,00/cm2, quanto Joana gastará?
Obs.: adote ≈ 1,73.
Solução:
Para saber quanto Joana irá gastar, é ne-cessário
saber a área total da embalagem. Planificando o
prisma hexagonal, temos a figura a seguir.
Considerando:
Medida da aresta lateral: r = 6cm
Medida da aresta da base: s = 3cm 
Iniciemos calculando a área lateral do prisma:
Como o prisma possui 6 faces laterais (retân-
gulos), a área lateral é igual a seis vezes a área
de cada retângulo (Ar).
Área lateral: Al = 6 . Ar = 6. r . s = 6.(6 . 3) =
108cm2.
Área da base – Como a base é um hexágono
regular que pode ser decomposto em seis
triângulos eqüiláteros, a área de um hexágono
regular é igual a seis vezes a área do triângulo
eqüilátero(Atri.).
41
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Sendo a medida do lado do triângulo
eqüilátero a mesma medida da aresta da base
(s), tem-se:
Ab = 6 . Atri = 6. = 6. = =
cm2. 
Área total: 
At = Al + 2Ab
At = 108 + 2.
At = 9(12 + 3 )cm2.
Agora, que temos a área total, podemos obter
o custo total.
Como o material utilizado na embalagem custa
R$ 0,30 cada centímetro quadrado, o custo
total (Ct) será 0,3 vezes a área total.
Ct = 0,3. At = 0,3.9(12+3 ) = 46,413 ≈ R$ 46,41
Resposta: Joana gastará aproximadamente
R$ 46,41.
Exemplo 3: 
Um prisma triangular regular tem a aresta da
base medindo 10dm. Em quanto se deve au-
mentar a altura, conservando-se a mesma
base, para que a área lateral do novo prisma
seja igual a área total do prisma dado? 
Solução:
Sendo l = 10dm, considere Al2 a área lateral do
novo prisma, At1 área total do prisma dado, em
que Al2 = At1, h = altura do prisma dado, h2
altura do novo prisma e x o acréscimo dado à
medida da altura do novo prisma, conforme
mostra a figura a seguir.
Iniciemos calculando Al2:
Sendo Ar a área do retângulo de cada face,
temos:
Al2 = 3.Ar = 3 . l . h2 = 3.(10h2) = 30h2 ⇒
Al2 = 30(h + x)
Para calcular a área total do prisma dado, é
necessário calcular a área da base e a área la-
teral deste prisma.
Área da base do prisma dado:
(I)
Área lateral do prisma dado:
Al1 = 3.(l . h) = 3.(10h) = 30h (II)
Substituindo os valores obtidos em (I) e (II) na
expressão da área total do prisma dado, temos:
At1 = Al1 + 2Ab = 30h + 2.25 =
30h + 50
Como Al2= At1, temos:
30(h + x) = 30h + 50
30h + 30x = 30h + 50
30x = 50
1. A figura a seguir apresenta a planificação de
um prisma triangular. Calcular sua área total.
42
UEA – Licenciatura em Matemática
2. Sabe-se que a diagonal de um cubo mede 2,5cm.
Em quanto se deve aumentar a aresta desse cubo
para que sua diagonal passe a medir 5,5cm?
3. A diferença entre as áreas totais de dois cubos
é 164,64cm2. Calcule a diferença entre as suas
diagonais, sabendo que a aresta do menor
mede 3,5cm.
4. A aresta da base de um prisma hexagonal re-
gular mede 8cm. Em quanto se deve diminuir a
altura desse prisma de modo que se tenha um
novo prisma com área total igual à área lateral
do prisma dado?
5. A aresta lateral de um prisma reto mede 12m;
a base é um triângulo retângulo de 150m2 de
área e cuja hipotenusa mede 25m. Calcule a
área total desse prisma.
6. Um prisma pentagonal regular tem 8cm de
altura, sendo 7cm a medida da aresta da base.
Calcule a área lateral desse prisma.
Aula prática 3: Planificação e área dos prismas
Objetivos: 
• Visualizar as planificações dos prismas.
• Estabelecer a correspondência entre as pla-
nificações e os prismas. 
• Deduzir a expressão para o cálculo da área
do prisma incluindo área do cubo e do
paralelepípedo retângulo.
• Obter o valor da área dos prismas construí-
dos.
Atividade 1
Material: 
• Folhas de papel cartão.
• Tesoura.
• Cola.
Descrição:
• Confeccionar, em papel cartão, as possíveis
planificações do cubo conforme figura.
• Recortar as planificações.
• Dobrar as arestas e montar o sólido.
• Verificar que em todos os casos foi possível
a construção do cubo, pois a soma dos
ângulos dos três quadrados unidos a cada
vértice é 270o, portanto, menor que 360o.
Atividade 2
Material: 
• Folhas de papel cartão (2 cores diferentes).
• Tesoura.
• Cola.
• Modelos dos anexos 10 a 12.
Descrição:
• Confeccionar, em papel cartão, a planifi-
cação dos prismas regulares conforme
modelo do anexo 10 a 12.
• Recortar a planificação.
• Confeccionar, em papel cartão, (com cor
diferente da utilizada na planificação) triân-
gulos eqüiláteros cuja medida do lado é a
mesma da aresta da base do prisma.
• Sobrepor os triângulos a uma das bases.
• Calcular a área lateral, da base e total do
prisma.
• Dobrar as arestas e montar o prisma.
Atividade 3 
Recurso didático: 
• Software Poly Pro1.
Descrição:
• Selecionar um dos prismas disponíveis no
software Poly Pro utilizando a opção Prisms
and Anti-Prisms.
• Planificar e comparar com a planificação
obtida na atividade 2.
(1) Software geométrico disponível em: www.peda.com/download
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Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
TEMA 06
VOLUME DO PRISMA
1. Volume de um sólido 
Volume de um sólido é a quantidade de
espaço por ele ocupada. Essa quantidade é
determinada comparando esse sólido com um
outro tomado como unidade (que geralmente
é o cubo). Dessa comparação resulta um nú-
mero que será a medida do volume. 
Para calcular o volume de um prisma qualquer,
será necessário primeiramente entender o
princípio de Cavalieri. 
Observe na figura a seguir que de um sólido
constituído por 10 lajotas (paralelepípedos
retângulos), todas do mesmo tamanho, podem
ser formadas pilhas das mais variadas formas.
Mas, qualquer que seja a disposição dada às
lajotas essas pilhas têm o mesmo volume, ou
seja, ocupam a mesma quantidade de espaço. 
pilha 1 pilha 2 pilha 3
Idéia intuitiva do Princípio de Cavalieri
Considere dois sólidos A e B com base num
mesmo plano α e situados num mesmo semi-
espaço por ele determinado. Qualquer plano
β, secante aos sólidos A e B, paralelo a α,
determina, nesses sólidos superfícies de áreas
iguais (superfícies equivalentes), conforme
mostra a figura a seguir. 
Com essa idéia intuitiva, pode-se formalizar o
chamado Princípio de Cavalieri. 
44
UEA – Licenciatura em Matemática
Bonaventura Cavalieri(1598-1647) foi um dos
matemáticos mais influentes de sua época.
Discípulo de Galileu Galilei, foi também
astrônomo, devendo-se a ele, em grande parte,
o método dos indivisíveis desenvolvido a partir
de 1626. Cavalieri não definia em suas obras o
que vinham a ser os indivisíveis. Segundo ele,
porém, uma figura plana seria formada por
uma infinidade de cordas paralelas entre si e
uma figura sólida por uma infinidade de
secções paralelas entre si. A essas cordas e a
essas secções chamava de indivisíveis. Em um
de seus livros, diziaque um sólido é formado
por indivisíveis assim como um livro é compos-
to de páginas. Daí a idéia de interceptar o sóli-
do por planos paralelos.
Bonaventura Cavalieri
Principio de Cavalieri:
Dois sólidos, nos quais todo plano secante,
paralelo a um dado plano, determina superfícies
de áreas iguais (superfícies equivalentes), são
sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes).
Sólidos equivalentes
α // β e A1 = A2 ⇒ VS1 = VS2
Adotando um paralelepípedo retângulo S2 cuja
área da base é B e cuja altura é h, temos que o
volume do paralelepípedo retângulo é dado por:
VS2 = B . h
Para utilizar o princípio de Cavalieri, considere
agora um prisma S1 de altura h e área da base
Ab (a mesma do paralelepípedo retângulo). 
Supondo que S1 e S2 têm as bases num
mesmo plano α e estão num mesmo semi-
espaço em relação a α, então todo plano β
paralelo a α, que interceptar S1, também inter-
ceptará S2, e as secções transversais terão
áreas iguais, pois são congruentes às respecti-
vas bases.
Assim, pelo princípio de Cavalieri, o volume do
prisma S1 é igual ao volume do paralelepípedo
S2. Logo, temos:
VS1 = VS2
Vprisma1 = B . h
Exemplo 1:
A água de um reservatório na forma de um
paralelepípedo retângulo de comprimento 30m
e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a
falta de chuvas e o calor, 1.800m3 da água do
reservatório evaporaram. Qual a altura máxima
atingida pela água restante no reservatório?
Solução:
Sendo a = 30m, b = 20m, c = 10m e o volume
evaporado(Ve)=1800m3, considere x a altura
do reservatório depois que a água evaporou,
conforme a figura.
Iniciemos calculando o volume inicial do reser-
vatório (Vi): 
Vi = a . b . c = 30.20.10 = 6000m3
Volume final do reservatório (Vf):
Utilizando o volume evaporado, tem-se:
Vf = Vi – Ve = 6000 – 1800 = 4200m3
45
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Utilizando as dimensões do reservatório com
altura x, tem-se: 
Vf = a . b . x = 30.20. x = 600x
Portanto temos:
600x = 4200 = 7m
Resposta: A altura máxima atingida pela água
restante no reservatório é de 7 metros.
Exemplo 2: 
Paulo tem um galpão com as medidas indi-
cadas na figura. Qual o volume do galpão?
Solução:
O volume do galpão (Vg) será dado pela soma
dos volumes do paralelepípedo retângulo
(Vparal.) e do prisma triangular (Vpri) – parte
superior do galpão.
Volume do paralelepípedo retângulo(Vparal.):
Vparal. = 4.8.20 = 640m3
Volume do prisma triangular(Vpri):
Vpri = Ab . h = Atri . h 
em que:
Atri é a área do triângulo e h a altura do prisma.
Lembrando que em um triângulo qualquer a
área é dada por:
, onde:
p é o semiperímetro do triângulo. logo
; a, b e c são as medidas dos
lados do triângulo.
Sendo a = 8m e b = c = 5m, temos:
p = 9m
Portanto:
Vpri = Atri . h = 12 . 20 = 240m3
Calculando agora o volume do galpão, temos:
Vg = Vparal. + Vpri = 640 + 240 
Vg = 880m3
Exemplo 3:
A altura h de um paralelepípedo retângulo
mede 60cm, sendo a sua base um quadrado.
A diagonal do paralelepípedo forma um ângu-
lo de 60° com o plano da base. Determine o
volume do paralelepípedo retângulo.
Solução:
Representando o paralelepípedo retângulo
descrito no problema, tem-se a figura a seguir.
Para determinar o volume do paralelepípedo
retângulo, é necessário encontrar a área da
base, que por sua vez depende da medida a.
Podemos encontrar o valor de a por meio da
relação entre a medida da aresta do quadrado
a e sua diagonal ƒ. 
Com os elementos caracterizados na figura e
considerando o triângulo ABC, temos:
Utilizando a função trigonométrica tangente
que relaciona o cateto oposto ao ângulo de 60o
h e o cateto adjacente a este ângulo ƒ, temos:
Substituindo o valor de ƒ na relação ƒ = a ,
temos:
Racionalizando o valor de a, temos:
46
UEA – Licenciatura em Matemática
Agora, podemos encontrar a área da base (Ab):
Portanto, temos:
V = Ab . h = 600 . 60 = 36000cm3
O volume do paralelepípedo retângulo é
36000cm3
Exemplo 4:
Uma caixa cúbica sem tampa, com 1 litro de
capacidade, está completamente cheia de
leite. Inclina-se a caixa 30o em relação ao plano
horizontal, de modo que apenas uma de suas
arestas fique em contato com o plano, con-
forme mostra a figura. Qual o volume em cm3
do leite derramado? 
Solução:
Como o leite derramado está contido em um
prisma triangular, para calcular o volume (V) é
necessário calcular a área da base do triângu-
lo e a altura deste prisma. Como o volume do
cubo = a3 e 1l = 1dm3, temos:
a3 = 1 ⇒ a = 1dm
Considere o triângulo retângulo ABC, pois
m(BA^C) = 90º sendo b a medida da base do
triângulo e a a medida da aresta do cubo.
Como a reta é paralela ao plano da base
onde está apoiado o cubo, então m(AC^B) = 30º,
que é a inclinação do cubo em relação ao
plano conforme mostra a figura a seguir. 
Destacando no prisma triangular o ΔABC,
temos:
Como o volume do leite derramado V = Ab . h
e sendo Ab a área do triângulo retângulo ABC,
temos: 
(I)
Portanto, para obter V, é necessário obter o
valor de b. Para isso, podemos utilizar a função
trigonométrica tangente que relaciona o cateto
oposto ao ângulo de 30o (b) e o cateto adja-
cente a este ângulo (a). 
Logo:
Substituindo o valor de b na expressão (I), tem-
se:
Como 1dm3 = 1000cm3, tem-se que:
Resposta: O volume em cm3 do leite derramado
é:
Exemplo 5:
Determine o volume de um prisma reto de
10cm de altura e cuja base é um hexágono
regular de apótema 3 cm.
Solução:
Para calcular o volume é necessário calcular a
área do hexágono.
Logo, Ab = 6Atri, onde Atri é a área de cada
47
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
triângulo que compõe o hexágono, conforme a
figura a seguir. 
Destacando no prisma triangular o ΔABC, temos:
Para calcular a área de cada triângulo que com-
põe o hexágono, é necessário obter as medidas
da base (a) e da altura (m) do triângulo.
Para obter o valor de a, podemos utilizar o tri-
ângulo retângulo ABC, pois contém o apótema
m = 3 cm
Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo
ABC, temos:
(I)
Substituindo m = 3 cm na expressão (I),
temos:
Sendo e substituindo a expressão
de m na área do triângulo, temos:
Portanto:
(II)
Agora, podemos substituir o valor de a na
expressão (II).
Substituindo o valor da área da base
Ab = 54 cm2 e h = 10cm na expressão do
volume do prisma, temos:
V = Ab . h = 54 . 10
V = 540 cm3
Resposta: O volume do prisma reto é 540 cm3.
1. Calcule a área total e o volume de um prisma
hexagonal regular de 12m de aresta lateral e
4m de aresta da base.
2. Um prisma hexagonal regular tem a área da
base igual a 96 cm2. Calcule a área lateral e
o volume do prisma, sabendo que a altura é
igual ao apótema da base. 
3. Um prisma reto tem por base um losango em 
que uma de suas diagonais é os da outra, e
a soma de ambas é 14cm. Calcule o volume
desse prisma, sabendo que sua altura é igual
ao semiperímetro da base.
4. Calcule o volume e a área total de um prisma
cuja base é um triângulo eqüilátero de 6dm de
perímetro, sendo a altura do prisma o dobro da
altura da base.
5. Calcule o volume de um prisma triangular re-
gular, sendo todas suas arestas de mesma
medida, e sua área lateral 33m2
6. Calcule o volume de um prisma quadrangular
regular cuja área total tem 144m2, sabendo que
sua área lateral é igual ao dobro da área da
base.
48
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Dispondo-se de uma folha de cartolina, medin-
do 50cm de comprimento por 30cm de largura,
pode-se construir uma caixa aberta, cortando-
se um quadrado de 8cm de lado em cada canto
da folha. O volume dessa caixa, em cm3, será:
a) 1244 b) 1828
c) 2324 d) 3808
e) 12000
2. A aresta, a diagonal e o volume de um cubo
estão, nessa ordem, em progressão geométri-
ca. A área total deste cuboé:
a) 6 b) 6 (2 – I)
c) 3 d) 12
e) 18
3. As dimensões de um paralelepípedo retângulo
são inversamente proporcionais aos números
12, 6 e 4. Se sua área total é 88cm2, o seu vol-
ume, em cm3 é:
a) 288 b) 144
c) 128 d) 64
e) 48
4. Considere um paralelepípedo com 12m de
comprimento, 4m de largura e 3m de altura. Se
o seu volume for aumentado de 624m3, então
sua altura aumentará de:
a) 7m b) 9m
c) 11m d) 13m
e) 12m
5. Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de
largura e de 2,80m de altura, as portas e as
janelas ocupam uma área de 4m2. Para azule-
jar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a
compra de 10% a mais da metragem a
ladrilhar. A metragem quadrada de ladrilhos a
comprar é:
a) 24,40 b) 24,8O 
c) 25,50 d) 26,40 
e) 26,80 
6. O volume de ar contido em um galpão com a
forma e as dimensões dadas pela figura abai-
xo é:
a) 288 b) 384
c) 480 d) 360
e) 768
7. De um bloco cúbico de isopor de aresta 3a
recorta-se o sólido, em forma de “H”, mostrado
na figura. O volume do sólido é:
a) 27 a3 b) 21 a3
c) 18 a3 d) 14 a3
e) 9 a3
Aula prática 3: Princípio de Cavalieri 
Objetivos: 
• Visualizar a equivalência de dois sólidos a
partir de superfícies equivalentes.
• Deduzir a expressão para o cálculo do vo-
lume de um prima a partir do volume de um
paralelepípedo.
Material: 
• Emborrachado ou pedaços de madeira.
Atividade 1: 
• Confeccionar cilindros (ou cubos, ou pris-
mas triangulares ou qualquer outro sólido)
de aproximadamente 1cm de altura e mesma
área.
• sobrepor as peças confeccionadas de ma-
49
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
neira diferente, formando dois sólidos dis-
tintos.
• Comparar os volumes dos dois sólidos
obtidos. 
Atividade 2: 
Material:
• Folhas de acetato (ou papel cartão, 2 cores
diferentes).
• Tesoura e cola.
• Areia (ou grãos, bolas de isopor pequenas).
Descrição:
• Confeccionar, em papel cartão, um prisma
reto regular.
• Confeccionar, em papel cartão, um para-
lelepípedo retângulo com cor diferente do
prisma regular confeccionado e cuja base
e altura sejam as mesmas do prisma reto
regular.
• Encher o paralelepípedo retângulo com
algum material de baixa densidade (ex.: iso-
por) e despejar no prisma regular.
• Comparar os volumes.
• Determinar a expressão para o volume do
prisma. 
TEMA 07
PIRÂMIDES
1. Definição
Consideremos uma região poligonal contida
em um plano α e um ponto V localizado fora
desse plano. 
Uma pirâmide é a reunião de todos os seg-
mentos que têm uma extremidade em V e a
outra num ponto qualquer da região poligonal.
O ponto V recebe o nome de vértice da pi-
râmide.
2. Histórico
As pirâmides mais famosas foram construídas
no Egito antigo por volta de 2600 a 2500 a.C.
Elas eram utilizadas para sepultar famílias reais.
As pirâmides de Gizé existem até hoje e são for-
madas por um conjunto de nove pirâmides
construídas pelos faraós Quéops, Quéfrem e
Miquerinos. A mais alta chama-se Quéops e
mede 138 metros de altura. O historiador grego
Heródoto, escrevendo 2400 anos atrás, calcu-
lou que 100.000 homens trabalharam durante
20 anos para a completa construção da Grande
Pirâmide. Calcula-se também que foram usa-
dos 2,3 milhões de blocos de pedra para cons-
truí-la, cada bloco pesando 2,5 toneladas.
Pirâmides foram também construídas por out-
ros povos, como os maias, na América Central,
entre 300 e 900 d.C., e mais tarde pelos aste-
cas. Eram usadas como templos para ado-
50
UEA – Licenciatura em Matemática
ração ao Sol, à lua e aos seus deuses da
chuva. As formas piramidais foram usadas por
tribos indígenas e mais recentemente por
escoteiros para construir barracas.
3. Elementos da pirâmide
Vértice: o ponto V.
Base: a região poligonal. Ex.: ABCDEF
Faces laterais: regiões triangulares. Ex.: AVB,
BVC, CVD.
Arestas da base: lados do polígono da base.
Ex.:
⎯⎯
AB e 
⎯⎯
BC.
Arestas laterais: lados dos triângulos. Ex.: 
⎯⎯
AV.
Altura: distância do vértice à base (h).
4. Classificação das pirâmides
As pirâmides podem ser classificadas de acor-
do com a projeção do vértice sobre o plano da
base como oblíquas ou retas.
Pirâmide oblíqua – É uma pirâmide cuja pro-
jeção ortogonal do vértice V sobre o plano da
base não coincide com o centro da base.
Pirâmide reta – É uma pirâmide cuja projeção
ortogonal do vértice V sobre o plano da base
coincide com o centro da base. A pirâmide re-
gular é uma pirâmide reta cujo polígono da
base é regular.
Em uma pirâmide regular, destacamos: 
1. As arestas laterais são congruentes.
2. As faces laterais são triângulos isósceles
congruentes.
3. O apótema do polígono regular da base é
chamado apótema da base.
4. A altura de uma face lateral relativa à aresta
da base é chamada apótema da pirâmide.
Numa pirâmide regular, considere:
a, a aresta da base;
h, a altura da pirâmide;
m, o apótema da base;
g, o apótema da face;
l, a aresta lateral;
r, o raio do círculo que circunscreve a base.
Podemos obter as seguintes relações analisan-
do os triângulos VOM, VOR e VMS.
Do triângulo VOM, temos: 
Do triângulo VOR, temos:
51
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Do triângulo VMS, temos:
5. Natureza da pirâmide
Da mesma forma que no prisma, a natureza
da pirâmide é dada de acordo com o polí-
gono da base.
6. Secção transversal de uma pirâmide
Um plano qualquer paralelo ao plano da base,
ao interceptar uma pirâmide, nela determina
uma região denominada secção transversal,
conforme mostra a figura a seguir. 
7. Tronco da pirâmide de bases paralelas
Quando se secciona uma pirâmide por um
plano paralelo ao plano da base, a região
espacial delimitada pela base da pirâmide e
pela região poligonal determinado no plano
que a seccionou é denominado tronco de
pirâmide, conforme mostra a figura a seguir. 
8. Planificação da pirâmide
Ao contrário dos prismas, em que as faces são
paralelogramos e possuem duas bases, as
pirâmides têm faces triangulares e apenas uma
base, conforme mostra a figura de uma
pirâmide planificada.
9. Área na pirâmide 
Observe, na pirâmide regular planificada, que
para calcular sua área lateral (Al) deve-se cal-
cular a área de uma face lateral (Afl) e multi-
plicar pela quantidade de faces (n). Para calcu-
lar a área da base (Ab), deve-se calcular a área
do polígono da base. Portanto, para calcular a
área total da pirâmide (At), soma-se a área late-
ral com a área da base.
At = Al + Ab
= n . Afl + Ab
em que:
At = área total da pirâmide.
n = quantidade de faces laterais.
Afl = área da face lateral.
Ab = área da base.
Exemplo 1: Calcule a área total na pirâmide
quadrangular.
POLÍGONO NOME
triângulo Pirâmide triangular
quadrado Pirâmide quadrangular
pentágono Pirâmide pentagonal
hexágono Pirâmide hexagonal
..... .....
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UEA – Licenciatura em Matemática
Solução: 
Uma pirâmide quadrangular possui como base
um quadrado e quatro faces triangulares.
Logo:
n = 4
a = 2cm
Ab = 22 = 4cm2
h = 5cm
Para calcular a área lateral (Al), é necessário
calcular a área da face triangular (Afl), que, por
sua vez, depende da altura da face, ou seja, do
apótema da pirâmide (g). 
Como temos a medida do apótema da base
(m) e a altura da pirâmide (h), podemos utilizar
a expressão obtida em (I) para encontrar g:
Logo:
Portanto:
At = Al + Ab = 
Exemplo 2: 
Calcule a área lateral e a área total de uma
pirâmide regular hexagonal cujo apótema
mede 20cm, sendo 6cm a medida do raio da
base.
Solução:
Como a base é um hexágono regular, temos: 
r = l = 6cm. 
Cálculo da área da face lateral (Afl)
Cálculo da área lateral (Al)
Al = 6 . 60 = 360cm2
Cálculo da área da base (Ab)
Portanto a área total da pirâmide é:
At = Al + Ab = 360 + 54 ⇒
At = 18(20 + 3