aula12_2007

Prévia do material em texto

�PAGE �
�PAGE �1�
MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
Projeto Turmas Especiais
RESUMO DA AULA TEÓRICA 12
MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS:
revisão da aula teórica 6
Definição: O máximo absoluto de uma função 
 em um intervalo 
 é o maior valor possível de 
 quando 
 varia em todo o intervalo 
. Analogamente, o mínimo absoluto de uma função 
 em um intervalo 
 é o menor valor de 
 quando 
 percorre todo o intervalo 
. 
Teorema: Toda função contínua em um intervalo fechado 
 possui máximo e mínimo absolutos.
As figuras a seguir ilustram que esse resultado pode ser falso caso alguma hipótese do teorema não seja satisfeita.
	
Pergunta: como determinar os valores de máximo e de mínimo absolutos de uma função contínua definida em um intervalo fechado? Veremos que, para responder essa pergunta, é conveniente o estudo dos pontos de máximo e mínimo locais da função. 
MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS
Definição: Uma função 
, definida num intervalo 
, tem máximo local em 
 se existir 
 tal que 
 para todo 
. Analogamente, dizemos que essa função tem mínimo local em 
 se existir 
 tal que 
 para todo 
. Observe que, nessas definições, 
 deve estar no interior do intervalo 
. (veja próxima ilustração)
Observação: o valor de máximo absoluto de uma função contínua 
 definida em um intervalo fechado 
 é o maior dos valores dos seus máximos locais, ou então é igual a 
 ou 
.
Dessa observação, vemos que para encontrar os valores de máximo e de mínimo absolutos de uma função contínua definida em um intervalo fechado 
 devemos pesquisar esse valor entre todos os valores de máximo e de mínimo locais. Portanto, para responder a pergunta do início da aula, precisamos responder a seguinte questão:
Pergunta: como determinar os valores de máximo e de mínimo locais?
A próxima figura ilustra uma vizinhança de um máximo e de um mínimo local de uma função derivável 
.
Na figura anterior, aparentemente nos pontos de máximo e de mínimo locais as retas tangentes são horizontais e, portanto tem inclinação igual à zero. Isso implica que no ponto de máximo 
 e no ponto de mínimo 
 a derivada da função é igual a zero: 
 e 
. De fato isso é verdade como está afirmado no próximo teorema.
�
Teorema de Fermat: se uma função 
 tiver um máximo ou mínimo local em 
 e 
 for derivável nesse ponto, então 
.
Observação: dependendo do desenvolvimento da aula, demonstrar esse resultado.
Observação: evidentemente, o teorema anterior não se aplica para funções que não possuem derivada em algum ponto. Por exemplo, a função modular 
 tem mínimo absoluto em 
 mas não tem reta tangente horizontal nesse ponto. Portanto, concluímos que num ponto de máximo ou mínimo local 
 ou não existe 
 ou, caso exista, o valor de 
 deve ser igual a zero. O próximo quadro resume essa conclusão:
Definição: um ponto crítico de uma função 
 é um número 
, no domínio de 
, tal que 
 ou 
 não existe.
Teorema: se uma função 
 tiver um máximo ou mínimo local em 
, então 
 é um ponto crítico de 
.
** CAUTELA ** O resultado anterior não afirma que num ponto crítico de uma função 
 existirá um máximo ou mínimo absoluto. Exemplo: se 
, então 
 é ponto crítico, mas não é ponto de máximo ou mínimo local.
Para concluir a discussão sobre a procura dos pontos de máximo e de mínimo absolutos de uma função contínua 
 definida num intervalo fechado 
 observamos, novamente, que ou esses pontos são máximos ou mínimos locais de 
, ou são extremos do intervalo de definição de 
.
Determinação de máximo e mínimo absolutos: seja 
 uma função contínua definida num intervalo fechado 
. Os valores de máximo e mínimo absolutos de 
 podem ser encontrados seguindo-se o seguinte roteiro:
1. encontre os valores 
 para todo ponto crítico 
 no intervalo aberto 
;
2. calcule os valores 
 e 
;
3. o maior valor encontrado nas etapas 1 e 2 é o máximo absoluto de 
. Por outro lado,
 o menor valor encontrado nas duas etapas anteriores é o mínimo absoluto de 
.
Observação: esse procedimento funciona bem quando aplicado para funções contínuas num intervalo fechado 
 e que possuem apenas um número finito de pontos críticos no intervalo aberto 
.
�
Exemplos: em cada item, determine os valores de máximo e de mínimo absolutos da função dada no domínio dado.
(a) 
, 
 real.			(b) 
, para 
.
(c) 
, no intervalo 
.
COMO O SINAL DA DERIVADA AFETA O GRÁFICO DA FUNÇÃO:
Teste da Derivada Primeira
Nesta aula veremos que o sinal da deriva primeira de uma função 
 define o comportamento (crescente/decrescente) dessa função.
Teorema do Valor Médio: Seja 
 uma função contínua no intervalo fechado 
 e derivável no intervalo aberto 
. Então, existe pelo menos um 
 pertencente ao intervalo 
 tal que 
.
Observação: interpretar geometricamente esse resultado (figura abaixo) e, dependendo do desenvolvimento da aula, apresentar uma demonstração.
Exemplo 1 : Ilustrar o Teorema do Valor Médio para a função 
, definida no intervalo fechado 
.
Exemplo 2: Questionar porque o Teorema do Valor Médio não é satisfeito para a função 
, definida no intervalo fechado 
.
�
Definição: Uma função 
 é crescente num intervalo 
 se, para quaisquer pontos 
 e 
 em 
, a desigualdade 
 implicar em 
. Por outro lado, a função 
 é decrescente num intervalo 
 se, para quaisquer pontos 
 e 
 em 
, a desigualdade 
 implicar em 
.
Teste da derivada primeira: seja 
 uma função derivável em um intervalo aberto 
. Então:
( 
 é crescente em 
 se, e somente se, 
, para todo 
.
( 
 é decrescente em 
 se, e somente se, 
, para todo 
.
( 
 é constante em 
 se, e somente se, 
, para todo 
.
Observação: interpretar geometricamente esse resultado através do desenho de alguns gráficos e, dependendo do desenvolvimento da aula, demonstrar algum caso a partir do Teorema do Valor Médio.
Exemplo: determine os intervalos em que a função 
 é crescente e os intervalos em que ela é decrescente.
 
_1237056795.unknown
_1237057601.unknown
_1237058769.unknown
_1237059972.unknown
_1237060474.unknown
_1237061275.unknown
_1237061327.unknown
_1237640471.unknown
_1237101363/ole-[42, 4D, E6, 2E, 03, 00, 00, 00]
_1237061293.unknown
_1237061305.unknown
_1237060596.unknown
_1237060638.unknown
_1237061255.unknown
_1237060781.unknown
_1237060597.unknown
_1237060599.unknown
_1237060497.unknown
_1237060541.unknown
_1237060542.unknown
_1237060539.unknown
_1237060486.unknown
_1237060260.unknown
_1237060306.unknown
_1237060441.unknown
_1237060461.unknown
_1237060390.unknown
_1237060270.unknown
_1237060286.unknown
_1237060194.unknown
_1237060207.unknown
_1237060219.unknown
_1237060039.unknown
_1237060015.unknown
_1237059047.unknown
_1237059726.unknown
_1237059955.unknown
_1237059095.unknown
_1237059010.unknown
_1237059027.unknown
_1237058993.unknown
_1237058421.unknown
_1237058515.unknown
_1237058604.unknown
_1237058762.unknown
_1237058522.unknown
_1237058603.unknown
_1237058475.unknown
_1237058485.unknown
_1237058458.unknown
_1237058139.unknown
_1237058196.unknown
_1237058385.unknown
_1237058182.unknown
_1237057859.unknown
_1237058015.unknown
_1237058099.unknown
_1237058046.unknown
_1237057995.unknown
_1237057820.unknown
_1237057844.unknown
_1237057611.unknown
_1237057032.unknown
_1237057472.unknown
_1237057529.unknown
_1237057536.unknown
_1237057519.unknown
_1237057388.unknown
_1237057457.unknown
_1237057043.unknown
_1237056849.unknown
_1237057000.unknown
_1237057025.unknown
_1237056860.unknown
_1237056828.unknown
_1234645136.unknown
_1237036599.unknown
_1237036632.unknown_1237054389.unknown
_1237056166.unknown
_1237036734.unknown
_1237039919.unknown
_1237036609.unknown
_1237036588.unknown
_1234645137.unknown
_1237036576.unknown
_1234645069.unknown
_1234645094.unknown
_1234645134.unknown
_1234645135.unknown
_1234645115.unknown
_1234645081.unknown
_1219249437.unknown
_1234645061.unknown
_1219248005.unknown