CFVVOC-Lista_de_Exerci­cos_2[1]

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Campus: Jundiaí Curso: Engenharia Básico 
Disciplina: CÁLCULO de FUNÇÕES de VÁRIAS VARIÁVEIS e OPERADOR de CAMPO 
Professores Responsáveis: Ranyere Deyler Trindade e Silvania Maria Netto 
2012 
 
LISTA de EXERCÍCIOS PREPARATÓRIOS para NP2 
 
1. Se w = 
z
y
x
2

, onde x = e2t, y = t3 + 4t e z = t2 - 4, utilize a Regra da Cadeia para determinar dw/dt, 
sabendo-se que: 
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw









 
 
2. Use a Regra da Cadeia para determinar z/s e z/t, sabendo-se que: 
 
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z












 e 
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z












 
 
a) z = x2 + xy + y2, x = s + t, y = st 
 
b) z = x/y, x = set, y = 1 + se-t 
 
c) z = exy tg y, x = s = 2t, y = s/t 
 
d) z = er cos , r = st,  = 
22 ts 
 
 
e) z = sen  tg ,  = 3s + t,  = s - t 
 
3. Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção e sentido indicada pelo 
ângulo : 
a) f(x,y) = x2y3 – y4, (2,1),  = /4 
 
b) f(x,y) = x sen (xy), (2,0),  = /3 
 
4. Para as funções abaixo, pede-se determinar: 
I. O gradiente da função; 
II. O gradiente da função no ponto P; 
III. A taxa de variação da função em P na direção e sentido do vetor u. 
 
a) f(x,y) = 5xy2 – 4x3y, P(1,2), u = 
13
12
,
13
5
 
 
b) f(x,y,z) = xe2yz, P(3,0,2), u = 
3
1
,
3
2
,-
3
2
 
 
5. Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção e sentido do vetor v: 
a) f(x,y) = 1 + 2x
y
, (3,4), v = 
3-4,
 
 
b) g(s,t) = s2et, (2,0), v = 
ji
 
 
c) f(x,y,z) = 
222 zyx 
, (1,2,-2), v = 
3-6,-6,-
 
6. Determine a taxa de variação máxima da função no ponto dado e a direção em que isso ocorre: 
a) f(x,y) = y2/x, (2,4) 
 
b) f(x,y,z) = x2y3z4, (1,1,1) 
 
c) f(x,y,z) = ln(xy2z3), (1,-2,-3) 
 
7. Determine 

3
0
dx y)f(x,
 e 

4
0
dy y)f(x,
 para a f(x,y) = 2x + 3x2y. 
 
8. Calcule as integrais iteradas abaixo: 
a) 
  
3
1
1
0
dy dx 4xy)(1 
 
 
b) 
  
4
2
1
1-
22 dx dy )y(x 
 
 
c) 
  
2
0
1
0
8 dy dx y)(2x 
 
 
d) 
  
4
1
2
0
dy dx )y(x 
 
 
e) 
 
1
0
2
1
x
dx dy 
y
xe
 
 
 
f) 
  
2
1
1
0
2- dy dx y)(x 
 
 
g) 
 
ln2 ln5
0
y-2x dy dx e 
0
 
 
9. Calcule as integrais duplas abaixo: 
a) 
 
R
432 dA )5yy(6x
, R = {(x,y)/0x3, 0y1} 
 
b) 

R
2
2
dA 
1x
xy
, R = {(x,y)/0x1, -3y3} 
 
c) 
 
R
dA y)(x sen x
, R = [0, /6]x[0, /3] 
 
d) 

R
2
dA yxxye
, R = [0, ]x[0, ] 
 
10. Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares: 
a) 
dA xy 
D
, onde D é um disco com centro na origem e raio igual a 3 
b) 
dA )y(x cos 
R
22
 
, onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x2+y2=16