Unidade 9 Discos que Giram à Grande Velocidade

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Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 
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9. DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE 
GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 
 
 OBJETIVOS: 
 
 - Definir volantes. 
 - Determinar a força de inércia. 
 - Determinar as expressões para cálculo das tensões radiais e 
 circunferenciais em discos que giram à grande velocidade. 
 - Determinar o aumento do raio em discos em rotação. 
 - Determinar as tensões em discos em rotação com interferência inicial. 
 
 
9.1 - DETERMINAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES RADIAIS E 
CIRCUNFERENCIAIS EM UM DISCO DE ESPESSURA CONSTANTE 
 
Disco sujeito a uma rotação uniforme ω , com pressões atuantes em suas faces 
interna e externa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 85 - Forças atuando em um elemento de um disco em rotação. 
 
Consideremos um elemento de um disco de raio r (Fig. 85). 
 
Considerando espessura unitária temos: 
 
volume do elemento: drdr1.dr.rd θθ = 
massa do elemento: drdr θρ 
força de inércia: drdrrdrdrrm 2222 θωρωθρω == 
ρ é a massa específica do material do disco. 
 
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Comentários sobre as forças da Fig. 85: 
 
1 - As forças σH.dr.1, são iguais em intensidade, pela simetria rotacional; mas 
não têm a mesma direção. Não dependem de θ, somente de r. 
2 - As forças radiais são diferentes por duas razões: primeira, as áreas são 
diferentes; segunda, as tensões são, provavelmente, diferentes. Estas forças também só 
dependem de r. 
3 - Como σH e σr só dependem de r, toda diferencial que aparece é total e não 
parcial. 
 
A equação de equilíbrio da estática, segundo a direção radial fornece: 
como dθ é pequeno, 
2
d
2
dsen θθ = radiano 
Simplificando: 
22r
rH .r.dr
d
r ωρσσσ =−− (9.1) 
 
) Se há um movimento radial ou deslocamento do elemento de uma quantidade “s”, quando o disco gira, a deformação radial elementar é dada por: 
 
( )Hrr E
1
dr
dsd υσσε −== (9.2) 
 
A deformação circunferencial no raio r é: 
 (9.3) 
 
 
 
Diferenciando: 
( ) 

 −+−=
dr
d
dr
d
E
r
E
1
dr
ds rH
rH
συσυσσ (9.4) 
 
Igualando (9.2) e (9.4) e simplificando: 
( )( ) 0
dr
d
r
dr
d
r1. rHrH =−++− συσυσσ (9.5) 
Substituindo (σH - σr) da equação (9.1), 
( ) ( ) dr.d..r.d.drr.dd.r.
2
dsen.dr..2 22rrrH θωρθσσθσθσ =++−+ 
( )
( )r.
E
1s
E
1
r
s
rH
rHH
υσσ
υσσε
−=
−==
 
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( )
( )υωρσσ
συσυωρσ
+−=+
=−++

 +
1.r
dr
d
dr
d
0
dr
d
r
dr
d
r1.r
dr
d
r
2rH
rH22r
 
Integrando, 
( ) A.21.
2
r 22
rH ++−=+ υωρσσ (9.6) 
onde 2A é a constante de integração conveniente. 
Subtraindo da equação (9.1), 
( )
( )
( ) ( )
( ) B
2
rA23.
8
rr
A23.
2
rrr
dr
d
r
dr
d.
r
1
dr
d
r2
A23.
2
r
dr
d
r2
224
r
2
22
r
2
r
2r
r
22
r
r
−++−=


 ++−=
=+
++−=+
υωρσ
υωρσ
σσσ
υωρσσ
 
onde -B é a segunda constante de integração conveniente. 
Assim: ( )
8
r.3
r
BA
22
2r
ρωυσ +−−= (9.7) 
e da equação (9.6): 
( )
8
r.31
r
BA
22
2H
ρωυ+−+=σ (9.8) 
 
 
9.2 - CASO PARTICULAR DE UM DISCO SÓLIDO 
 
Para um disco sólido, a pressão no centro é dada para r = 0. 
 
) Para r igual a zero, as equações acima fornecerão valores infinitos para as tensões, a menos que B seja nulo. Isto é B = 0; e então B/r2 = 0 que dá a única solução finita. 
 
Para o raio externo R a tensão radial deve ser zero desde que não existem 
forças externas aplicadas. 
Deste modo, da equação (9.7), 
( )
( )
8
R.3A
8
R.3A0
22
22
r
ρωυ
ρωυσ
+=
+−==
 
Substituindo nas equações (9.7) e (9.8), as tensões radial e circunferencial a um 
raio r, em um disco sólido, são dadas por: 
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 (9.9) 
 
 (9.10) 
 
 
Tensões máximas: 
 
) No centro do disco, onde r = 0, as equações acima produzirão valores máximos para as tensões radiais e circunferenciais que serão as tensões máximas no disco e iguais 
à: 
 
( )
8
R.3
22
rH máxmáx
ρωυσσ +== (9.11) 
Na face externa do disco, onde r = R, as equações fornecem: 
( )
4
R.1;0
22
Hr
ρωυσσ −== (9.12) 
A distribuição completa das tensões radiais e circunferenciais, através do raio 
do disco, está indicada na Fig. 86. 
 
 
Figura 86 - Distribuição das tensões em um disco sólido em rotação. 
 
 
9.3 - DISCOS EM ROTAÇÃO COM FURO CENTRAL 
 
As equações gerais de tensões para um anel em rotação podem ser obtidas do 
mesmo modo que aquelas para um disco sólido em rotação: 
 
( )
( )
8
r.31
r
BA
8
r.3
r
BA
22
2H
22
2r
ρωυσ
ρωυσ
+−+=
+−−=
 
Supondo o disco somente em rotação, sem pressão interna ou externa, as 
condições de contorno requeridas podem ser substituídas simultaneamente para determinar os 
valores apropriados para as constantes A e B. 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )2222222r
22
22222
H
rR.
8
.3
8
r3
8
R.3
r.31R.3
88
r31
8
R.3
−ρωυ+=ρωυ+−ρωυ+=σ
υ+−υ+ρω=ρωυ+−ρωυ+=σ
 
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• Para r = R1, σr = 0 
( )
8
R.3
R
BA0
2
1
2
2
1
ρωυ+−−= 
• Para r = R2, σr = 0 
( )
8
R.3
R
BA0
2
2
2
2
2
ρωυ+−−= 
 
e, 
( )
( ) ( )
8
RR
.3A
8
RR
.3B
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
++=
+=
ωρυ
ωρυ
 
Substituindo: 
 
 (9.13) 
 
 (9.14) 
 
As tensões máximas ocorrem para r = R1: 
( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]21222212222212máxH R1R34R31RRR38 υυρωυυρωσ −++=+−+++= (9.15) 
Quando o valor do raio interno se aproxima de zero, a tensão circunferencial 
máxima aproxima-se de: 
( ) 22
2
máxH R34
υρωσ += 
isso é duas vezes o valor obtido no centro de um disco sólido em rotação, à mesma 
velocidade. Assim, a realização de um pequeno furo, no centro de um disco sólido, dobra o 
valor da máxima tensão circunferencial devido à própria rotação. 
 
Na face externa r = R2: 
( ) ( )[ ]22212mínH R1R34 υυρωσ −++= 
Tensão radial máxima: 
( ) 

 −−++= 22
2
2
2
12
2
2
1
2
r rr
RR
RR
8
.3 ρωυσ 
quando 0
dr
d r =σ , 
 
 
( )
( ) ( ) 


 +−


 +++=


 −−++=
2
2
2
2
2
12
2
2
1
2
H
2
2
2
2
2
12
2
2
1
2
r
r31
r
RR
RR3
8
r
r
RR
RR
8
.3
υυρωσ
ρωυσ
 
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( )21
2
2
2
1
4
3
2
2
2
1
2
2
2
2
2
12
2
2
1
RRr
RRr
r2
r
2RR0
r
r
RR
RR
dr
d0
=
=
−=


 −−+=
 (9.16) 
 
Substituindo na equação original: 
 ( ) [ ] ( ) [ ]2122212122212máxr RR8.3RRRRRR8.3 −+=−−++= ρωυρωυσ (9.17) 
Figura 87 - Distribuição das tensões em um disco vazado em rotação 
 
 
9.4 - DISCO E EIXO ACOPLADOS COM INTERFERÊNCIA 
 
Os discos rotativos possuem um furo central circular para permitir a sua 
montagem, com interferência, em um eixo. A pressão de interferência gerada pela montagem 
deve ser suficiente para que o disco não se solte do eixo durante o movimento de rotação e 
não deve ser muito elevada para não criar grandes tensões no disco.No instante do acoplamento disco-eixo sob pressão, a velocidade de rotação é 
nula e o conjunto comporta-se como um cilindro composto em que o cilindro interior é o eixo 
e o exterior o disco. A montagem pode-se realizar com o aquecimento do disco. A 
interferência radial será a diferença entre o raio do eixo e o raio interno do disco. Como o 
conjunto é tratado como um cilindro composto (ω = 0) pode-se calcular a pressão de contato 
conhecendo-se a interferência radial. 
Quando o disco acoplado com interferência contra o eixo ficar solto no eixo, o 
que ocorre a uma velocidade particular “ω” deixa de haver interferência. Isto corresponde a 
anular a pressão de contato inicialmente estabelecida pelo ajuste. 
 
 
9.5 - TENSÕES COMBINADAS DE ROTAÇÃO E TÉRMICA EM DISCOS UNIFORMES E 
CILINDROS ESPESSOS 
 
Se um componente é livre de expandir-se e sua temperatura varia 
uniformemente, a expansão ocorre sem o aparecimento de tensões térmicas. No caso de discos 
sujeitos a gradientes térmicos, uma parte do material tende a expandir-se mais rapidamente do 
Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 
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que a outra experimentando, cada uma, diferença de temperatura e como resultado são 
desenvolvidas tensões térmicas. 
Suponhamos um disco, inicialmente sem tensão, sujeito a uma variação de 
temperatura, T, a uma rotação uniforme, ω, com pressões atuando em suas faces interna e 
externa. seja R1 e R2 seus raios interno e externo, Fig. 88. Imaginemos um elemento deste 
disco, de raio genérico r, espessura dr e largura unitária, formado pelo ângulo central dθ, Fig. 
89. As tensões radiais e circunferenciais e a força de inércia foram estabelecidas neste 
elemento. A força de inércia aparece devido ao movimento do disco. Sua presença permite 
considerarmos o mesmo em estado de equilíbrio instantâneo (princípio de D’Alembert). 
 
Calculemos estas forças: 
 
 
 
 Figura 88 Figura 89 
 
 
Força de inércia = volume x massa específica x aceleração 
F = ( )( ) drdrrdr1rd 222 θρωωρθ = 
força radial na face interna = 1rdr θσ 
força radial na face externa = ( )( ) 1ddrrd rr θσσ ++ 
força circunferencial =σ Hdr1 
 
Comentários sobre as forças: 
 
As forças circunferenciais são iguais em intensidade pela simetria rotacional, 
mas não têm a mesma direção. Não dependem de θ mas de r. Elas são iguais através da 
espessura dr. 
 
As forças radiais nas faces interna e externa são diferentes pois as áreas 
também o são e as tensões são, provavelmente, diferentes. Elas dependem somente de r. 
 
Como todas as forças dependem somente de r, toda equação diferencial que 
aparece é total e não parcial. 
 
Estabeleçamos a equação de equilíbrio da estática na direção Y: 
ΣFY=0 
 
 
Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 
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( )( ) 0drdr ddrrdrd
2
ddr2 22rrrH =−++−+ θωρθσσθσθσ sen 
como dθ é pequeno e expresso em radianos então sen(dθ/2) = dθ/2, em radianos. 
 
Simplificando dθ e desprezando o produto de infinitésimos: 
σ σ σ ρ ωH r rr ddr− − = r
2 2 (9.18) 
Como ocorre um movimento radial (ou deslocamento do elemento de uma 
quantidade “s”) quando o disco gira, a deformação radial será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 90 
 
 
( )[ ]ε σ νσ αr r Hdsdr E E= = − +1 T (9.19) 
onde o termo EαT é a tensão térmica. 
 
α é o coeficiente de dilatação térmica linear do material do disco. 
E é o módulo de elasticidade. 
ν é o coeficiente de Poisson. 
T variação de temperatura. 
 
A deformação circunferencial é: 
( )[ ]ε σ νσ αH H rsr E E= = − +1 T (9.20) 
 
Diferenciando (9.20) e igualando com (9.19), pois, a deformação radial é igual 
à circunferencial, temos: 
( )ds
dr E
E r d
dr
d
dr
E dT
drH r
H r= − + + − +






1 σ νσ α σ ν σ α T (9.21) 
 
A função que fornece a variação da temperatura com o raio “r” deve ser 
conhecida (função T). 
Igualando (9.19) e (9.21) e simplificando: 
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 ( )( )σ σ ν σ ν σ αH r Hr ddr− + + − + =1 0 r
d
dr
Er dT
dr
r (9.22) 
Substituindo o valor de σH-σr da equação (9.18) em (9.22) temos: 
( )1 02+ +  + − + =ν σ ρω σ ν σ αr ddr r
d
dr
r H r r d
dr
 Er dT
dr
2 r 
( )d
dr
d
dr
r E dT
dr
H rσ σ ν ρω α+ = − + −1 2 
 
integrando: 
( ) 2A+T E
2
r1
22
rH αρωνσσ −+−=+ (9.23) 
onde 2A é a constante de integração conveniente. 
(9.23) - (9.18) fornece: 
( ) 2A+T E
2
r3
dr
d
r2
22
r
r αρωνσσ −+−=+ 
Mas: 
( )1 22r ddr r r ddrr r rσ σ σ= + 
 
Logo: 
( ) ( ) 2A+T E
2
r3r
dr
d
r
1 22
r
2 αρωνσ −+−= 
 
integrando: 
 ( )r E Trdr Ar Br2 2 28 3
2
2
σ ρω ν α= − + − + −∫r 4 
onde -B é a constante de integração. 
 
Calculando σr: 
( )σ ν ρω αr A Br
r E
r
Trdr= − − + − ∫2 2 2 23 8 (9.24) 
 
Eliminando σr em (9.23) e (9.24) calculamos σH: 
( )σ ν ρω α αH A Br
r E Trdr= + − + − ∫2 2 21 3 8 T + Er 2 (9.25) 
 
As equações (9.24) e (9.25) fornecem as variações das tensões radiais e 
circunferenciais, em função de “r”, para discos de espessura constante sob pressão, rotação e 
variação de temperatura. 
 
 
 
 
Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 
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Observemos que: 
σ r A Br= − 2 é a equação de Lamé, para a tensão radial, aplicada à cilindros 
de parede espessa sob pressão (interna e ou externa). 
 
( )σ ν ρωr A Br
r= − − +


2
2 2
3
8
 
permite o cálculo de σr para discos em rotação sob temperatura constante. O 
termo entre colchetes aparece como conseqüência da rotação do disco. 
 
( )σ ν ρω αr A Br
r E
r
Trdr= − − + − 

∫2
2 2
23 8
 
permite o cálculo de σr para discos em rotação sob variação de temperatura. O 
termo entre colchetes aparece como resultado da variação de temperatura. 
 
Análise idêntica pode ser feita para o cálculo da tensão circunferencial. 
A solução de (9.24) e (9.25) é conseguida quando se conhece a relação de T 
com r, ou seja, de que forma a temperatura varia através do raio do disco. 
Devido ao processo como (9.24) e (9.25) foram deduzidas, os efeitos devido a 
pressão, rotação e térmico podem ser considerados simultaneamente e os valores de A e B são 
encontrados pelas condições de contorno. 
Para uma variação de temperatura de forma linear de T = 0, para r = 0, ou seja, 
se: 
T = kr, então, se não houver rotação: 
σ αr A Br
E= − −2 kr3 (9.26) 
σ αH A Br
E= + +2 2 kr3 (9.27) 
 
Nas aplicações práticas onde a temperatura é mais elevada na parte interna do 
disco de parede espessa do que na parte externa, as tensões térmicas são positivas na 
superfície externa e de compressão na interna. Este fato é considerado como favorável nas 
aplicações em cilindros de parede espessa sob pressão interna, pois tende a reduzir as tensões 
de tração elevadas na superfície interna provocadas pela pressão interna. 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
DEN HARTOG, J. P., Advanced Strength of Materials, McGraw-Hill Book 
Company, U.S.A., 1952. 
 
HEARN, E. J., Mechanics of Materials, 1ª ed., Pergamon Press Ltd., Gt. Britain 
(Page Bros. Ltd., Norwich). 
 
FEODOSIEV, V. I., Resistencia de Materiales, Editorial Mir, Moscou, 1992. 
 
Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
¾ Exercício 9.1 
 
Determinar a tensão circunferencial no raio interno e externo de um disco de 
aço de 300 mm de diâmetro, tendo um furocentral de 100 mm de diâmetro, sabendo-se que é 
feito para rodar a 5000 rpm. Qual é a posição e a intensidade da máxima tensão radial? 
 
Dados: 
Massa específica do aço: 7470 kg/m3 
Coeficiente de Poisson: 0,3 
Módulo de elasticidade: 208 GN/m2 
 
Solução: 
R1 = 50 mm; R2 = 150 mm; s/rad52430
n. == πω 
( ) ( ) 


 +−


 +++= 22
2
2
2
12
2
2
1
2
H r.31r
R.R
RR.3
8
υυρωσ 
( ) ( )[ ]2222250H 05,0.9,115,015,005,0.3,38524.7470 −++=σ 
250
H m/MN39=σ ; 2150H m/MN11=σ 
m087,0R.Rr 21 == ; 287H m/MN24=σ 
( ) 


 −−++= 22
2
2
2
12
2
2
1
2
r r.r
R.R
RR
8
3 ρωυσ ; 287r m/MN4,8=σ 
• Para r = 50 mm ⇒ 0,m/MN39 3221 === σσσ 
• Para r = 87 mm ⇒ 0em/MN4,8,m/MN24 32221 === σσσ 
• Para r = 150 mm ⇒ 0,m/MN11 3221 === σσσ 
31
max
eq σσσ −= ⇒ σeqmax = 39 MN / m2 (r = 50 mm) 
• Cálculo de ∆R = s na face interna: 
( ) ( ) 69
3
rH 10.0.3,03910.208
10.50s.
E
1
R
s −=∴−=
−
συσ 
s = 9,4.10 –6 m ⇒ s = 9,4.10 –3 mm 
 
 
Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 
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¾ Exercício 9.2 
 
Um disco sólido de aço, de 300 mm de diâmetro e de espessura constante, tem 
um anel de aço de 450 mm de diâmetro externo e mesma espessura acoplado a ele. Se a 
tensão de interferência é reduzida a zero quando a velocidade de rotação atinge 3000 rpm, 
calcular: 
a) a pressão radial na interface, quando parado. 
b) a diferença de diâmetro entre as superfícies acasaladas, disco e anel, antes 
da montagem. 
 
Dados: 
Massa específica do aço: 7470 kg/m3 
Coeficiente de Poisson: 0,3 
Módulo de elasticidade: 207 GN/m2 
 
Solução: (à 3000 rpm anel e eixo giram sem interferência) 
Aumento do raio do eixo: 
( ) ( )[ ]222H r.31R.38 υυρωσ +−+= 
[ ] 26222150H m/N10.9,215,0.9,115,0.3,38314.7470 =−=σ 
( ) 0;.
E
R.
E
Rs rHrHeixo ==−= σσσυσ 
m10.1,210.9,2.
10.207
15,0s 669eixo
−== 
Aumento do raio interno do anel: 
( ) ( ) 


 +−


 +++= 22
2
2
2
12
2
2
1
2
H r.31r
R.R
RR.3
8
υυρωσ 
( ) ( )[ ] 262222150H m/N10.7,3315,0.9,12.225,015,0.3,38314.7470 =−+=σ 
)0(m10.4,210.7,33.
10.207
15,0s r
56
9anel === − σ 
interferência radial = (R1 + sanel) – (R + seixo); (R1 = R) 
interferência radial = 2,4.10 –5 – 2,1.10 –6 = 2,19.10 –5 m 
interferência diametral = (2,19.10 –5).2 = 4,38.10 –5 m 
Pressão de contato: ( )Hi0H5i0 E
R10.19,2 σσδδ −==+ − 
p6,2,p 0HHi =−= σσ ⇒ p).16,2(10.207
15,010.19,2 9
5 +=− 
p = 8,4 MN / m2 
Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 
Página 157 
 
¾ Exercício 9.3 
 
Um disco de aço de 3 in de raio interno e 15 in de raio externo, é acoplado 
contra um eixo, também de aço, e a interferência radial, quando parado, é de 0,003 in. Pede-
se: 
a) velocidade angular, w, para a qual a interferência desaparece como 
resultado da rotação. 
b) tensão circunferencial na face interna do disco com a velocidade acima. 
 
Dados: 
E = 30.106 lbf/in2 γ = 0,28 lbf/in3 
ν = 0,3 g = 386 in/s2 ρ = γ/g 
 
Solução: 
 
in003,0i0 =+ δδ , ρ = γ / g = 0,28 / 386 
Quando o conjunto girar à velocidade ω: 
sd - se = 0,003 in (d – disco; e – eixo) 
Cálculo de sd à velocidade ω - sem interferência: 
( ) ( ) 


 +−


 +++= 22
2
2
2
12
2
2
1
2
H r.31r
R.R
RR.3
8
υυρωσ 
( ) ( )[ ] 222223H 136,03.9,12.153.3,38.386.28,0 ωωσ =−+= 
2
6d 136,0.10.30
3s ω= 
Cálculo de se à velocidade ω - sem interferência: 
( )[ ] 223H 00114,09.9,19..3,38.386
.28,0 ωωσ =−= 
2
6e 00114,0.10.30
3s ω= 
003,0i0 =+ δδ = sd - se 
003,0)00114,0136,0.(
10.30
.3
6
2
=−ω 
ω ≅ 472 rad / s 
 
 
 
 
 
Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 
Página 158 
 
¾ Exercício 9.4 
 
Determinar a velocidade angular máxima, w, que um disco de aço de 150 mm 
de raio externo e 50mm de raio interno pode girar, sem escoar, sabendo-se que o material do 
disco possui: Syt = 500 MN/m2. Usar a teoria da máxima tensão tangencial e considerar o 
ponto mais perigoso como o ponto mais interno (r = R1). Trabalhar com quatro casas decimais 
após a vírgula. 
 
Dados: 
ρ = 7470 kg/m3 
ν = 0,3 
E = 207.109 N/m2 
 
Solução: 
 
Ponto mais perigoso ocorre para: 
0Rr
Rr
r1
max
H1
=⇒=
⇒=
σ
σ
 
( ) ( )[ ] 2222250H 93,14105,0.9,12.15,005,0.3,38.7470 ωωσ =−+= 
Ponto na face interna: 
0,3,141 32
2
1 === σσωσ 
62
31eq 10.50093,141 ==−= ωσσσ 
ω ≤ 1877 rad / s 
 
 
Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 
Página 159 
 
¾ Exercício 9.5 
 
Determinar a tensão circunferencial que aparece na face interna de um rotor 
com ranhuras, com as dimensões indicadas abaixo, quando ele gira a 1800 rpm. 
 
 
Dados: 
 
γ = 0,28 lbf/in3 
ν = 0,3 
g = 386 in/s2 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
r..
g
.dVa.dmdF 2n ωγ== 
θωγωγθ d.dr.r.
g
b..r..
g
.b.dr.d.rdF 2
2
2 == 
(b – largura do disco) 



 −== ∫ ∫ 3 1626g b...2d.dr.r.g b..F
33226
16
2
0
2
2 ωγπθωγ
π
 
2
332
in/lb7238
3
1626.
g.16
.
b.16.2
Fp =


 −== ωγπ 
8
r..).3(
r
BA
22
2r
ωρυσ +−−= 
σr = 0 para r = 4” 
σr = 7238 para r = 16” 
99956B0040A
9169B0630A
,,
,,
=−
=−
 
B = 0,17.106 ; A = 10620 
8
r..)..31(
r
BA
22
2H
ωρυσ +−+= 
8386
51881628091
16
1017010620
26
4
H .
,..,
.,., −+=σ 
σ H4 = 21139 lb / in2 
Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 
Página 160 
 
¾ Exercício 9.6 
 
Um pequeno disco de aço, inicialmente sem tensão, de raio interno 0,2m e 
externo 0,3m, é sujeito a uma distribuição de temperatura da forma T = a + b.ln(r), para 
assegurar fluxo constante de calor através da parede do cilindro. As tensões são dadas pelas 
fórmulas abaixo: 
( )σ
α
νr A
B
r
ET= − − −2 2 1 
( ) ( )σ
α
ν
α
νH A
B
r
E T E b= + − − − −2 2 1 2 1 
Se a temperatura na superfície interna e externa é mantida à 200ºC e 100ºC, 
respectivamente, determinar a máxima tensão circunferencial que acontece na parede do 
cilindro. 
Para o aço: 
E = 209 GN/m2, ν = 0,3, α = 11.10-6/ºC 
 
Solução: 
 
Cálculo de “b”. 
T = a + blnr 
200 = a + bln(0,2) 
100 = a + bln(0,1) 
b = -249 
αE/2(1-ν) =11.10-6 .209.109 /2.09 = 1,6.106 
Condições de contorno: 
Para r = 0,3, σr =0 e T = 100 
Para r = 0,2, σr =0 e T = 200 
B = -11,5.106 e A = 0,32.108 
Entrando com esses valores na expressão de σH temos: 
 
Tensão circ. na face interna = -180MN/m2 
Tensão circ. na face externa = 140MN/m2 
 
 
 
 
 
¾ Exercício 9.7 
 
Determine as expressões para as tensões radiais e circunferenciais 
desenvolvidas em um disco sem furo de raio R, quando sujeito à um gradiente térmico da 
forma: T = kr. 
Determine a posição e a intensidade das máximas tensões que ocorrem no 
disco de 150 mm de diâmetro quando a variação de temperatura é 150ºC. 
E = 206,8GN/m2, α = 12.10-6/ºC 
Usar as expressões (9.24) e (9.25). 
 
 
 
 
Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 
Página 161 
 
Solução: 
2 2
2 2
3
2
r H2 2
 , mas:
Trdr , a constante de integração será assimilada por A
3
logo :
 e 
3 3
r
H
B EA Trdr
r r
B EA Trdr ET
r r
rK r dr k
B EKr B EKrA A EKr
r r
ασ
ασ α
α ασ σ α
= − −
= + + −
= =
= − − = + + −
∫
∫
∫ ∫ 
Como as tensões no centro do disco não são infinitas (r=0) , B deve ser zero e 
B/r2 =0 . 
Outracondição: 
σr =0 para r =R. 
0 = A - αEKR/3 → A = αEKR/3 
Substituindo e simplificando: 
σr = αEK(R - r)/3 e σH = αEK(R - 2r)/3 
A variação das duas tensões com o raio é linear e em ambos os casos os 
valores máximos ocorrem no centro: 
σrmáx =σHmáx = αEKR/3 = 12.10-3. 206,8.109 .K .0,095/3 
Mas: 
T = Kr 
Para r = 0, T = 0 no centro do disco. 
Para uma variação de temperatura de 150º C, o valor de T para r =R é 150º. 
Logo : 
150 = K.0,095 K = 2000 º/m, logo: 
Tensão circ. máxima = tensão radial máxima = 124MN/m2 
Quais seriam os valores das tensões se a temperatura do centro do disco for 
30ºC, a variação de temperatura 150ºC e o gradiente térmico dado por: 
T = a+br? 
( )Trdr a br rdr ar br∫ ∫= + = +2 32 3 
A constante de integração será assimilada por A 
Então: 
σ αr A Br
E
r
ar br= − − +

2 2
2 3
2 3
 
σ α αH A Br
E
r
ar br ET= + + +

 −2 2
2 3
2 3
 
onde T = a + br 
Na face interna do disco, r = 0, T = 30ºC 
30 = a+b.0, a = 30 
Na face externa: T = 30+150 = 180 
180 = a+b(0,095) 
150 = 0,095.b, b = 2000 
Substituindo e lembrando que B/r2 = 0; A = 161,5.106 
Resp. Tensão radial no centro = 124,3MN/m2 
 Tensão circ. no centro = 124,3MN/m2 
Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 
Página 162 
 
¾ Exercício 9.8 
 
Determine as expressões para as tensões desenvolvidas em um disco com furo 
sujeito a um gradiente térmico da forma: T = -kr. Qual é a máxima tensão circunferencial e 
radial neste caso se os diâmetros interno e externo são 80mm e 160mm, respectivamente? A 
temperatura no raio externo é -50ºC. 
E = 206,8GN/m2, α = 12.10-6/ºC 
 
Solução : 
 
2 2
2 2
3
r 2
constante
3
A constante será assimilada por A, logo :
3
r
H
B EA Trdr
r r
B EA Trdr ET
r r
rT Kr Trdr K
B EKrA
r
ασ
ασ α
ασ
= − −
= + + −
= − ∴ = − +
= − +
∫
∫
∫ 
r = R2 = 80, T = -50 
 
Resp. 
 
Tensão circ. na face interna = -33,98MN/m2 
Tensão circ. na face externa = 28,46MN/m2