trabalho calculo 1

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UNIVERSIDADE DO SAGRADO CORAÇÃO
NATÁLIA LUISA MESSIAS TALIABOA
TRABALHO SEMESTRAL: CÁLCULO I: LIMITE E DERIVADA
Bauru
2018
NATÁLIA LUISA MESSIAS TALIABOA
TRABALHO SEMESTRAL: CÁLCULO I: LIMITE E DERIVADA
Trabalho apresentado a disciplina de Cálculo I: Limite e Derivada, na Universidade do Sagrado Coração, para obter aprovação na mesma sob orientação da Prof.ª Mestre Fátima Regina Lima Ribeiro.
Bauru
2018
“A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens”.
 (Descartes)
RESUMO
O presente trabalho trás os conteúdos estudados em sala de aula no 1° semestre do ano de 2018, nas aulas ministradas pela professora Mestre Fátima Regina Lima Ribeiro da disciplina de Calculo I: Limite e Derivada. O mesmo terá breve explicação dos conteúdos vistos e exercícios para fixação, ao final do trabalho será possível também ver aplicações da disciplina em diversas áreas e curiosidades.
Palavras Chaves: Calculo I. Explicação. Exercícios Resolvidos. Aplicações.
ABSTRACT
The present work brings the contents studied in the classroom in the first semester of 2018, in the classes taught by Professor Fátima Regina Lima Ribeiro of the discipline of Calculus I: Limit and Derivative. The same will have a brief explanation of the contents seen and exercises for fixing, at the end of the work will also be possible to see applications of the discipline in various areas and curiosities.
Keywords: Calculus I. Explanation. Exercises Solved. Applications.
SUMÁRIO
1. Introdução	06
2. objetivos	07
2.1. OBJETIVO GERAL	07
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS	07
3. Justificativa	08	
4. funções	09
4.1. FUNÇÃO DE 1° GRAU OU FUNÇÃO AFIM	09
4.1.1 Exercícios função de 1° grau ou função afim	09
4.2. FUNÇÃO DE 2° GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA	13
4.2.1. Exercícios função de 2° grau ou função quadrática	14
4.3. FUNÇÃO EXPONENCIAL	18
4.3.1. Exercícios função exponencial	19
4.4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA	20
4.4.1. Exercícios Função Logarítmica 	21
4.5. FUNÇÃO POLINOMIAL	23
4.5.1. Exercícios Função Polinomial	23
5. LIMITES	26
5.1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE	26
5.1.1. Exercícios Noção Intuitiva De Limite	26
5.2. PROPRIEDADE IMEDIATA DE LIMITE	29
5.2.1. Exercícios Propriedade Imediata De Limite	29
5.3. LIMITES INDETERMINADOS	31
5.3.1. Exercícios Limites Indeterminados	31
5.4. LIMITES INFINITOS	34
5.4.1. Exercícios Limites Infinitos	34
6. DERIVADAS	36
6.1. DERIVADAS PELA DEFINIÇÃO DE LIMITE	36
6.1.1. Derivadas Pela Definição De Limite	36
6.2. CALCULO PELAS REGRAS DE DERIVAÇÕES	39
6.2.1. Exercícios Cálculo Pelas Regras De Derivações	39
6.3. DERIVADA DE FUNÇÕES COMPOSTAS	41
6.3.1. Exercícios Derivada De Funções Compostas	41
6.4. DERIVADAS SUCESSIVAS	42
6.4.1. Exercícios Derivadas Sucessivas	42
6.5. AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO	44
6.5.1. Exercícios Avaliação Do Comportamento De Uma Função	44
6.6. REGRA DE L´HOSPITAL	45
6.6.1. Exercícios Regra De L´Hospital	45
7. APLICAÇÕES	47
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS	48
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS	49
1	INTRODUÇÃO
Na disciplina de Calculo I: Limite e Derivada iremos conhecer e aplicar estudos práticos e teóricos sobre funções: 1° e 2° grau, exponencial, logarítmica, polinomial e trigonométrica; limites: noção intuitiva, propriedade imediata, indeterminados e infinitos e derivadas: por definição, regras básicas, produto/ quociente/ potência, funções compostas/ sucessivas, ponto Maximo, ponto mínimo e ponto de inflexão, regra de L’Hospital e método algébrico.
No primeiro momento, será feito uma revisão com as funções de 1° e 2° grau, função exponencial, função logarítmica, função polinomial e função trigonométrica.
Em seguida quando conhecermos todas as definições e conceitos de funções será dado o inicio na parte de limites, onde iremos ver primeiramente a noção intuitiva, seguido das propriedades (imediatos), em seguida os limites indeterminados sua solução se dá pelos métodos algébricos: evidência; produtos notáveis; fatoração; divisão de polinômios; racionalização, e para finalizar a parte que envolve os limites iremos trabalhar com os infinitos.
E por último entramos na parte de derivadas, onde a estudaremos pelas definições, usando limite, veremos as regras básicas de derivadas, depois veremos a regra da derivada por produto, quociente e potência, estudar a derivada de funções compostas que também é conhecida como regra da cadeia, regra das derivadas sucessivas, a avaliação do comportamento de uma função, onde vamos encontrar o ponto máximo, mínimo e de inflexão e por ultimo será a regra de L’Hospital e método algébrico.
2	OBJETIVOS
2.1	OBJETIVO GERAL
O intuito deste trabalho é observar se o conteúdo estudado em sala de aula fora absorvido, de maneira com a qual possamos desenvolvê-lo com suas definições, e a cada assunto do mesmo elaborar e resolver cinco exercícios de acordo com o que fora ensinado em aula.
2.2	OBJETIVO ESPECIFÍCO 
Definições;
Exercícios elaborados e resolvidos;
Demonstrar conhecimento obtido;
3	JUSTIFICATIVA
O intuito deste trabalho é apresentar o que fora estudado em sala de aula, tal que cada aluno mostre os conhecimentos obtidos nas matérias de funções, limites e derivadas, para demonstrar se os conceitos estudados foram obtidos.
4	FUNÇÕES
Como o assunto sobre funções é um pouco extenso, o mesmo será dividido em tópicos explicando conceito geral de cada uma das funções vistas e em seguida teremos os exercícios resolvidos referentes a todos os conceitos escritos sobre cada matriz.
4.1	FUNÇÃO DE 1° GRAU OU FUNÇÃO AFIM
Uma função chama-se afim quando existem constantes tais que para todo .
Ponto onde o gráfico intercepta o eixo 
O gráfico de uma função afim é sempre uma reta, lembrando para que para determinar uma reta serão necessários dois pontos:
 Reta crescente
Reta constante
Reta decrescente
4.1.1	Exercícios função de 1° grau ou função afim
TEXTO PARA A PROXIMA QUESTÃO
(UFMS) Recomendações
Da frieza dos números da pesquisa saíram algumas recomendações. Transformadas em políticas publicas, poderiam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia urbana do transito.
A primeira é a adoção de praticas que possam reduzir a gravidade dos acidentes.
A segunda recomendação trata das motociclistas, cuja frota equivale a 10% do total, mas cujos custos correspondem a 19%. O ‘motoboy’ ganha R$2 por entrega, a empresa, R$8. É um exercito de garotos em disparada.
O pedestre forma o contingente mais vulnerável no transito e necessita de maior proteção, diz a terceira recomendação da pesquisa. Entre a 0h e as 18h da quinta-feira, as ambulâncias vermelhas do resgate recolhem 16 atropelados nas ruas de São Paulo.
Fonte: “Folha de São Paulo”, 12.06.03, p. C1 (adaptado)
Conforme o texto, num dia de trabalho, são necessárias 12 entregas para um motoboy receber R$24,00. Por medida de segurança, a empresa limitará a 10 a quantidade de entregas por dia. Como compensação, pagará um adicional fixo de reais ao dia á quem atingir esse limite, porem reduzirá para R$1,80 o valor pago por cada entrega. O valor que manterá inalterada a quantia diária recebida pelo motoboy, ou seja, R$24,00, será:
R$ 5,40
R$ 5,60
R$ 5,80
R$ 6,00
R$6,20
RESOLUÇÃO:
Alternativa correta- (d)
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES.
(Faap) Mediações realizadas mostram que a temperatura no interior da terra aumenta, aproximadamente, 3°C a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m deprofundidade, a temperatura é de 25°C. Nessas condições, podemos afirmar que:
A temperatura a 1.500m de profundidade é:
70°C
42°C
67°C
45°C
60°C
RESOLUÇÃO:
Alternativa correta- (c)
Encontrando-se uma fonte de água mineral a 46°C, a profundidade dela será igual a:
700m
600m
800m
900m
500m
RESOLUÇÃO:
Alternativa correta- (a)
TEXTO PARA A PROXIMA QUESTÃO
(Faap) A variação de temperatura num intervalo de tempo é dada pela função calcule o valor de “” de modo que:
O gráfico da função seja uma reta e seja crescente:
-3
9
3
-9
0
RESOLUÇÃO:
(Mackenzie)
 
Na figura temos os gráficos das funções e . Se , então vale:
6
8
10
12
14
RESOLUÇÃO:
Alternativa correta- (a)
4.2	FUNÇÃO DE 2° GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA
Chama-se função quadrática, quando a mesma possui números reais com tal que para todo .
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo a . O ponto de intersecção da parábola com o eixo de simetria chama-se vértice.
De acordo com a lei da função quadrática, a parábola que a representa pode ter concavidade voltada para baixo, se , ou para cima, se .
As coordenadas do vértice da parábola são:
4.2.1	Exercícios função de 2° grau ou função quadrática
Determine o conjunto imagem das funções de domínio real:
 
RESOLUÇÃO
Inicialmente calculamos a ordenada do vértice:
 Como , a concavidade está voltada para cima. Então conjunto imagem é: 
Calculamos a ordenada do vértice:
Sabendo que a concavidade está voltada para baixo , temos: 
Um objeto foi jogado do alto de um edifício, sua altura, em metros, depois de segundos é dada pela função . Qual a altura do edifício e em que instante o objeto atingira o solo?
RESOLUÇÃO:
A altura do edifício é obtida fazendo na função
O objeto atingira o solo quando 
Determine os zeros das funções:
RESOLUÇÃO:
Determine os valores de para que a função tenha duas raízes reais e iguais:
RESOLUÇÃO:
=0
=0
=
Encontre os zeros das funções:
RESOLUÇÃO: 
RESOLUÇÃO:
4.3	FUNÇÃO EXPONENCIAL
Uma função exponencial é dada por , onde temos como constante .
A função exponencial será crescente quando a base for maior que , e decrescente se for positivo e menor que . Seu gráfico sempre terá um dos seguintes aspectos:
4.3.1	Exercícios função exponencial
Resolva a equação .
RESOLUÇÃO:
Pela propriedade da pot
ê
ncia, quando temos bases iguais, as 
mesmas são 
cancela
das
 e igualamos o expoente.
Determine o conjunto solução da equação .
RESOLUÇÃO:
Obtenha a solução da equação 
RESOLUÇÃO:
Quanto renderá em 10 anos um capital de R$30.000,00 aplicados a juros compostos de 8% ao ano?
RESOLUÇÃO:
Logo, renderá em 10 anos um juro de R$ 34.800,00.
Resolva a seguinte função exponencial: 
RESOLUÇÃO:
Pela propriedade da pot
ê
ncia, quando temos
 uma multiplicação, conservamos as 
bases iguais
 e somamos os expoentes
.
4.4	FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
A função logarítmica é dada por , em que a constante é positiva e diferente de 1.
O gráfico da função depende do valor de .
Para será crescente; para será decrescente:
A resolução dos logarítmicos se dá por:
4.4.1	Exercícios Função Logarítmica 
Calcule o valor de tal que:
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
Se e , resolva os seguintes logarítmicos:
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
Dados e , obter .
RESOLUÇÃO:
Determine o valor de em :
RESOLUÇÃO:
Como , temos que o 
Resolva a seguinte função: , onde 
RESOLUÇÃO:
4.5	FUNÇÃO POLINOMIAL
É toda função do tipo .
Principais características:
Grau do polinômio: é o termo do expoente de maior valor;
Valor numérico : idem as funções já estudadas;
Operações: adição/subtração; multiplicação/divisão.
4.5.1	Exercícios Função Polinomial
Dados os polinômios ; e , obter o grau das mesmas.
RESPOSTAS:
→ quinto grau
→ sexto grau
→ segundo grau
Utilizando os polinômios da 1° questão, obter os valores numéricos para:
Ainda utilizando os polinômios dados na questão número 1, resolver as seguintes operações:
Sendo , determine:
RESOLUÇÃO:
 
RESOLUÇÃO:
Determine, onde .
RESOLUÇÃO:
5	LIMITES
Este tópico sobre limite seguirá o mesmo modelo que o tópico das funções, porém algum dos tópicos não terá a explicação e seguirá direto para os exercícios. A parte de limites será dividida em quatro sub partes: Noção Intuitiva; Propriedade Imediata; Indeterminados e por fim Infinitos.
5.1	NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Estudaremos o comportamento de uma função nas proximidades de um ponto , tanto quando os valores de se aproximam de , ou por valores onde (valores menores que ) ou por valores onde (valores maiores que ).
5.1.1	Exercícios Noção Intuitiva De Limite
Seja a função . Vamos dar valores a que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de :
	x→1+
	f(x) =2x+1
	x
	y
	1,5
	4
	1,3
	3,6
	1,1
	3,2
	1,05
	3,1
	1,02
	3,04
	1,01
	3,02
	
	x→1−
	f(x) =2x+1
	x
	y
	0,5
	2
	0,7
	2,4
	0,9
	2,8
	0,95
	2,9
	0,98
	2,96
	0,99
	2,98
Fazer o mesmo para , onde o .
	x→2−
	f(x) =3x2+x+1
	x
	y
	1,7
	11,37
	1,8
	12,52
	1,9
	13,73
	1,99
	14, 8703
	1, 999
	14, 987
	
	
	x→2+
	f(x) =3x2+x+1
	x
	y
	2,3
	19,17
	2,2
	17,72
	2,1
	16,33
	2,01
	15, 1303
	2, 001
	15, 013
Obter o limite da função em , pela noção intuitiva:
	x→1−
	f(x) =5x-2
	x
	y
	0,7
	1,5
	0,8
	2
	0,9
	2,5
	0,99
	2,95
	0, 999
	2, 995
	
	
	x→1+
	f(x) =5x-2
	x
	y
	1,3
	4,5
	1,2
	4
	1,1
	3,5
	1,01
	3,05
	1,001
	3, 005
Obter o limite da função em , pela noção intuitiva:
	x→1−
	f(x) =4x2-12
	x
	y
	0,7
	-10,04
	0,8
	-9,44
	0,9
	-8,76
	0,99
	-8, 0796
	0,999
	-8, 0079
	
	
	x→1+
	f(x) =4x2-12
	x
	y
	1,3
	-5,24
	1,2
	-6,24
	1,1
	-7,16
	1,01
	-7, 9196
	1,001
	-7, 9919
Fazer o mesmo para , onde o 
	x→1−
	f(x) =5x2
	x
	y
	0,7
	2,45
	0,8
	3,2
	0,9
	4,05
	0,99
	4, 9005
	0,999
	4, 990005
	
	
	x→1+
	f(x) =5x2
	x
	y
	1,3
	8, 45
	1,2
	7, 2
	1,1
	6, 05
	1,01
	5, 1005
	1,001
	5, 010005
5.2	PROPRIEDADE IMEDIATA DE LIMITE
Muitas funções do Calculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potencias de funções simples. Onde vão ser mostradas algumas propriedades que podem ser utilizadas para simplificar as funções mais elaboradas:
Regra da soma: o limite da soma de duas funções é a soma de seus limites:
 
 
Regra da diferença: o limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites: 
Regra do produto: o limite do produto de duas funções é o produto de seus limites: 
Regra da multiplicação por constante: o limite de uma constante multiplicada pela função é a constante multiplicada pelo limite da função: 
Regra do quociente: o limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero: 
Regra da potencia: o limite de uma potencia racional de uma função é a potencia do limite da função, desde que a ultima seja um número real:
O limite de uma constante se dá por: 
5.2.1	Exercícios Propriedade Imediata De Limite
Calcular o limite pela propriedade imediata:
Fazer o mesmo para o limite abaixo:
Resolver o limite em que :Desenvolver , pela propriedade imediata:
Obter o limite da seguinte função:
5.3	LIMITES INDETERMINADOS
Os limites indeterminados são conhecidos quando sua substituição pela propriedade imediata da o resultado , onde vamos resolver o limite utilizando o método algébrico que há cinco maneiras de sair da indeterminação:
Evidência;
Produtos Notáveis;
Fatoração;
Racionalização;
Divisão de polinômios.
5.3.1	Exercícios Limites Indeterminados
Calcular o seguinte limite indeterminado:
Resolver o limite da função indeterminada pelo método de evidência:
Agora identifique por qual método resolver o limite indeterminado á seguir:
Identifique se o limite abaixo é indeterminado e o resolva pelo método algébrico:
Determinar o limite indeterminado:
5.4	LIMITES INFINITOS
Dado o polinômio , diz-se que o “limite para tendendo para é sempre:
Ou seja, se verificar a lógica, tem-se que o “termo de maior grau” supera as demais parcelas.
Isto só é valido se:
E não existem regras pré- estabelecidas, devem-se analisar cada caso para obter um resultado final. 
5.4.1	 Exercícios Limites Infinitos
Resolver o seguinte limite:
Resolver o limite que tende a 
Resolver o limite infinito:
Fazer o mesmo com esse limite:
Resolver o próximo limite infinito.
6	DERIVADAS
As derivadas serão divididas em varias partes, onde será explicada suas propriedades e regras para a resolução das mesmas.
6.1	DERIVADAS PELA DEFINIÇÃO DE LIMITE
Dada a função , tem-se que:
Derivada da função num ponto :
Diz-se que a derivada é a “inclinação” da reta da tangente ao ponto considerado, e é obtida pela 1° definição: e pela 2° definição:, para denotar a derivada de 1° ordem.
Em outras palavras derivar, significa transformar, andar, modificar, tornar mais simples a função dada originalmente.
6.1.1	Derivadas Pela Definição De Limite
Calcular a derivada da função , onde através das duas definições de limites:
Calcular apenas pela 1° definição, a derivada da função 
Calcular a derivada de , onde pela 2° definição de limite.
Calcular pela 1° definição de limite a derivada de .
Calcular pela 2° definição de limite a derivada dada na questão anterior, onde 
6.2	CALCULO PELAS REGRAS DE DERIVAÇÕES
Regras de derivação: sendo e , tem-se que:
Derivada da soma: ;
Derivada do produto: ;
Derivada do quociente: ;
Derivada da potência: .
A regra do produto pode ser verificada através da propriedade distributiva da multiplicação.
Não aplicar a regra da soma, nas expressões com produto e quociente.
6.2.1	Exercícios Calculo Pelas Regras De Derivações
Calcular a derivada de 1° ordem, pela regra da soma.
Pela regra do produto, calcular a derivada de 1° ordem.
Calcular a derivada de ordem 2, pela regra do quociente.
Resolva a função , pela propriedade da potência:
Pegar a derivada de 1° ordem da questão anterior e calcular 
6.3	DERIVADA DE FUNÇÕES COMPOSTAS
Derivada das funções compostas (regra da cadeia) seja .
, onde 
6.3.1	Exercícios Derivada De Funções Compostas
Calcular a derivada de 
Calcular a deriva da função 
Utilizar a 3° definição da função composta citada no tópico 6.3, na função a seguir: .
Resolver a derivada da função .
Dar a derivada de ordem 1, na função 
6.4	DERIVADAS SUCESSIVAS
A Partir do que fora estudado, como as regras básicas, as operações basicas e a regra da cadeia, pode-se calcular:
; 
6.4.1	Exercícios Derivadas Sucessivas
Calcular a derivada de ordem , na função 
Calcular a derivada de ordem 3, da função 
Dar a derivada de ordem 2 da função 
Calcular a derivada de da função: 
Calcular a derivada de 1° ordem da função 
6.5	AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO
Lembrar da função quadrática, onde: 
Se 
Se 
Aplicar o seguinte critério da segunda derivada:
Se , então tem ponto mínimo.
Se , então tem ponto máximo.
Passo a passo para obter os pontos críticos:
(1°) calcular a derivada de ordem 1;
(2°) igualar a e encontrar ;
(3°) determinar o ;
(4°) aplicar o critério da 2° derivada em , isto é ;
(5°) igualar e obter o valor de (ponto de inflexão) ou muda o sentido.
6.5.1	Exercícios Avaliação Do Comportamento De Uma Função
Encontrar os pontos críticos:
Achar o ponto de inflexão da função 
6.6	REGRA DE L´HOSPITAL
A partir dos limites e das derivadas, pode-se aplicar a regra de L´Hospital em todos os casos de limites indeterminados do tipo .
A regra de L´Hospital diz que:
6.6.1	Exercícios Regra De L´Hospital
Resolver pela regra de L´Hospital:
Resolver da mesma forma:
Resolver pela regra citada a cima.
Fazer o mesmo para o limite: 
Resolver pelos dois métodos:
M.A.
R.L.
7	APLICAÇÕES
Na engenharia civil, esta fortemente ligada ao uso de derivadas, com elas podemos realizar vários tipos de estudo e aplica-las transformando em uma função. Podendo assim serem utilizadas para diversas áreas, como está relacionada a taxa de variação e também as outras áreas, como: tempo, volume, temperatura, resistência, área, ou seja, qualquer quantidade que possa ser representada por uma função. No ramo da construção civil, o uso das derivadas estão sempre presentes nos desenvolvimentos de projetos de estruturas, hidráulicas, topográficos e geotécnicos, pois sem elas seria impossível calcular o dimensionamento de lajes, colunas e vigas.
A aplicação ocorre em diversas áreas do conhecimento, tendo um papel de extrema importância, sendo uma porta para a solução de diversos problemas.
8	CONSIDERAÇÕES FINAIS
No decorrer do trabalho podemos concluir que os conceitos estudados em sala de aula contribuem de grande forma para o aprendizado do aluno em sala de aula.
O incentivo ao processo auto didático é fornecido pela proposta de trabalho, que tende a fazer com que o aluno consiga aumentar o número de informações sobre determinado assunto e obter a autonomia para a formulação e resolução de problemas. 
Neste trabalho também vemos onde podemos aplicar o conteúdo que nele contem, não sendo apenas de uso exclusivo para a área de matemática, mas que poderá ser útil em quaisquer outras áreas/profissões. 
Logo se conclui que pela elaboração do trabalho, que os alunos tenham adquirido os conhecimentos sobre a formulação e resolução dos exercícios, trabalhados na disciplina de Calculo I: Limite e Derivada.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CHUEIRI M. M., Vanilda. GONÇALVES M., Eliete. Dicionário comentado de matemática. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2012. 
DANTE R., Luiz. Matemática: contexto e aplicações (volume único). 1° ed. São Paulo: Editora Ática, 2000.
IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática (volume único). 4°ed. São Paulo: Atual Editora, 2007. 
SOUZAR., Joamir.Novo olhar matemática(coleção novo olhar; v.2). 1°ed. São Paulo: FTD, 2010.
YOUSSEF N., Antonio. SOARES, Elizabeth. FERNANDEZ P., Vicente. Matemática (volume único). 1°ed. São Paulo: Editora Scipione, 2009. 
SÓ MATEMÁTICA. Frases matemáticas.Disponível em: http://www.somatematica.com.br/frases.php. Acesso em: 02 de junho de 2016.