MAT cap6v01

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MÓDULO VI: Produtos Notáveis e Fatoração (Aula 1)
Produtos Notáveis
Multiplicação de Polinômios. Esta operação também é chamada de produto e seus
termos recebem o nome de fatores.
Exemplo. Resolva (a+b)⋅(a+b) .
Resolução: 
1ª Etapa: Aplicação da propriedade distributiva (Multiplica-se cada termo do 
primeiro polinômio por todos os termos do segundo). 
(a+b)⋅(a+b)=a ²+ab+ab+b ²
2ª Etapa: Redução dos termos semelhantes (Dois ou mais termos são 
semelhantes quando possuem a mesma parte literal - letras).
(a+b)⋅(a+b)=a ²+ab+ab+b ²=a ²+2ab+b ²
Como os polinômios desta multiplicação são iguais, é possível reescrevê-la da 
seguinte forma:
(a+b)⋅(a+b)=a ²+2ab+b ²
Algumas multiplicações envolvendo polinômios apresentam certa regularidade, ou
seja, um padrão em seus resultados. A partir dessa característica foi criada uma série de
regras práticas para simplificar o desenvolvimento das operações e economizar tempo
nas suas resoluções. Além disso, esses produtos aparecem frequentemente nos cálculos
algébricos, por isso, são chamados de produtos notáveis.
Cálculo de Produtos Notáveis
Aqui serão apresentados os cinco principais casos de produtos notáveis.
1º Caso. Quadrado da Soma de Dois Termos. É uma expressão do tipo (a+b)²
onde a é o primeiro termo e b é o segundo termo.
Regra prática: Deve-se calcular o quadrado do 1º termo, mais o dobro do produto
do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do 2º termo.
(a+b)2=a ²+2ab+b ²
Exemplo. Calcule (2 x+3)².
Resolução: (2 x+3)²=(2 x)²+2⋅2 x⋅3+3²=4 x ²+12 x+9 .
 
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Observação:
• O cálculo deste produto através da propriedade distributiva requer mais etapas, 
pois além das multiplicações, ainda é necessário reduzir os termos semelhantes.
(2 x+3)²=(2 x+3)⋅(2 x+3)=4 x ²+6 x+6 x+9=4 x ²+12 x+9
2º Caso. Quadrado da Diferença de Dois Termos. É uma expressão do tipo
(a−b)² onde a é o primeiro termo e b é o segundo termo.
Regra prática: Deve-se calcular o quadrado do 1º termo, menos o dobro do produto
do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do 2º termo.
(a−b)²=a ²−2ab+b ²
Exemplo. Calcule (3a−5)² .
(3a−5)² = (3a)²−2⋅3a⋅5+5² = 9a ²−30 a+25
3º Caso. Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos. É uma expressão do
tipo (a+b)⋅(a−b) , onde a é o primeiro termo e b é o segundo termo.
Regra prática: Deve-se calcular o quadrado do 1º termo menos o quadrado do 2º
termo.
(a+b)⋅(a−b) = a ²−b ²
Exemplo. Calcule (x+4)⋅(x−4) .
(x+4)⋅( x−4) = ( x)²−(4)² = x ²−16
4º Caso. Cubo da Soma de Dois Termos. É uma expressão do tipo (a+b)³ , onde
a é o primeiro termo e b é o segundo termo.
Regra prática: Deve-se calcular o cubo do 1º termo, mais o triplo do produto do
quadrado do 1º termo pelo 2º termo, mais o triplo do produto do 1º termo pelo
quadrado do 2º termo, mais o cubo do 2º termo.
(a+b)³ = a ³+3a ²b+3ab ²+b ³
Exemplo. Calcule (2a+b)³.
(2a+b)³ = (2a) ³+3⋅(2a)²⋅b+3⋅2a⋅b2+b3 = 8 a3+12a ²b+6ab ²+b ³
 
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Observação:
• Nos produtos 3⋅(2a)2⋅b e 3⋅2a⋅b2+b3 deve-se resolver as potências primeiro.
5º caso. Cubo da Diferença de Dois Termos. É uma expressão do tipo (a−b)3 ,
onde a é o primeiro termo e b é o segundo termo.
Regra prática: Deve-se calcular o cubo do 1º termo, menos o triplo do produto do
quadrado do 1º termo pelo 2º termo, mais o triplo do produto do 1º termo pelo
quadrado do 2º termo, menos o cubo do 2º termo.
(a−b)3 = a ³−3a ² b+3ab2−b3
Exemplo. Calcule (3 x−a)3 .
(3 x−a)3 = (3 x)³−3⋅(3 x)²⋅a+3⋅3 x⋅a ²−(a)3 = 27 x ³−27 x ²a+9 xa ²−a3
EXERCÍCIOS
Sequência A
1. Desenvolver o quadrado dos binômios:
a) (x+ y )2 b) ( p−q)2 
c) (x+2 y)2 d) (3a+b)2
e) (2 x−3 y )2 f) (x+1)2
g) (a−6)2 h) (4 pq−3q)2
i) (6 x ² y+2 x)2 j) (9 x ²−7 y ²)2
2. Calcule o produto da soma pela diferença de binômios:
a) (u−v)(u+v) b) (x+2 y)(x−2 y ) 
c) (2 x+3 y)(2 x−3 y ) d) (3a−b)(3a+b)
e) (5 x ²−3 y)(5 x ²+3 y) f) (2 x−3 xy)(2 x+3 xy)
g) (6 a+1)(6a−1) h) (9m²−3n)(9m²+3n)
i) (−4a ² b+5b)(4 a ²b+5b) j) (−6m ² n ³−7n)(−6m ² n ³+7n)
3. Calcule os seguintes produtos (cubo de binômio):
a) (a+b)³ b) (p−q) ³
c) (x+2)3 d) (a−3)3
e) (t+4)3 f) (2−a)3
g) (2a−b)3 h) (3a−5b)3
i) (2 x+3 y)3 j) (1−3 y )3
 
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4. Chama-se produto de Stèvin o produto de dois binômios com um termo comum. O 
modelo de desenvolvimento é: (x+a)(x+b) = x ²+(a+b)x+ab. Note que o termo do 
meio no trinômio resultante é a soma dos segundos termos dos binômios (a+b), 
enquanto que o terceiro termo do trinômio é o produto ab. Calcule os seguintes 
produtos:
a) (a+2)(a+3) b) (x+5)(x+4)
c) (t+2)(t−3) d) (x−8)(x−1) 
e) (x+2)(x−12) f) (x−4)(x−6)
g) (x−13)(x+2) h) (x ²+5)(x ²+3)
i) (2b+5)(2b+9) j) (2a+3b)(2a+5b)
Sequência B
Nesta sequência os diversos tipos de produtos notáveis aparecem aleatoriamente. Você
deve ser capaz de identificar qual a regra a ser aplicada.
1. Desenvolver os produtos notáveis:
a) ( 2x3 +3 xy2 )
2
 b) (3 p
4
+3q)( 3 p
4
+q)
c) (2+3 t )3 d) (15 x ² y−3 xy ² z ⁶) ²
e) (b ²−1
2
)(b ²+ 1
2
) f) (23 a−13 b)
3
g) (x+ y )2+(x− y)2 h) (2 t−3a2)3
i) (2a
3
−5b)(2a
3
+5b) j) (1+a)(1−a)−(1−2a)(1+2a)
2. Desenvolver os produtos notáveis:
a) (2 x2−x3)3 b) (11 x−5 y) ²−(13 x+3 y )²+(x−2 y)² 
c) (3a ²−2b)(3a ²−5b) d) (0,05 x12−2)(0,05 x12+2)
e) (0,1n−1
5
n)
3
f) (3m ²− 1
m
)
2
g) (3 i−1
a
)(3i+ 1
a
) h) (4a ² b−3a)(4 a ²b+9a)
i) (2 p+ q
4
)(2 p−q
4
) j) (x+2) ²+(x−1)²
 
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3. Calcule os seguintes produtos:
a) ( a
4
−2b)( a
4
−6b) b) (3 x2 +2 y3 − x4 + y2 )
2
c) (0,3 x ² y−z)(0,3 x ² y+z ) d) ( x
2
+ y
2
)
4
 
e) (c−1) ²−(2 c+4)(2 c−4) f) (3a
5
−5b)(3a
5
+8b)
g) (2 x−2+x−3 y−3)2 h) [( x2−2 x)+(2 x−3)]2
i) (i+1)(i−1)−(i+3)(i+5) j) (a+b+1)(a+b−1)
4. Calcule os seguintes produtos:
a) (x+3 y+2 z)(x−3 y+2 z) b) (a+b−c)(a−b+c )
c) (2 x ³ ym+3 x2 y)2 d) (1
2
x−1 y ²−2 x)
2
e) (a+b)(a ²−ab+b ²) f) [(0,333...)x3−3 y
1
2 ]2
g) (xm+2 y ³ ) ³ h) (x− y)(x ²+xy+ y ²)
i) (x ²−2)(x ⁴+2 x ²+4) j) (0,5 x ² y−1−2 xy ²) ³
5. Desenvolva e simplifique: [(0,333...)x ⁴+6 x−2 y ³ ] ²
6. Efetue: 1
12
(3a ²−4 b)−(a−b) ²
7. Efetue as operações indicadas, simplificando ao máximo:
(x−3)(3−x)(x−3)+[(x+5)(x−3)−5(2 x ²−5 x−3)]−(27−x ³)
8. Desenvolva e simplifique:
(x ² y ²+x ²+ y ²)²−(x ²+ y ²) ²−x ² y ² (x ²+ y ² )
9. Quanto devemos subtrair de (a−2)3 para obter (a+3)3?
10. Qual é o termo que se deve acrescentar à expressão x ⁴ y ²+ 1
4
para obter o quadrado 
de x ² y+ 1
2
?
▄
 
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MÓDULO VI: Produtos Notáveis e Fatoração (Aula 2)
Fatoração
O termo fatoração remete a um processo de transformação de um determinado
termo em um produto de fatores (termos da multiplicação). Desta forma, fatorar um
número ou uma expressão algébrica significa expressá-los como um produto. 
Fatoração Numérica. Consiste em decompor o número através de uma
multiplicação.
Exemplo. 30=2⋅3⋅5
Fatoração de Expressões Algébricas. Fatorar expressões algébricas significa
transformá-las em produtos de dois ou mais termos (expressões algébricas).
Casos de Fatoração
Aqui serão apresentados os quatro principais casos de fatoração.
1º Caso: Fator Comum em Evidência. Esta regra é aplicada quando existem um
ou mais fatores comuns a todos os termos da expressão. Assim, coloca-se o MDC
(Maior Divisor Comum) dos termos em evidência, isto é, os fatores comuns
elevados aos menores expoentes. 
Exemplo. Fatore 12 x ²+4 x ³−8 x ⁴ 
Resolução:
1ª Etapa: Determinação dos fatores comuns dos termos algébricos – este cálculo 
determina o primeiro termo da forma fatorada.
MDC dos coeficientes 4, 8 e 12:
4=2² ; 8=2³ ; e 12=2²⋅3 . Portanto, MDC (4,8,12)=2²=4
MDC da parte literal: MDC ( x ², x³, x ⁴)=x ² 
Assim, o fator comum em 12 x ²+4 x ³−8 x ⁴ é 4 x ² 
 
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Observação: Existem outras técnicas para o cálculo do MDC.
2ª Etapa: Determinação dos termos que ficarão entre parênteses. Deve-se, então,
dividir cada termo da expressão pelo fator em evidência – este cálculo determina 
o segundo termo da forma fatorada.
12 x ²
4 x ²
=3 4 x ³
4 x ²
=x −8 x ⁴
4 x ²
=−2 x ²
3ª Etapa: Organização da forma fatorada.
12 x ²+4 x ³−8 x ⁴ = 4 x ²⋅(3+ x−2 x ²)
2º Caso: Agrupamento. Esta regra é aplicada quando há evidenciações
sucessivas. O procedimento consiste em separar os termos em grupos para a
realização da técnica anterior (fator comum em evidência).
Exemplo. Fatore xy+xz+by+bz 
Resolução:
1ª Etapa: Divisão da expressão em dois grupos e fatoração por evidenciação de 
cada um deles.
1º grupo: xy+xz 
Fator comum (1º termo): x 
Divisões (2ª termo): xy
x
= y e xz
x
=z 
Logo: xy+xz = x⋅( y+z) 
2º grupo: by+bz 
Fator comum (1º termo): b 
Divisões (2º termo): by
b
= y e bz
b
=z 
Logo: by+bz = b⋅( y+z) 
Observação: Nas divisões de monômios, dividem-se os coeficientes numéricos e 
subtraem-se os expoentes das variáveis iguais. 
A expressão fica: xy+xz+by+bz = x⋅( y+z)+b⋅( y+z) 
 
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2ª Etapa: Nova fatoração por evidenciação entre as expressões fatoradas 
anteriormente.
Expressão: x⋅( y+z)+b⋅( y+z) 
Fator comum (1º termo): ( y+z) 
Divisões (2º termo): x⋅( y+z)
( y+z)
=x e 
b⋅( y+z)
( y+z)
=b 
Logo: x⋅( y+z)+b⋅( y+z) = ( y+z)⋅(x+b) 
3º Caso: Diferença de Quadrados. Esta regra é aplicada sempre que a expressão
é identificada como uma diferença entre dois quadrados perfeitos.
Exemplo. Fatorar x ²−9 
Resolução:
1ª Etapa: Determinação das raízes dos dois termos.
√ x ²=x e √9=3
2ª Etapa: Organização da forma fatorada através da seguinte expressão: produto 
da soma pela diferença entre as raízes encontradas na etapa anterior.
x ²−9 = (x+3)⋅( x−3)
4º Caso: Trinômio Quadrado Perfeito. Esta regra é aplicada sempre que a
expressão é identificada como um trinômio onde dois termos são quadrados
perfeitos e o outro termo representa o dobro do produto das raízes dos quadrados
perfeitos.
Exemplo. Fatore 4 x ²+4 xy+ y ² 
Resolução:
1ª Etapa: Determinação das raízes dos dois termos quadrados perfeitos.
√4 x ²=2 x e √ y2= y
Verificação do outro termo: 4 xy = 2⋅2 x⋅y 
Fique Atento!
Para a representação da forma fatorada do trinômio quadrado perfeito não é 
necessário fazer a verificação indicada na primeira etapa do cálculo. No entanto, 
existe outra técnica para fatoração de trinômios e outras expressões deste tipo 
não podem ser fatoradas. Por isso, a verificação proposta é importante. 
 
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2ª Etapa: Organização da forma fatorada através da seguinte expressão: quadrado da 
soma das raízes encontradas na etapa anterior.
4 x ²+4 xy+ y ² = (2 x+ y)²
Observação: Se a expressão for 4 x ²−4 xy+ y ² , ou seja, o termo que 
representa o dobro do produto das raízes, for negativo, a forma fatorada será:
4 x ²−4 xy+ y ² = (2 x− y) ²
EXERCÍCIOS
Atenção: entre os exercícios poderá aparecer mais dois casos importantes de fatoração: a
soma de cubos e a diferença de cubos. Veja os modelos de ambos:
Soma de cubos: a ³+b ³ = (a+b)(a ²−ab+b ² )
Diferença de cubos: a ³−b ³ = (a−b)(a ²+ab+b ²)
Sequência A
1. Fatorar as expressões:
a) 2mx−4my b) 18 x2 y3−12 x 4 y5+15 xv2 z
c) 4
9
x4 y2 z3− 6
15
x3 y 4 z+ 2
12
x2 y4 z5 d) 4 x4+12 x2+9
e) 9 x2−12 x2 y+4 x2 y2 f) mx+my−nx−ny
g) 3 x3+9 x2+2 x2 y+6 xy h) x
2
9
+ xy
3
+ y
2
4
i) 16 x 4−40 x2 y+25 y2 j) 25 x 4−49 y6
2. Obtenha todos os fatores das expressões abaixo:
a) x ²+xy b) 2+4 x
c) 15a ³b ⁵+10a ² b ⁴ c−60 a ⁵b ⁴ c ² d) a(x+1)+b(x+1)
e) x ²−64 f) 1−a14
g) (a+b)²−c ² h) a ²−(b−c)²
i) a ³−1 j) 8 x ³+ y ³
 
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Sequência B
1. Fatorar cada um dos polinômios abaixo:
a) 6 y ⁶−4 y ⁵+2 y ⁴−8 y ² b) −10 r ³ s ² t ⁴−20 r ³ s ² t ³+5 r ² s ⁴ t ⁴
c) 3 x ²+7 x−6 xy−14 y d) 2 xy+8 x+3 y+12
e) 5 xz−5 yz−x+ y f) x ²+2 xy+ y ²−1
g) x ²− y ²+x− y h) 16 a ²−8ab+b ²−c ²+6 c−9
i) 2⁴ st−8 st ²−90 s j) 9u ²−49 v ²
2. Escreva todos os fatores de:
a) x ³+ y ³ b) x ³−y ³
c) 4 x ²−1 d) x ³−8
e) 25 a ⁴−36b ⁸ f) a ³−b ³−a+b
g) x ⁶−64 h) x ⁶−16 x ³+64
i) 16 t ²+40 t+25 j) 9 x ²+24 xy+16 y ²
3. Fatorar:
a) 9 x ²−24 xy+16 y ² b) x ²+3 x−28
c) x2 n−y4 n , (n ∈ ℕ) d) x2 n+xn+2 ,(n∈ℕ)
e) 8−b ³ f) 125 x ³+ y ⁹
g) a3m+1, (m ∈ ℕ) h) 2ab−3ac−2 yb+3 cy
i) a ²−b ²+a+b j) a ²+2ab+b ²+a+b
4. Fatorar cada uma das expressões abaixo:
a) (a−3)³−27 b ³ b) 81c ⁴−d ⁴
c) t ⁶−1 d) x ⁶−9 x ³+8
e) y ⁸−5 y ⁴+4 f) a ³+1+a ²+a
g) 64 x ⁶− y ⁶ h) x12−2 x ⁶+1
i) abx+acx−bcy−aby+bcx−acy j) xy−vy+xz+wy+wz−vz
k) 64 a6 n−b6 n l) x8 n−16 y4 n
 
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5. Decomponha em um produto de fatores de primeiro grau a expressão:
x ³+x ²−x−1
6. Decomponha em um produto de fatores de primeiro grau a expressão:
x−xy−1+ y ²
7. Decomponha em um produto de fatores de primeiro grau a expressão:
a(a−1)−b(b+1)
8. Decomponha em um produto de fatores de primeiro grau a expressão:
x ²−2 xy+ y ²−a ²
9. Decomponha em um produto de fatores de primeiro grau a expressão:
x ²− y ²+2 yz−z ²
10. Fatorar 4 a ²+9b ²−25−12 ab
11. Fatorar os seguintes polinômios:
a) a ²+6a−7 b) x ⁴−2 x ³+ x ²−8 x+8
12. Fatorar 4 a ²−4 ax−15 x ²
13. Fatorar x ⁴−3 x ³−7 x ²+27 x−18
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Referências: 
• BEZERRA, Manoel Jairo; Questões de Matemática. – 2. ed. – São Paulo : Companhia 
Editora Nacional, 1972.
• LEITHOLD, Louis; Álgebra y Trigonometría com Geometría Analítica. – 2. ed. – México D.F.
: Oxford University Press, 1994.
• CAMPOS, Ximena; SCHMIDT, Ximena. Álgebra Arrayán. – 2. ed. – Santiago de Chile :
Arrayán, 2006
 
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