Fundamentos de Matemática: Objetivos, Conteúdos e Avaliação

Prévia do material em texto

GST1073 – FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Profª Liamara Vargas Bidinha 1 
Plano de Ensino 
 Perfil Docente 
 Contextualização 
 
 A disciplina de Fundamentos de Matemática busca justamente evidenciar a aplicação da matemática e do raciocínio em problemas práticos, resgatando conceitos teóricos e aplicando-os em áreas diversas. 
2 
Plano de Ensino 
 Objetivos Gerais 
 
 Modelar e solucionar vários tipos de problemas com o uso do conhecimento matemático básico. 
 Resolver situações-problema de matemática e de outras áreas de conhecimento, utilizando diferentes modelagens e soluções para desenvolver a interpretação e o Raciocínio Lógico; 
 Desenvolver o jeito matemático de pensar nas soluções de problemas do cotidiano. 
3 
Plano de Ensino 
 Conteúdos 
 
 CONJUNTOS 
 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ÁLGEBRA E ARITMÉTICA 
 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÃO. 
 FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 FUNÇÃO QUADRÁTICA OU POLINOMIAL DO 2º GRAU 
 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 LOGARITMOS E FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
4 
Plano de Ensino 
 Avaliação 
 O processo de avaliação oficial será composto de três etapas: 
• Avaliação 1 (AV1), 
• Avaliação 2 (AV2) e 
• Avaliação 3 (AV3), 5 
Plano de Ensino 
 Avaliação 
 
• AV1: Prova (8,0) + Atividades (2,0) 
• AV2: Prova (8,0) + Atividades (2,0) 
• AV3: Prova (10,0) 
6 
Plano de Ensino 
 Aprovação 
 
• Atingir resultado igual ou superior a 6,0, calculado a partir da média aritmética entre os graus das avaliações, sendo consideradas apenas as duas maiores notas obtidas dentre as três etapas de avaliação (AV1, AV2 e AV3). A média aritmética obtida será o grau final do aluno na disciplina; 
• Obter grau igual ou superior a 4,0 em, pelo menos, duas das três avaliações; 
• Frequentar, no mínimo, 75% das aulas ministradas. 
7 
Plano de Ensino 
 Bibliografia 
 
• LIVRO: Matemática para Negócios AUTORES: Marcelo Rodrigues Leão Silva, Newton Gomes Dumani Júnior, Antonio Cláudio Gonçalves da Silva, Ulisses Polisel, Marcos Senna. Fernando Hideo Fukuda (ORG). ESTÁCIO, RIO DE JANEIRO, 2014. 
8 
Plano de Ensino 
 Bibliografia 
 GOLDSTEIN, Larry Joel; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática aplicada: economia, administração e contabilidade. São Paulo: Bookman, 2006. HARIKI, S. Matemática Aplicada: Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. SILVA, Luiza Maria Oliveira da. MACHADO, Maria Augusta Soares. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade - Funções de uma e mais variáveis. São Paulo: Cengage, 2011. 
9 
CONJUNTOS 
 Todos os ramos da matemática utilizam a noção de conjuntos de diversas maneiras diferentes. Sendo assim, a noção de conjunto ganha um lugar de destaque no ensino da matemática. 
 As três noções básicas da teoria dos conjuntos são: conjunto, elemento e pertinência, as quais denominamos noções intuitivas. Reconhecer se um elemento pertence ou não a um dado conjunto se torna imprescindível. 
10 
Exemplos: 
 Eleitores; 
 Maiores de 65 anos; 
 Pessoas com ensino superior; 
 Contas a pagar; 
 Profissionais especializados em determinada área; 
 Administradores; 
 Contadores. 11 
Representação de um Conjunto: 
1. Tabular Podemos representar um conjunto sob forma de tabela, escrevendo seus elementos entre chaves {} e separados por vírgula. É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C,... . Exemplos: A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4} 
12 
Representação de um Conjunto: 
2. Diagramas de Venn Os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não se entrelaça. Exemplo: 
13 
Representação de um Conjunto: 
3. Representação através de uma propriedade Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por: A = {x | x tem a propriedade p}. Lê-se: "A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p". 
14 
Representação de um Conjunto: 
3. Representação através de uma propriedade Exemplo: (a) A = {x | x é país da Europa} o conjunto A é formado por todos os países da Europa. (b) B = {x | x é mamífero} o conjunto B é formado por todos os mamíferos. 
15 
 Intersecção (∩): Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A com B ao conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. 
Notação: A ∩ B (lê-se "A intersecção B"). Simbolicamente: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} 
16 
 União (U): Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Notação: A U B (lê-se "A união B"). Simbolicamente: A U B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} 
17 
Exercício: 
1. Enumere os conjuntos: A= B= C= A ∩ B= A ∩ C= B ∩ C= A ∩ B ∩ C= A U B= A U C= B U C= A U B U C= 
18 
Atividade Formem os seguintes conjuntos e os representem de forma tabular. A={x | x tem menos de 20 anos} B={x | x tem entre 20 a 24 anos} C={x | x tem entre 25 a 30 anos} D={x | x tem mais de 30 anos} 
19 
Atividade Represente os seguintes subconjuntos: E = {x | x é mulher} F = {x | x é homem} G = {x | x é solteiro (a)} H = {x | x é casado (a)} E ∩ G = E ∩ H = F ∩ G = F ∩ H = 20 
Relação de Pertinência Nos exemplos: A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4} note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. Tais fatos serão respectivamente indicados por: u ∈ A (lê-se "u pertence a A") e u ∉ B (lê-se "u não pertence a B") De modo geral, para relacionar elemento e conjunto, devemos utilizar os símbolos: 
∈ (pertence) e ∉ (não pertence) 
21 
Tipos de Conjuntos 1. Conjunto unitário Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento. Exemplos: (a) C = {5} (b) B = { x | x é estrela do sistema solar} 
22 
Tipos de Conjuntos 2. Conjunto vazio Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por Ø ou { }. Exemplos: (a) D = {x | x é número e x . 0 = 5} = Ø (b) E = {x | x é computador sem memória} = { } 
23 
Tipos de Conjuntos 3.Conjunto finito Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao "fim" da contagem de seus elementos. Exemplos: (a) B = {1, 2, 3, 4} (b) D = {x | x é brasileiro} (c) H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol} 
24 
 Tipos de Conjuntos 4.Conjunto infinito Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao "fim" da contagem. Exemplos: (a) N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} (b) A = { x E N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...} 
25 
Conjuntos Iguais Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Assim, se A é o conjunto das letras da palavra "arte": A = {a, r, t, e} e B é o conjunto das letras da palavra "reta": B = {r, e, t, a}, Temos A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B (lê-se "A é diferente de B"). 
26 
Conjunto Universo (U) Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos desse estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar. Exemplo: Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo considerado. · Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, teremos como resposta o conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}. · Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares, teremos como conjunto solução S = {0, 2, 4}. 
27 
Exercícios 1. Um certo número de alunos de uma escolade ensino médio foi consultado sobre a preferência em relação às revistas A ou B. O resultado obtido foi o seguinte: 180 alunos lêem a revista A, 160 lêem a revista B, 60 lêem A e B e 40 não lêem nenhuma das duas. (a) Quantos alunos foram consultados? (b) Quantos alunos lêem apenas a revista A? (c) Quantos alunos não lêem a revista A? (d) Quantos alunos lêem a revista A ou a revista B? 
28 
 Exercícios 2. Foram consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem. Obteve-se o seguinte resultado: 300 pessoas assistem ao canal Z, 270 assistem ao canal W e 80 assistem a outros canais distintos de Z e W. (a) Quantas pessoas assistem aos dois canais? (b) Quantas pessoas assistem somente ao canal W? (c) Quantas pessoas não assistem ao canal Z? 
29 
Exercícios 3. Uma escola ofereceu cursos paralelos de informática (I), xadrez (X) e fotografia (F) aos alunos da 1a série do ensino médio. As inscrições nos cursos foram feitas segundo a tabela abaixo. Baseando-se nas informações desta tabela, responda às perguntas que se seguem. 
30 
Exercícios a) Quantos alunos cursavam a 1a série do ensino médio? b) Quantos alunos optaram somente por um curso? c) Quantos alunos não se inscreveram no curso de xadrez? d) Quantos alunos se inscreveram somente no curso de informática? e) Quantos alunos fizeram inscrição para o curso de informática ou fotografia? f) Quantos alunos fizeram inscrição para o curso de informática e xadrez? g) Quantos alunos não se inscreveram no curso de xadrez e nem no de fotografia? 
31 
Exercícios 4) Uma população utiliza 3 marcas diferentes de detergente: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados tabelados abaixo: Pode-se concluir que o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é: 32 
Subconjunto Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B. Indica-se que A é subconjunto de B por: A ⊂ B (lê-se "A está contido em B"), ou ainda, por B ⊃ A (lê-se "B contém A"). Exemplos: (a) {2, 5, 3} ⊂ {2, 5, 3, 8, 9} (b) {6, 9, 6, 5} ⊃ {9, 6} 
33 
Duas propriedades importantes envolvendo subconjuntos 1 - O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: Simbolicamente: A ⊂ B ⇔ [∀x ∈ A, x ∈ B] Exemplos: (a) ∅ ⊂ {1, 2, 3} (b)∅ ⊂ ∅ 2 - Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Simbolicamente: A ⊂ A, ∀ A 
34 
Relação de Inclusão x Relação de Pertinência 
1. Usamos a relação de inclusão (⊂) para relacionar um 
subconjunto B com um conjunto A que contém B 
 (B ⊂ A). 
 
2. Usamos A relação de pertinência (∈) para relacionar um 
elemento x com um conjunto A que possui x como 
elemento (x ∈ A). 
35 
Conjunto das Partes de um Conjunto Podemos ter um conjunto cujos elementos podem também ser conjuntos. Exemplo: 1. Considere o conjunto A = {a, b}. Vamos determinar os subconjuntos de A, pensando em termos de número de elementos. a) Subconjuntos com nenhum elemento: Ø b) Subconjuntos com um elemento: {a}, {b} c) Subconjuntos com dois elementos: {a,b} 
36 
Conjunto das Partes de um Conjunto Chamamos conjunto das partes de um conjunto A ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. Notação: P(A) (lê-se P de A) Exemplos. 1. Conjunto das partes do conjunto A = {a, b}. P(A) = {Ø , {a}, {b}, {a,b}}. 2. Conjunto das partes do conjunto B = {a, b, c}: 
37 
Número de Elementos do Conjunto das Partes de um Conjunto No exemplo (1), o conjunto A tem dois elementos e o conjunto das partes de A possui 4 (22) elementos. No exemplo (2), o conjunto B tem três elementos e o conjunto das partes de B possui 8 (23) subconjuntos. De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, os números de elementos de P(A) é 2n. 
38 
Intersecção Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A com B ao conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. 
Notação: A ∩ B (lê-se "A intersecção B"). Simbolicamente: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} 
39 
Propriedades da interseção de conjuntos: Propriedades da interseção de conjuntos: Propriedade 1. Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, a interseção A ∩ B será o conjunto B. Simbolicamente: B ⊂ A ⇔ A ∩ B = B, para todo A, B. Propriedade 2. A operação de interseção é comutativa. Simbolicamente: A ∩ B = B ∩ A, para todo A, B. Propriedade 3. A operação de interseção é associativa. Simbolicamente: (A∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), para todo A, B, C. 40 
 União (U) 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Notação: A U B (lê-se "A união B"). Simbolicamente: A U B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} 
41 
Propriedades da união de conjuntos: 
Propriedades da união de conjuntos: 
Propriedade 1. Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, 
a interseção A U B será o conjunto A. 
Simbolicamente: B ⊂ A ⇔ A U B = A, para todo A, B. 
 
Propriedade 2. A operação da união é comutativa. 
Simbolicamente: A U B = B UA, para todo A, B. 
 
Propriedade 3. A operação da união é associativa. 
Simbolicamente: (A U B) U C = A U (B U C), para todo A, B, C. 42 
Diferença de conjuntos ( - ): Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B ao conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Notação: A - B (lê-se "A menos B"). Simbolicamente: A - B = {x | x ∈ A e x∉ B} Exemplos. A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9} A - B = {2, 6} B -A = {9} A = {3, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6} 43 
Complementar C: Se A e B são conjuntos tais que A ⊂ B, então a diferença B - A é chamada complementar de A em B. Notação: CB A (lê-se "complementar de A em B"). Simbolicamente: CB A = B - A = {x | x ∈ B e x ∉ A}, onde A ⊂ B Exemplo. 1. A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9} Como A⊄ B, então não existe CB A 2. A = {3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} Existe CB A , pois A ⊂ B. CB A = {2, 4, 6} 
44 
 Sugestão de Leitura 
• www.somatematica.com.br 
• https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-pre-alg/v/number-sets-1 
• https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-pre-alg/v/number-sets-2 
• https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-pre-alg/v/number-sets-3 45 
	Número do slide 1
	Número do slide 2
	Número do slide 3
	Número do slide 4
	Número do slide 5
	Número do slide 6
	Número do slide 7
	Número do slide 8
	Número do slide 9
	Número do slide 10
	Número do slide 11
	Número do slide 12
	Número do slide 13
	Número do slide 14
	Número do slide 15
	Número do slide 16
	Número do slide 17
	Número do slide 18
	Número do slide 19
	Número do slide 20
	Número do slide 21
	Número do slide 22
	Número do slide 23
	Número do slide 24
	Número do slide 25
	Número do slide 26
	Número do slide 27
	Número do slide 28
	Número do slide 29
	Número do slide 30
	Número do slide 31
	Número do slide 32
	Número do slide 33
	Número do slide 34
	Número do slide 35
	Número do slide 36
	Número do slide 37
	Número do slide 38
	Número do slide 39
	Número do slide 40
	Número do slide 41
	Número do slide 42
	Número do slide 43
	Número do slide 44
	Número do slide 45