2aProva_1455_1_GAAL

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
1o. Semestre de 2003 – 2a. Prova
01/07/03 – 14:55-16:35
Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1: Encontre o vetor v que satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
(i) v e´ ortogonal a` reta x− 1 = y + 2 = 8− z;
(ii) os vetores v, (1, 0,−1), (0,−1, 0) sa˜o coplanares;
(iii) ‖v‖ = √8;
(iv) v faz um aˆngulo obtuso com o vetor-direc¸a˜o da reta (x, y, z) = (20 + t, 13− 4t,−11 + 2t).
Questa˜o 2: Dados os planos pi1 : x − y + z = 0 e pi2 : x + y − z = 4, determine uma equac¸a˜o
parame´trica para o plano pi que conte´m a intersec¸a˜o destes dois planos e e´ ortogonal ao vetor
(1, 1,−1).
Questa˜o 3: Considere as retas r e s dadas pelas equac¸o˜es:
r : x =
y
2
= z s :

x = 4 + t
y = −2 + 2t
z = 4 + t
.
Ache a equac¸a˜o da reta ` paralela a r e s, contida no plano σ : x− z = 2 e que seja equ¨idistante de
r e s.
Questa˜o 4: Prove que
[A× (B × C)] + [B × (C ×A)] + [C × (A×B)] = 0.
Obtenha a partir da´ı uma condic¸a˜o simples para que o produto vetorial entre treˆs vetores A,B,C
seja associativo.
(Sugesta˜o: Use a fo´rmula do produto vetorial triplo: U × (V ×W ) = (U ·W )V − (U · V )W .)
A correc¸a˜o da prova sera´ colocada no site oficial de GAAL: http://www.mat.ufmg.br/gaal