EX. FUNDAMENTOS DE ANÁLISE 1

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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE 
 
Seja a sequência an=1-nn2. Dentre as opções abaixo, assinale aquela que representa os quatro primeiros termos 
da sequência. 
( ) 0, -3/16, -2/9, -1/4. 
(x ) 0, -1/4, -2/9, -3/16. 
( ) 1, 2/3, 5/6, 3/16. 
( ) -3/16, 0, -2/9, -1/4. 
( ) 0, 1/4, 2/9, 3/16. 
 
Seja a sequência {n2n+1}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito. 
( ) 3/2 
(x) 1/2 
( ) 1/3 
( ) 2/3 
( ) 1 
 
Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano. 
Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, 
dito sucessor de n. 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem 
sucessores diferentes. 
(II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. 
(III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de 
seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N. 
Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto: 
( ) I e III somente. 
( ) I e II somente. 
( ) II e III somente. 
( ) I somente. 
(x) I, II e III. 
 
Seja a sequência {n.sen(π/n)}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito. 
( ) π/2. 
( ) 2π. 
(x) π. 
( ) 3π/2. 
( ) 3π. 
 
Seja a sequência {2n2/(5n2-3)}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito. 
(x) 2/5 
( ) 5/2 
( ) 5 
( ) 0 
( ) 2 
 
Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano. 
Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, 
dito sucessor de n. 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem 
sucessores diferentes. 
(II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. 
(III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de 
seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N. 
Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto: 
(x) I, II e III. 
( ) I e II somente. 
( ) II e III somente. 
( ) I e III somente. 
( ) I somente. 
 
Identificando cada propriedade formal da adição de números naturais com seu nome, obtemos respectivamente, 
(I) m+(n+p)=(m+n)+p 
(II) n+m=m+n 
(III) Dados m, n ∈N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: 
 m=n ou 
 ∃p∈N tal que m=n+p ou 
 ∃p∈N tal que n=m+p. 
(IV) m+n=m+p⇒n=p 
( ) (I) Associativa, (II) Lei do Corte, (III) Tricotomia e (IV) Comutativa. 
(x) (I) Associativa, (II) Comutativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte. 
( ) (I) Tricotomia, (II) Comutativa, (III) Associativa e (IV) Lei do Corte 
( ) (I) Lei do Corte, (II) Tricotomia, (III) Comutativa e (IV) Associativa. 
( ) (I) Comutativa, (II) Associativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte. 
 
Considerando o conjunto dos números naturais como N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos 
números naturais dos quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma. P1. 
Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que: 
( ) Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural. 
(x) Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural. 
( ) Todo número natural é sucessor de algum numero natural. 
( ) Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural. 
( ) Todo número natural possui um sucessor que não é natural. 
 
Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números naturais 
dos 4 axiomas de Peano. O segundo dos axiomas de Peano é P2. 
P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que s(m)=s(n)⟹m=n 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que: 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais. 
(II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. 
(II) Existe um número natural que não possui um sucessor. 
( ) (II) 
( ) (III) 
( ) (I) e (III) 
(x) (I) e (II) 
( ) (II) e (III) 
 
Identifique os 5 primeiros termos da sequencia n2n+ . 
( ) 1/2; 2/4; 3/7; -4/9; ... 
( ) 1/2; 2/4; 3/7; 4/9; ... 
(x) 1/3; 2/5; 3/7; 4/9; ... 
( ) 1/4; 2/5; 3/7; 4/9; ... 
( ) -1/3; 2/5; 3/7; -4/9; ... 
 
Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Podemos deduzir a teoria dos números naturais 
dos 4 axiomas de Peano. Considere o terceiro axioma de Peano abaixo. P3: N-s(N) consta de um só elemento. 
É somente correto afirmar que: 
(I) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. 
(II) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1≠s(n) para todo n∈N. 
(III) Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N. 
( ) (II) e (III) 
(x) (I) e (II) 
( ) (III) 
( ) (II) 
( ) (I) e (III) 
 
Seja a sequência {(3n3+1)/(2n2+n)}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao 
infinito. 
( ) 2/3 
( ) 2 
( ) 3 
( ) 4 
(x) 3/2 
 
Decida se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas: 
(1) Se limn→∞an=∞ e bn=n2+3 então limn→∞anbn= ∞ 
(2) Se an→0 e bn→∞ então anbn→0 
(3) Se an e bn são ambas sequencias não convergentes, então a sequencia an+bn não converge. 
(4) Se limn→∞an=-∞ e limn→∞bn=∞ então limn→∞anbn= -1. 
(5) Se an converge então ∑an também converge. 
( ) Todas são verdadeiras. 
( ) As proposições (1), (4) e (5) são verdadeiras e as proposições (2) e (3) são falsas. 
( ) As proposições (1), (2) e (3) são verdadeiras e as proposições (4) e (5) são falsas. 
( ) As proposições (2) e (3) são verdadeiras e as proposições (1), (4) e (5) são falsas. 
(x) Todas são falsas. 
 
Analise a convergência da ∑n=1∞(1n3) e informe se ela é convergente ou divergente, e o método utilizado 
para demonstrar. 
(x) É uma p-série como p = 3 > 1 então afirmamos que a série converge. 
( ) É uma p-série como p = -2 < 1 então afirmamos que a série é divergente. 
( ) É uma p-série como p = -3 < 1 então afirmamos que a série é divergente. 
( ) É uma p-série como p = 2 > 1 então afirmamos que a série converge. 
( ) É uma p-série como p = 1/2 < 1 então afirmamos que a série converge. 
 
Assinale a opção onde o conjunto correspondente é infinito. 
( ) {x : x ∈ R e x2 -7x=0} 
( ) Os meses do ano. 
(x) {x : x é par} 
( ) {1,2,3,.........,1999} 
( ) As pessoas que habitam o planeta Terra. 
 
Marque a alternativa que apresenta corretamente a demonstração do Teorema: 
Se p é elemento mínimo de X, então esse elemento é único. 
( ) Como p ∈X por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X. q ∈X é elemento máximo de X, por 
definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q 
e q ≤ p, ficamos com p = q. 
( ) Dado X contido em N, suponhamos por absurdo que existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e 
q ∈X. Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é maior do que qualquer elemento de X, e já que 
q ∈X, temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que 
qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. 
(x) Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X. Como p ∈X é 
elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X, temos que p ≤ q. 
Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já 
que p ∈X , temos que q≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. 
( ) Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X . Como p ∈X é elemento 
mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈ X, temos que p = q. Da 
mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que 
p ∈X, temos então esse elemento é único. 
( ) Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X. Como p ∈X é elemento 
mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X, temos que p > q. Da 
mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que 
p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, p = q. 
 
Seja a série ∑n=1∞(k-1k2k). Mostre se a serie é convergente ou divergente e determine o método utilizado 
para essa demonstração. 
(x) A série converge e podemos demonstrar utilizando a série geométrica. 
( ) A série não converge e podemos demonstrar utilizando a série geométrica. 
( ) A série diverge e podemos demonstrar utilizando a série alternada. 
( ) A série converge e podemos demonstrar utilizando a série alternada. 
( ) A série converge e podemos demonstrar utilizando a série-p. 
 
Considere a sequência infinita f:N*→ Q onde f (n) = 1/n . Podemos afirmar que: 
(x) O conjunto imagem da função é enumerável. 
( ) O conjunto imagem da função é não enumerável. 
( ) f( n+1) ¿ f(n) pode ser positivo. 
( ) O menor valor que a função assume é igual a 0,001. 
( ) Maior valor que a função assume é igual a 2. 
 
Considere as seguintes afirmações sobre as séries infinitas: 
(I) Cada Sn é a soma parcial de ordem n. 
(II) Se não existe Limn→∞(Sn) = s, 
o número real s é chamado de soma da série. 
(III) Uma série ∑(an ) é convergente se a sua sequência de somas parciais {Sn} converge. 
 Podemos afirmar que: 
( ) Somente as afirmativas II e III estão corretas. 
( ) Somente a afirmativa II está correta. 
( ) Somente a afirmativa I está correta. 
( ) Somente as afirmativas I e II estão corretas. 
(x) Somente as afirmativas I e III estão corretas. 
 
Verifique se a seguinte série converge e ache sua soma: 2 + 23 + 232 + ... + 23n-1 + ... 
( ) A série diverge com r = 13 < 1. 
( ) A série diverge com r = 53 > 1. 
(x) A série converge com r = 13 < 1. A soma S = 3. 
( ) A série converge com r = 3 > 1. A soma S = 5. 
( ) A série converge com r = 12 < 1. A soma S = 4. 
 
Seja a sequência {2n2/(5n2-3)}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito. 
( ) 2 
(x) 2/5 
( ) 5/2 
( ) 0 
( ) 5 
 
Dada a série ∑n=1∞(1n2), marque a alternativa que indica o limite superior da série e indica se ela é 
convergente ou divergente. 
( ) A série é limitada superiormente por 1/2 e a série converge. 
(x) A série é limitada superiormente por 2 e a série converge. 
( ) A série é limitada superiormente por 3 e a série converge. 
( ) A série é limitada superiormente por 1 e a série converge 
( ) A série não é limitada superiormente. 
 
Marque a alternativa que enuncia corretamente o Teorema (Princípio da Boa Ordenação) 
( ) Todo conjunto possui um menor elemento. 
(x) Todo subconjunto não-vazio A contido em N possui um menor elemento. 
( ) Alguns conjuntos possuem um menor elemento. 
( ) Nenhum subconjunto não-vazio A contido em N possui um menor elemento. 
( ) Todo subconjunto não-vazio A contido em N possui um maior elemento. 
 
Com relação a noção de conjunto enumerável e aos conjuntos dados, é somente correto afirmar que 
(I) O conjunto N é enumerável, pois a função φ : N->N, definida por φ(n) = n é bijetiva. 
(II) O conjunto {2, 4, 6, . . .} é enumerável, pois a função φ : N->N, definida por φ(n) = 2n é bijetiva. 
(III) O conjunto −1,−2,−3,−4, . . . ,−n, . . . é enumerável, pois a função φ : N->N, definida por φ(n) = -n é bijetiva. 
(x) (I), (II) e (III) 
( ) (I) e (II) 
( ) (I) e (III) 
( ) (II) e (III) 
( ) (I) 
 
Dentre as opções abaixo a única que representa um número racional é: 
( ) log 256 
(x) √64 
( ) √7 
( ) log 3 
( ) ∛9 
 
A série (x2 + 2) /(x5 + 2x + 1), pelo critério da comparação com limite, será convergente cujo limite vale: 
(x) 1 
( ) 2 
( ) +OO 
( ) 3 
( ) -OO 
 
Considere o resultado: Se w, b ∈ R, b ≠ 0, tais que w ∙ b = b, então w = 1.. Marque a alternativa que apresenta a 
demonstração correta dele. 
( ) Por hip. temos w, b ∈ R, b ≠ 0, tais que w ∙ b = b (*). Obtemos w ∙ b(1/b) = b(1/b). Usando propriedade 
associativa, temos: w.(b.1/b) = b.1/b. Com a propriedade do elemento neutro obtemos w = 1. 
( ) Por hip. temos w, b ∈ R, b ≠ 0, tais que w ∙ b = b (*). Usando a propriedade do fechamento podemos 
multiplicar os dois lados da igualdade (*) por 1/b. Obtemos w ∙ b(1/b) = b(1/b). temos: w.(b.1/b) = b.1/b. 
Com a propriedade do elemento neutro obtemos w = 1. 
( ) Seja w ∙ b = b (*). Usando a propriedade do fechamento podemos multiplicar os dois lados da igualdade (*) 
por 1/b. Obtemos w ∙ b(1/b) = b(1/b). Usando propriedade associativa, temos: w.(b.1/b) = b.1/b. Com a 
propriedade do elemento neutro obtemos w = 1. 
(x) Por hip. temos w, b ∈ R, b ≠ 0, tais que w ∙ b = b (*). Usando a propriedade do fechamento podemos 
multiplicar os dois lados da igualdade (*) por 1/b. Obtemos w ∙ b(1/b) = b(1/b). Usando propriedade 
associativa, temos: w.(b.1/b) = b.1/b. Com a propriedade do elemento neutro obtemos w = 1. 
( ) Por hip. temos w, b ∈ R, tais que w ∙ b = b (*). Usando a propriedade do fechamento podemos multiplicar os 
dois lados da igualdade (*) por b. Obtemos w ∙ b(b) = b(1/b). Usando propriedade associativa, temos: 
w.(b.1/b) = b.1/b. Com a propriedade do elemento neutro obtemos w = 1. 
 
Analise a convergência da série ∑n=1∞n22n. Determine o limite de an quando n tende ao infinito e se a série 
converge ou diverge. 
(x) O limite de an quando n tende a infinito será 1/2, portanto a série converge absolutamente pelo teste da 
razão e consequentemente podemos dizer que a série converge. 
( ) O limite de an quando n tende a infinito será 2, portanto a série converge absolutamente pelo teste da razão 
e consequentemente podemos dizer que a série converge. 
( ) O limite de an quando n tende a infinito será 1/2, portanto a série diverge absolutamente pelo teste da 
razão e consequentemente podemos dizer que a série diverge. 
( ) O limite de an quando n tende a infinito será 1/3, portanto a série converge absolutamente pelo teste da 
razão e consequentemente podemos dizer que a série converge. 
( ) O limite de an quando n tende a infinito será 1, portanto a série converge absolutamente pelo teste da razão 
e consequentemente podemos dizer que a série converge. 
 
Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n!/(2n+1)! conclui-se que a mesma: 
( ) converge pois o lim an+1/an vale 9/10. 
(x) converge pois o lim an+1/an vale 0. 
( ) diverge pois o lim an+1/an vale 3/2. 
( ) converge pois o lim an+1/an vale 0,2. 
( ) converge pois o lim an+1/an vale 1/3. 
 
Seja a sequência {5n/e2n}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito. 
( ) 5/2 
( ) 5/e 
(x) 0 
( ) e 
( ) 5 
 
Marque a alternativa que prova corretamente por indução que ∀ a ∈N, a > 0, temos que Lnan = nLna. 
( ) Seja P(n): Lnan = nLna. Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna 
 Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). 
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna 
( ) Seja P(n): Lnan = nLna. Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = 
Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada. 
(x) SejaP(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna 
 Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). 
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada. 
( ) Seja P(n): Lnan = nLna . P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). 
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada. 
( ) Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. Mostramos que a propriedade foi verificada. 
 
Dentre os conjuntos abaixo relacionados, assinale o único que é finito: 
( ) {x ∈ R : 3 < x < 5} 
( ) {x∈ R : x > 3} 
( ) {x ∈ Z : x > -3 } 
(x) {x ∈ Z : 2 < x < 7} 
( ) {x ∈ N : x > 7} 
 
Considere as afirmativas a seguir. 
(I) Dizemos que um conjunto A é enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção f:N->A. 
(II) Quando existe uma bijeção f:N->A, dizemos que A é um conjunto infinito enumerável. 
(III) Todo conjunto finito A contém um subconjunto infinito enumerável. 
Com relação a elas, é correto afirmar: 
( ) II e III somente. 
( ) I somente. 
(x) I e II somente. 
( ) I, II e III. 
( ) I e III somente. 
 
Sabendo que a série 1/(n2) é convergente, então , por comparação podemos afirmar que a série convergente , 
dentre as opções será: 
( ) série 1/n 
(x) série |sen n|/n2 
( ) 1/n3 
( ) 2n 
( ) 1/x-2 
 
Seja a sequência {4n2/(2n2+1)}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito. 
( ) 4 
( ) 5 
(x) 2 
( ) 3 
( ) 1 
 
Considere as afirmativas a seguir. 
(I) Dizemos que um conjunto A é enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção f:N->A. 
(II) Quando existe uma bijeção f:N->A, dizemos que A é um conjunto infinito enumerável. 
(III) Todo conjunto finito A contém um subconjunto infinito enumerável. 
Com relação a elas, é correto afirmar? 
( ) I somente. 
( ) I, II e III. 
(x) I e II somente. 
( ) I e III somente. 
( ) II e III somente. 
 
Considere a sequência infinita f : N*→Q onde f (n ) = 2n. Podemos afirmar que: 
( ) Existe uma imagem que é negativa. 
( ) O conjunto imagem da função é não enumerável. 
(x) O conjunto imagem da função é enumerável 
( ) O menor valor que a função assume é igual a 1. 
( ) O maior valor que a função assume é 1.024. 
 
Resolvendo a inequação |2x-5|<3 no conjunto dos números reais, encontramos para conjunto solução: 
( ) { 1 , 4 } 
( ) ] 1 , 4 ] 
(x) ] 1 , 4 [ b) ] 1 , 4 ] c)[1,4] d) {1,4} e) [1,4[ 
( ) [ 1 , 4 ] 
( ) [1 , 4 [ 
 
Analise a convergência da série ∑n=1∞(2nn!). 
( ) Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série diverge. 
( ) Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir que a série converge. 
( ) Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir a série diverge. 
(x) Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série converge. 
( ) Como o valor do limite encontrado é 0, podemos afirmar nada. 
 
Sejam a e b números irracionais. Das afirmações, pode-se concluir que: 
(I) a.b é um número irracional, 
(II) a+b é um número irracional, 
(III) a-b pode ser um número racional, 
 (x) Somente I e II são falsas. 
 ( ) As três são verdadeiras. 
 ( ) Somente I e III são verdadeiras. 
 ( ) Somente I é verdadeira. 
 ( ) As três são falsas. 
 
As afirmativas abaixo são relacionadas à noção de vizinhança no espaço métrico R. 
(I) Um ponto x∈Rp é dito ponto interior de um conjunto A⊂Rp se existe uma vizinhança de x totalmente contida 
em A. 
(II) Um ponto x∈Rp é dito ponto exterior de um conjunto A⊂Rp se existe uma vizinhança de x inteiramente 
contida em no complementar de A - C(A) 
(III) Se toda vizinhança N(x,r) de centro x e raio r contém um ponto de G e um ponto do complementar de G (Rp -
G) diz-se que x é um ponto fronteira de G. 
Com relação às afirmativas e a teoria de vizinhança no espaço métrico R, é CORRETO? 
(x) I, II e III. 
( ) I, somente. 
( ) II e III somente. 
( ) I e II somente. 
( ) I e III somente. 
 
Seja F um corpo ordenado e A um subconjunto de F limitado inferiormente. 
Com relação a noção de ínfimo de um conjunto é somente correto afirmar que: 
(I) O ínfimo de A é a maior das cotas inferiores de A. 
(II) x ∈ F é ínfimo de A, se x for uma cota inferior de A, e se z for uma cota inferior de A então x<=z. 
(III) O ínfimo de A sempre pertence ao conjunto A. 
( ) (III) 
(x) (I) e (II) 
( ) (I) 
( ) (I) e (III) 
( ) (II) 
 
Seja a função L { e- t cos (2t)}.Determine a transformada de Laplace. 
( ) f(t) = (s+5)/(s2+2s) 
( ) f(t) = s/(s2+5) 
( ) f(t) = (s+1)/(s2+ 5) 
(x) f(t) = (s+1)/(s2+2s+5) 
( ) f(t) = 1/(s2+s+2) 
 
No espaço métrico R, um ponto x=c é denominado ponto interior de um conjunto S, se existe uma vizinhança 
aberta do ponto x=c, inteiramente contida no conjunto S. Além disso, o interior de um conjunto S é a coleção de 
todos os pontos de S para os quais podemos construir vizinhanças abertas contidas inteiramente no conjunto S. 
No espaço métrico R, considere as afirmativas. 
(I) x=5 é um ponto interior dos conjuntos: A=[0,10) e B=(-6,8). 
(II) x=5 não é ponto interior do conjunto C=[5,7) pois é uma extremidade de C. 
(III) (a,b) é o interior dos conjuntos [a,b], [a,b), (a,b] e de (a,b). 
Com relação a estas afirmativas e o espaço métrico R, é CORRETO? 
( ) I e II somente. 
( ) III somente. 
(x) I, II e III. 
( ) II e III somente. 
( ) I e III somente. 
 
Considere o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y} da figura e as afirmativas 
 
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S={(x,y)∈R2:x<y} 
(II) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´=S 
(III) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y} 
Para este conjunto é correto? 
( ) I e III apenas. 
( ) II e III apenas. 
( ) II e III apenas. 
( ) I apenas. 
(x) I, II e III. 
 
Dizemos que um conjunto G em Rp é um aberto em Rp se, Ax∈G, existe r>0, r∈R, tal que Ay∈Rp, ||x-y||G, em 
outras palavras, um conjunto G é aberto se todo ponto de G é centro de alguma bola aberta inteiramente contida 
em G. 
Com relação às propriedades dos conjuntos abertos, considere as afirmativas. 
(I) O vazio e todo o espaço Rp são abertos em Rp. 
(II) A interseção de dois abertos quaisquer é um aberto em Rp. 
(III) A união de qualquer coleção de abertos é um aberto em Rp. 
Com relação às afirmativas e as propriedades dos conjuntos abertos, é CORRETO? 
( ) I e II somente. 
( ) I e III somente. 
( ) II somente. 
(x) I, II e III. 
( ) II e III somente. 
 
Considere o conjunto S1=[2,4[U[5}⊆R e as afirmativas abaixo. 
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S1=]2,4[ 
(II) Conjunto dos pontos fronteiros de S: fr(S1)={2,4,5} 
(III) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´1=[2,4] 
Com relação ao conjunto em questão e as afirmativas, é correto: 
( ) II e III somente. 
( ) I e II somente. 
( ) I somente. 
(x) I, II e III. 
( ) I e III somente. 
 
Considere as afirmativas abaixo que são relacionadas ao conjunto S1=[2,4[ U {5}⊆R. 
(I) Conjunto dos pontos exteriores de S: ext(S1)=]-∞,2] U ]4,5[ U ]5,+∞[ 
(II) Conjunto de pontos aderentes a S (fecho) de S: S¯1=[2,4]U{5} 
(III) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´1=[2,4] 
Com relação ao conjunto em questão e as afirmativas, é correto: 
( ) II e III somente. 
( ) I e II somente. 
( ) II somente. 
(x) I, II e III. 
( ) I e III somente. 
 
Dentre os conjuntos abaixo relacionados, assinale o único que é finito: 
( ) {x ∈ Z : x > -3 } 
( ) {x ∈ R : x > 3} 
( ) {x ∈ R : 3 < x < 5} 
(x) {x ∈ Z: 2 < x < 7} 
( ) {x ∈ N : x > 7} 
 
O conjunto dos números racionais é: 
( ) não enumerávele finito. 
( ) subconjunto dos naturais. 
( ) enumerável e finito. 
( ) não enumerável e infinito. 
(x) enumerável e infinito. 
 
Marque a alternativa onde o enunciado do Princípio da indução está correto. 
( ) Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é 
verdadeira. (2) Para todo inteiro positivo k, P(k) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é 
verdadeira para todo natural n. 
(x) Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é 
verdadeira. (2) Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira. Nestas 
condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n. 
( ) Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é 
verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n. 
( ) Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) P(1) é 
verdadeira. P(k+1) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo natural n. 
( ) Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as condições: (1) Para todo 
inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k+1)também é verdadeira. Nestas condições, a 
proposição P(n) é verdadeira para todo natural n. 
 
Considere a sequência infinita f : N*→Q onde f (n ) = 2n. Podemos afirmar que: 
(x) O conjunto imagem da função é enumerável 
( ) O menor valor que a função assume é igual a 1. 
( ) O maior valor que a função assume é 1024. 
( ) Existe uma imagem que é negativa. 
( )O conjunto imagem da função é não enumerável. 
 
Se a e b são números reais positivos e a.a > b.b, então: 
( ) a < b. 
( ) a = b. 
( ) a é ímpar. 
(x) a > b. 
( ) a é par. 
 
Analise a convergência da série ∑n=1∞(3nn!) 
(x) Como o resultado do limite é 0 podemos concluir que a série é convergente. 
( ) Como o resultado do limite é 3 podemos concluir que a série é convergente. 
( ) Como o resultado do limite é 2 podemos concluir que a série é divergente. 
( ) Como o resultado do limite é 2 podemos concluir que a série é convergente. 
( ) Como o resultado do limite é 0 podemos concluir que a série é divergente. 
 
Se a e b são números inteiros, 1 ≤ a < b ≤ 9 , o menor valor que a+bab pode assumir é: 
( ) 2/ 9 
( ) 1 
(x) 17 / 72 
( ) 15/56 
( ) 9 / 20 
 
Analise a convergência da série ∑n=1∞(1en). 
( ) Pela Regra de L´Hospital podemos afirmar que diverge. 
( ) Pelo teorema do confronto podemos afirmar que a série é divergente. 
( ) Pelo teorema do confronto podemos afirmar que é convergente para 10. 
(x) Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é convergente. 
( ) Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é divergente. 
 
Qual é a afirmação verdadeira? 
( ) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional. 
( ) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional. 
( ) O quadrado de um número irracional é um número racional. 
(x) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. 
( ) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional. 
 
Considere as seguintes séries: 
(a) ∑1n (série harmônica de ordem 1) 
(b) ∑1n2 (série harmônica de ordem 2) 
(c) ∑1n (série harmônica de ordem 1/2) 
(d) ∑(-1)n+1n (série harmônica alternada) 
(e) ∑1n3 (série harmônica de ordem 3) 
Identifique as séries convergentes. 
( ) (b), (c), (e) 
(x) (b), (d), (e) 
( ) (c),(d),(e) 
( ) (a), (b), (c) 
( ) (b), (c),(d) 
 
Com relação a noção de conjunto enumerável e aos conjuntos dados, é somente correto afirmar que: 
(I) O conjunto N é enumerável, pois a função φ : N->N, definida por φ(n) = n é bijetiva. 
(II) O conjunto {2, 4, 6, . . .} é enumerável, pois a função φ : N->N, definida por φ(n) = 2n é bijetiva. 
(III) O conjunto −1,−2,−3,−4, . . . ,−n, . . . é enumerável, pois a função φ : N->N, definida por φ(n) = -n é bijetiva. 
( ) (II) e (III) 
( ) (I) e (III) 
( ) (I) 
(x) (I), (II) e (III) 
( ) (I) e (II) 
 
Um conjunto será infinito quando não for finito. Dessa forma, é somente correto definir conjunto infinito como: 
( ) A é infinito quando não é vazio ou qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A. 
( ) A é infinito quando qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A. 
( ) A é infinito somente quando qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A. 
(x) A é infinito quando não é vazio e, qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A. 
( ) A é infinito quando não é vazio ou existir n∈N, tal que não existe uma bijeção φ:In→A. 
 
Utilizando o teste da integral, determine se a série infinita ∑n=1∞(lnnn) é convergente ou divergente. 
( ) Pelo teste da integral encontramos como resultado 0, logo a série é convergente. 
( ) Pelo teste da integral encontramos como resultado -3, logo a série é divergente. 
( ) Pelo teste da integral encontramos como resultado 3, logo a série é convergente. 
(x) Pelo teste da integral encontramos como resultado ∞, logo a série é divergente. 
( ) Pelo teste da integral encontramos como resultado 1, logo a série é convergente. 
 
Considere as afirmativas a seguir. 
(I) Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y de X é finito. 
(II) Não pode existir uma bijeção f: X-> Y de um conjunto finito X em uma parte própria Y C X. 
(III) Seja A C In. Se existir uma bijeção f: In-> A, então A=In . 
Com relação a elas, é correto afirmar: 
( ) I e III somente. 
( ) I e II somente. 
( ) II somente. 
( ) II e III somente. 
(x) I, II e III. 
 
O ínfimo do conjunto A = { (3+2n)/(3-2n) : n ∈ N} , é igual a : 
( ) -8 
( ) -5 
(x) -7 
( ) -6 
( ) -4 
 
A soma dos valores reais de x que são raízes da equação |2x+2| = 6x-18 é: 
( ) 8 
( ) 6 
( ) 9 
( ) 5 
(x) 7 
 
Considere o resultado: 
Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então −(−a) = a. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado. 
( ) Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então (−a) = a. Seja (-a) + a = 0. Usando o teorema (*) , temos: a = -(-a), 
logo podemos concluir que -(-a) = a 
(*) Se a + b = 0 , então b = -a 
( ) Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então −(a) = a. Seja (-a) + a = 0. Usando o teorema , temos: a = -(-a), 
logo podemos concluir que -(-a) = - a 
(*) Se a + b = 0 , então b = -a 
( ) Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então (−a) = a. Seja (-a) + a = 0. Usando o teorema (*) , temos: a = -(-a), 
logo podemos concluir que -(-a) = a 
(*) Se a + b = 0, então b = -a 
( ) Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então −(−a) = a. Seja (-a) + a = 0. Usando o teorema (*) , temos: a = -(-
a), logo podemos concluir que -(-a) = a 
(*) Se a - b = 0, então b = a 
(x) Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então −(−a) = a. Seja (-a) + a = 0. Usando o teorema (*) , temos: a = -(-
a), logo podemos concluir que -(-a) = a 
(*) Se a + b = 0, então b = -a 
 
Se |x-2| < 3, podemos afirmar que o valor do número real x pertence: 
( ) ] -1 , 5 ] 
( ) { -1 , 5 } 
(x) ] -1 , 5 [ 
( ) [ -1 , 5 ] 
( ) [ - 1 , 5 [ 
 
Teste da Comparação Dadas as séries an e bn , an > 0; bn > 0 e an < bn , n, temos que Se a série bn converge 
então a série an converge. Se série an diverge então Série bn diverge. Analise o critério exposto acima e avalie 
entre as opções abaixo, a que não se enquadra nesse critério de convergência: 
( ) Se an < bn e a série bn diverge nada podemos afirmar sobre a série an. 
( ) Se an < bn e a série an converge nada podemos afirmar sobre a série bn. 
( ) O teste também se aplica se temos an < bn para todo n > no 
(x) Nunca utilizar séries geométricas e p-sériespara servirem de comparação. 
( ) Este teste é chamado teste do confronto ou comparação simples 
 
Considere o resultado: Se z, a em R, tais que z + a = a, então z = 0. Marque a alternativa que apresenta a 
demonstração correta dele. 
( ) 1. Hip z + a = a 
2. assoc z + (a + (-a)) = a + (-a) 
3. elem neutro z = 0 
( ) 1. fech (z + a) + (-a) = a + (-a) 
2. assoc z + (a + (-a)) = a + (-a) 
3. elem neutro z = 0 
( ) 1. Hip z + a = a 
2. fech (z + a) + (-a) = a + (-a) 
3. elem neutro z = 0 
(x) 1. Hip z + a = a 
2. fech (z + a) + (-a) = a + (-a) 
3. assoc z + (a + (-a)) = a + (-a) 
4. elem neutro z = 0 
( ) 1. Hip z + a = a 
2. fech z + a = a + (-a) 
3. assoc z + (a + (-a)) = a + (-a) 
4. elem neutro z = 0 
 
Se |x| = |y| então é correto afirmar que 
( ) y < 0 
( ) x = -y 
(x) x = y e x = -y 
( ) x = y 
( ) x > 0 
 
Dentre as séries abaixo, assinale na única que é definida divergente, utilizando o recurso da comparação com 
limites. 
( ) 1/(1+3n) 
( ) 1/(n2+2) 
( ) 1/n4 + n2 + 2 
(x) 2/(2n - 1) 
( ) n+1/n3 
 
A equação |x-1| = |x| +1 
( ) tem uma única solução. 
( ) tem somente duas soluções. 
( ) tem exatamente 4 soluções. 
(x) tem uma infinidade de soluções. 
( ) não tem solução. 
 
O ínfimo do conjunto A = {(3+2n)/(3-2n) : n ∈ N} , é igual a : 
( ) -6 
( ) -8 
(x) -7 
( ) -5 
( ) -4 
 
Analisando a série de termos positivos cujo termo geral é 1/n , verifica-se que a série: 
( ) converge para 1. 
( ) converge para n. 
( ) converge para 0 
( ) converge para 1/3. 
(x) diverge. 
 
Sabendo que a série 1/(n2) é convergente, então, por comparação podemos afirmar que a série convergente , 
dentre as opções será: 
( )1/x-2. 
( ) 2n. 
( )série 1/n. 
( )1/n3. 
(x)série |sen n|/n2 
 
Analisando pelo critério de comparação com limite, a série 1/ln(k) será identificada como: 
(x) Divergente e o valor do limite será +∞ 
( ) Convergente e o valor do limite será 0 
( )Convergente e o valor do limite será 2 
( )Divergente e o valor do limite será 1 
( ) Divergente e o valor do limite será -∞ 
 
Sejam a e b dois números ímpares. É correto afirmar que: a2 + b2 pode ser um número ímpar. 
( ) a2 + b2 é sempre um número ímpar. 
(x) a2 + b2 é sempre um número par. 
( ) Não é um número real 
( ) a2 - b2 pode ser um número ímpar. 
( ) Depende dos valores de a e b 
 
Analise a convergência da série ∑n=1∞(2n+33n+2)n. Determine o limite de an quando n tende ao infinito e se 
a série converge ou diverge. 
( ) O limite de an quando n tende a infinito será òo, portanto a série diverge. 
( ) O limite de an quando n tende a infinito será -2, portanto a série diverge. 
( ) O limite de an 
(x) O limite de an 
( ) O limite de an quando n tende a infinito será 2, portanto a série converge. 
 
 
Analise a convergência da série ∑n=1∞(-1)n(ln(n+1))n. Determine o limite de an quando n tende ao infinito e 
se a série converge ou diverge. 
( ) O limite de an quando n tende a infinito será 1, portanto a série converge absolutamente pelo teste da razão 
e consequentemente podemos dizer que a série converge. 
( ) O limite de an quando n tende a infinito será 3, portanto a série converge absolutamente pelo teste da razão 
e consequentemente podemos dizer que a série converge. 
( ) O limite de an quando n tende a infinito será ∞, portanto a série diverge absolutamente pelo teste da razão 
e consequentemente podemos dizer que a série diverge. 
( ) O limite de an quando n tende a infinito será -3, portanto a série diverge absolutamente pelo teste da razão 
e consequentemente podemos dizer que a série diverge. 
(x) O limite de an quando n tende a infinito será zero, portanto a série converge absolutamente pelo teste da 
razão e consequentemente podemos dizer que a série converge. 
 
Analisando se a série n/(ln n)n é convergente ou divergente, conclui-se que: 
( ) nada podemos afirmar pois o limite vale 1 
( ) a série converge pois o limite vale 2/3 
( ) a série diverge pois o limite vale 2,5 
( ) a série diverge pois o limite vale 9/3 
(x) a série converge pois o limite vale 0 
 
Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n!/(2n+1)! conclui-se que a mesma: 
( ) diverge pois o lim an+1/an vale 3/2 
( ) converge pois o lim an+1/an vale 0,2 
( ) converge pois o lim an+1/an vale 1/3 
(x) converge pois o lim an+1/an vale 0 
( ) converge pois o lim an+1/an vale 9/10 
 
Sejam a e b dois números ímpares. É correto afirmar que : a2 + b2 pode ser um número ímpar. 
( ) Não é um número real 
( ) a2 - b2 pode ser um número ímpar. 
( ) Depende dos valores de a e b 
(x) a2 + b2 é sempre um número par. 
( ) a2 + b2 é sempre um número ímpar. 
 
As séries 1-1/2+1/2-1/3+1/3 - 1/4 +1/4 - 1/5+1/5 -..... e 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + 1/4.5 +.... convergem? 
(x) Sim, convergirão, tendo como o mesmo limite 1 
( ) Sim, convergirão, tendo as séries como o limite 1 e limite 0 respectivamente. 
( ) Sim, convergirão, tendo como o mesmo limite 1,5 
( ) Não, convergirá 
( ) Sim, convergirão, tendo como o mesmo limite 0,4 
 
Se a e b são números inteiros, 1 ≤ a < b ≤ 9 , o menor valor que a+bab pode assumir é : 
( ) 1 
(x) 17 / 72 
( ) 9 / 20 
( ) 15/56 
( ) 2/ 9 
 
A expressão (2n+3)/2n não é maior que 6. Sabendo que n é um número natural diferente de zero, podemos 
afirmar que a soma dos valores de n que atende as condições do problema é igual a : 
( ) 3 
( ) 5 
( ) 7 
( ) 4 
(x) 6 
 
A série (-1)n+1 convergirá pelo teste de Leibnitz se: 
( ) an forem positivos , an+1 > an para todo n>N para N inteiro e lim an = 0 
( ) an forem negativos , an > an+1 para todo n>N para N inteiro e lim an = 0 
( ) an forem positivos , an > an+1 para todo n>N para N inteiro e lim an = infinito 
(x) an forem positivos , an > an+1 para todo n>N para N inteiro e lim an = 0 
( ) an positivos para alguns n , an > an+1 para todo n>N para N inteiro e lim an = 1 
 
Se a e b são números naturais diferentes de zero, quantos são maiores que ab e menores que a(b+1)? 
( ) Um 
( ) b-1 
( ) a + b -1 
( ) Nenhum 
(x) a-1 
 
A desigualdade 1/(x+1) ≥ 0 é satisfeita se: 
( ) x > 0 
( ) x< -1 
( ) x = -1 
(x) x > -1 
( ) x < 0 
Se a e b são números reais positivos e a.a > b.b, então: 
( ) a é ímpar 
( ) a = b 
(x) a > b 
( ) a é par 
( ) a < b 
 
A série 1/3-1/2+1/9-1/4+1/27-...-1/8+...+1/3 não satisfaz as condições do teste de Leibniz pelo seguinte 
motivo: 
( ) a série não é alternada. 
( ) limite do termo geral é diferente de zero. 
(x) an>an+1 é falso pois 1/3<1/2. 
( ) an não são todos positivos. 
( ) an+1>an para todo n. 
 
Analisando a série alternada (-1)n+1.(1n) conclui-se que : 
(x) A série é convergente com limite 0. 
( ) A série é convergente com limite 0,8. 
( ) A série é divergente com limite é igual a infinito. 
( ) A série é convergente com limite 1/n. 
( ) A série é convergente com limite 0,6. 
 
Sendo a e b reais quaisquer e m um número real diferente de zero, então: 
( ) a ≥ b e a m ≤ b m → m < 0. 
(x) a < b , m >0 → a m < b m. 
( ) a < b e a m < b m → m < 0. 
( ) a > b e a m > b m → m = 1. 
( ) a≥ b e a m ≥ b m → m≥ 1. 
 
Analise a convergência da série ∑n=2∞(-1)nlnn é. 
( ) Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∑n=1∞|(-1)nlnn| diverge 
e ∑n=2∞1lnn converge. Portanto, a série dada é condicionalmente divergente. 
(x) Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∑n=1∞|(-1)nlnn| diverge e∑n=2∞1lnndiverge. Portanto, 
a série dada é condicionalmente convergente. 
( ) Pelo teste de Leibniz a série converge, então ∑n=1∞|(-1)nlnn| converge e ∑n=2∞1lnn diverge. Portanto, a 
série dada é condicionalmente convergente. 
( ) Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∑n=1∞|(-1)nlnn| diverge e ∑n=2∞1lnn diverge. Portanto, 
a série dada é condicionalmente convergente. 
( ) Pelo teste de Leibniz a série diverge, então ∑n=1∞|(-1)nlnn| diverge e ∑n=2∞1lnn diverge. Portanto, a 
série dada é condicionalmente convergente. 
 
Se 0 < x < 1, qual dos números abaixo é maior que x? 
( ) –x 
( ) x . x 
( ) 0,9 x 
( ) x . x . x 
(x) √x 
 
Considerando o teorema que apresenta o teste de séries alternadas 
(-1)n . an (Teste de Leibniz), em qual das opções abaixo não apresenta a característica para definir a 
convergência: 
( ) Termos alternadamente com sinais trocados. 
( ) lim an = 0 
(x) an+1 > an para todo n inteiro positivo 
( ) an >0 para todo n. 
( ) Termos da série decrescendo 
 
Se a e b são números inteiros, 1 ≤ a < b ≤ 9 , o menor valor que a+bab pode assumir é : 
( ) 15/56 
(x) 17 / 72 
( ) 2/ 9 
( ) 1 
( ) 9 / 20 
 
A desigualdade 1/(x+1) ≥ 0 é satisfeita se : 
( ) x = -1 
( ) x < 0 
(x) x > -1 
( ) x< -1 
( ) x > 0 
 
A série (-1)n+1 convergirá pelo teste de Leibnitz se: 
( ) an forem positivos , an+1 > an para todo n>N para N inteiro e lim an =0 
( ) an positivos para alguns n , an > an+1 para todo n>N para N inteiro e lim an =1 
( ) an forem positivos , an > an+1 para todo n>N para N inteiro e lim an = infinito 
( ) an forem negativos , an > an+1 para todo n>N para N inteiro e lim an =0 
(x) an forem positivos , an > an+1 para todo n>N para N inteiro e lim an =0 
 
A expressão (2n+3)/2n não é maior que 6. Sabendo que n é um número natural diferente de zero, podemos 
afirmar que a soma dos valores de n que atende as condições do problema é igual a : 
( ) 4 
( ) 7 
( ) 5 
(x) 6 
( ) 3 
 
Analise a convergência da série ∑n=2∞(-1)nlnn é. 
(x) Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∑n=1∞|(-1)nlnn| diverge e∑n=2∞1lnn diverge. Portanto, 
a série dada é condicionalmente convergente. 
( ) Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∑n=1∞|(-1)nlnn| diverge e ∑n=2∞1lnn diverge. Portanto, 
a série dada é condicionalmente convergente. 
( ) Pelo teste de Leibniz a série diverge, então ∑n=1∞|(-1)nlnn| diverge e ∑n=2∞1lnn diverge. Portanto, a 
série dada é condicionalmente convergente. 
( ) Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∑n=1∞|(-1)nlnn| diverge 
e ∑n=2∞1lnn converge. Portanto, a série dada é condicionalmente divergente. 
( ) Pelo teste de Leibniz a série converge, então ∑n=1∞|(-1)nlnn| converge e ∑n=2∞1lnn diverge. Portanto, a 
série dada é condicionalmente convergente. 
 
A equação |x-1| = |x| +1 
( ) tem uma única solução. 
(x) tem uma infinidade de soluções. 
( ) não tem solução. 
( ) tem exatamente 4 soluções. 
( ) tem somente duas soluções. 
 
Se |x-3| = 5 então podemos afirmar que o número real x é igual a: 
( ) x = 2 
( ) x = -2 
( ) x = 3 
(x) x = 8 e x = - 2 
( ) x = 8 
 
Analise a convergência da série ∑n=1∞((-1)n+1)(n+1n+2) 
( ) Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) = 0, portanto a série dada é convergente. 
( ) Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) =1, portanto a série dada é divergente. 
( ) Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) =1, portanto a série dada é convergente. 
( ) Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) = 0, portanto a série dada é divergente. 
(x) Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) não existe, portanto a série dada é divergente. 
 
Analisando a convergência da série (-1)n+1[n+2/n(n+1)] a forma mais correta possível de concluir a 
classificação dessa série,quanto a convergência, é : 
( ) análise inconcludente. 
( ) divergente. 
(x) condicionalmente convergente. 
( ) absolutamente convergente. 
( ) convergente. 
 
Verificando a convergência da série de somatório (-1)n+1 .n2n concluímos que : 
( ) a série é divergente 
( ) pelo teste da razão, a série converge para o limite 0,2 
( ) pelo teste da razão, a série converge para o limite 3/7 
( ) pelo teste da razão é inconcludente. 
(x) pelo teste da razão, a série é absolutamente convergente e portanto convergente. 
 
Analisando a série somatório de 1/n3/2 verificamos que a mesma: 
( ) diverge. 
( ) converge para todos os casos. 
( ) não é possível concluir. 
(x) converge absolutamente. 
( ) converge condicionalmente. 
 
Analise a convergência da série ∑n=1∞|cosn|(3nn!). 
( ) é divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente. 
( ) é divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente. 
( ) é divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente divergente. 
( ) não podemos afirmar nada. 
(x) é convergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é absolutamente convergente. 
 
Analise a convergência da série ∑n=1∞(-1)nn2+1. 
(x) Usando o teste da comparação com a série p concluímos que esta é convergente, segue então que a 
série dada é absolutamente convergente. 
( ) Usando o teste da comparação com a série p, segue que a série dada é divergente. 
( ) Usando o teste da comparação com a série p, notamos que ela é convergente, segue então que a série 
dada é divergente. 
( ) Usando o teste da comparação com a série p, concluímos que esta é convergente, segue então que a 
série dada é absolutamente convergente. 
( ) Usando o teste da comparação com a série p, segue que a série dada é absolutamente convergente. 
 
Seja a série ∑n=1∞(n!xn). Analise a convergência da série usando o teste da razão. 
( ) Se x = 0, temos que a série diverge. 
( ) Se x ¹ 0, temos que a série diverge. 
( ) Não podemos concluir nada sobre a convergência da série. 
( ) Se x = 0, temos que a série diverge e se x ¹ 0 a série converge. 
(x) Se x ¹ 0, temos que a série diverge e se x = 0 a série converge. 
 
Encontre Dx (1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...). 
( ) ∑n=1∞n(n+1)xn-1 , |x|> 1 
(x) ∑n=1∞n(n+1)xn-1 , |x|< 1 
( ) ∑n=1∞(n+1)xn-1 , |x|< 1 
( ) ∑n=1∞nxn-1 , |x|< 1 
( ) ∑n=1∞xn-1 , |x|< 1 
 
Seja A={x∈Q:x=(-1)nn-1,n∈N} O supremo e o ínfimo do conjunto dado A são respectivamente: 
( ) 1 e 0 
( ) 0 e -1 
( ) 1 e -1 
(x) 1/2 e -1 
( ) 1/2 e 0 
 
Qual das opções abaixo retrata uma característica que NÃO corresponde ao teorema da convergência para 
séries de potências: 
( ) Se a série diverge para um valor x=d então ela divergirá para todo x, com abs(x)>abs(d) 
( ) Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá absolutamente para todo x, 
( ) Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá absolutamente para todo x, com abs(x)>abs(c) 
( ) Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá condicionalmente para todo x, com 
abs(x)<abs(c)< td=""></abs(c)<> 
(x) Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá absolutamente para todo x, com abs(x)<abs(c)< 
td=""></abs(c)<> 
 
O ínfimo do conjunto A = ]-1,0] U [2,3[ é igual a : 
( ) 0 
(x) -1 
( ) -8 
( ) 2 
( ) -6 
 
Considere os dois conjuntos A={y ∈ Q tal que 0<y<="y<=1}. Com relação a estes dois conjuntos e a teoria de 
cotas superiores, inferiores, supremos e ínfimos é somente correto afirmar que: 
(I) SupA=1 e 1∈A. 
(II) Sup A= Sup B. 
(III) Inf B=-1 e 1/2 ∈B</y 
( ) (III) 
( ) (II) e (III) 
( ) (I) 
(x) (II) 
( ) (I) e (III) 
 
Seja F um corpo ordenado e A um subconjunto de F limitado inferiormente. Com relação a noção de ínfimo de um 
conjunto é somente correto afirmar que: 
(I) O ínfimo de A é a maior das cotas inferiores de A. 
(II) x ∈ F é ínfimo de A, se x for uma cota inferior de A, e se z for uma cota inferior de A entãox<=z. 
(III) O ínfimo de A sempre pertence ao conjunto A. 
( ) (I) 
( ) (III) 
(x) (I) e (II) 
( ) (I) e (III) 
( ) (II) 
 
Seja A={x∈R:x=nn+1,n∈N}. Determinando o ínfimo e o supremo do conjunto A obtemos, respectivamente: 
( ) 0 e 1 
( ) 0 e 1/2 
( ) -1 e 1 
(x) 1/2 e 1 
( ) -1 e 1/2 
 
Determine o ínfimo do conjunto E = {x∈R;3x2-10x+3<0}. 
( ) Inf E = 3 
(x) Inf E = 1/3 
( ) Inf E = 1 
( ) Inf E = 1/2 
( ) Inf E = 2 
 
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série ∑n=1∞(x+2)n2n. 
( ) raio de convergência R = 5 e o intervalo de convergência (-10,0). 
(x) raio de convergência R = 2 e o intervalo de convergência (-4,0). 
( ) raio de convergência R = 3 e o intervalo de convergência (0,-6). 
( ) raio de convergência R = 3 e o intervalo de convergência (-6,0). 
( ) raio de convergência R = 4 e o intervalo de convergência (-4,0). 
 
Determine o supremo do conjunto E = {x∈R; 3x2 - 10x + 3<0}. 
( ) Sup E = 0 
( ) Sup E = 1/2 
( ) Sup E = 1/3 
( ) Sup E = 2 
(x) Sup E = 3 
 
Seja a função f(x) = x3. Determine a aproximação por um polinômio de Taylor de grau 3 em a = 8. 
( ) a aproximação será T2x. 
( ) a aproximação será x3 ≈ T2x. 
( ) a aproximação será x3 ≈ T1x. 
( ) a aproximação será T3x. 
(x) a aproximação será x3 ≈ T3x. 
 
Determinando o intervalo de convergência da série somatório (x+5)n ,encontramos: 
( ) -5<x<4< td=""></x<4<> 
(x) -6<x<-4< td=""></x<-4<> 
( ) -5<x<-1< td=""></x<-1<> 
( ) -5<x<5< td=""></x<5<> 
( ) -1<x<3< td=""></x<3<> 
 
Seja A={x∈Q:x=(-1)nn-1,n∈N} O supremo e o ínfimo do conjunto dado A são respectivamente: 
( ) 1 e 0 
(x) 1/2 e -1 
( ) 1/2 e 0 
( ) 1 e -1 
( ) 0 e -1 
 
Achar o ínfimo, se existir, do conjunto A ={ x∈ R : x = 1n , n ∈ N* }. 
(x) 0 
( ) 1 
( ) -5 
( ) 4 
( ) 3 
 
Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n^3/e^n conclui-se que a mesma : 
( ) converge pois o lim an+1/an vale 1/3 
(x) converge pois o lim an+1/an vale 1/e 
( ) converge pois o lim an+1/an vale 1/2 
( ) diverge pois o lim an+1/an vale 5/3 
( ) diverge pois o lim an+1/an vale 2,5 
 
Seja a série ∑n=1∞(n!xn). Analise a convergência da série usando o teste da razão. 
(x) Se x ¹ 0, temos que a série diverge e se x = 0 a série converge. 
( ) Não podemos concluir nada sobre a convergência da série. 
( ) Se x = 0, temos que a série diverge. 
( ) Se x = 0, temos que a série diverge e se x ¹ 0 a série converge. 
( ) Se x ¹ 0, temos que a série diverge. 
 
Seja a função = x2 se 0 < x < 2π, com f(x+ 2π) = f(x) para todo x real e sua série de Fourier definida como g(x) = 
(4π2)/3+ 4∑n=1∞(cos(nx)n2) - (π sen nx)/n. Analise a convergência em x = 0. 
(x) Em x = 0 a série de Fourier converge para 2π2. 
( ) Em x = 0 a série de Fourier diverge. 
( ) Em x = 0 a série de Fourier converge para π2. 
( ) Em x = 0 a série de Fourier converge para 2π. 
( ) Em x = 0 a série de Fourier diverge para 2 + π2. 
 
Indique, entre as opções abaixo, a série de Fourier de f(t) = t no intervalo [- 3,3]. Esboce o gráfico da função 
gerada pela série no conjunto dos números reais 
 ( ) f(x)= 8/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n]/n 
( ) f(x)= 7/pi somatório de sen( n.pi.t) [(-1)¿n+1]/n 
(x) f(x)= 6/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n 
( ) f(x)= 3/pi somatório de sen( n.t/3) [(-1)¿n+1]/n 
( ) f(x)= 4/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n 
 
Desenvolva f(x)= cos x, se 0 < x < p , numa série de Fourier Seno. Como deverá ser definida a função f(x) em x = 
0 e x = p para que a série convirja para f(x) em 0 < x < p? 
(x) f(x)= 8/pi somatório de (nsen2nx)/(4n¿2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0. 
( ) f(x)= 4/pi somatório de (nsen2nx)/(4n - 1) ; f(pi) = 0 . 
( ) f(x)= 5/pi somatório de (sen nx)/(2n¿2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0 . 
( ) f(x)= 8/pi somatório de (sen2n)/(n-1) ; f (0) = f(pi) = 0 . 
( ) f(x)= 10/pi somatório de (nsen nx)/(4n¿2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0 . 
 
Considere as afirmações sobre cortes: 
(I) Todo corte em R é determinado por um numero real. 
(II) Se (A,B) é um corte em R então existe um só numero c pertencente ao conjunto dos números reais tal que 
a< c, para qualquer a ∈A e c < b, para qualquer b ∈ B. 
(III) Considere um elemento fixo c pertencente ao conjunto dos reais. O par ordenado (A,B) , onde A={x ∈R: 
x<=c} e B={x∈ R : x>c} é um corte para R. 
É somente correto afirmar que 
( ) (I) 
( ) (III) 
( ) (II) e (III) 
(x) (I) e (III) 
( ) (I) e (II) 
 
Indique, entre as opções abaixo, a série de Fourier de f(t) = t no intervalo [- 3,3]. Esboce o gráfico da função 
gerada pela série no conjunto dos números reais 
(x) f(x)= 6/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n 
( ) f(x)= 3/pi somatório de sen( n.t/3) [(-1)¿n+1]/n 
( ) f(x)= 4/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n 
( ) f(x)= 8/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n]/n 
( ) f(x)= 7/pi somatório de sen( n.pi.t) [(-1)¿n+1]/n 
 
Analisando a série de termos positivos cujo termo geral é 1/raiz(n), verifica-se que a série: 
( ) Converge para 1/3. 
( ) Converge para 0. 
( ) Converge para n. 
( ) Converge para 1. 
(x) Diverge. 
 
A noção de bola é fundamental no estudo de espaços métricos. Considerando x como um ponto no espaço 
métrico E e dado um número real r>0, considere as afirmativas a seguir. 
(I) Uma bola aberta de centro x e raio r é também chamada uma vizinhança de x. 
(II) Uma boa aberta pode ser indicada por N(x,r)={y∈Rp, ||x-y|} 
(III) Uma boa aberta pode ser indicada por N(x,r)={y∈Rp, d(x,y)} 
Com relação a noção de bola e ás afirmativas acima, é correto 
( ) I e III somente. 
( ) I e II somente. 
(x) I, II e III. 
( ) I, somente. 
( ) II e III somente. 
 
Observe a sequencia de intervalos a seguir: 
 
Com relação a estes intervalos é somente correto afirmar que: 
(I) Trata-se da sequencia de intervalos In=[0,1/n[, com n pertencente a N. 
(II) Esta sequencia de intervalos é encaixante. 
(III) a sequencia de intervalos não possui ponto em comum. 
( ) (II) e (III) 
( ) (II) 
( ) (I) e (III) 
( ) (I), (II) e (III) 
(x) (I) e (II) 
 
Dada a seguinte função periódica: f(t) = t , se - 3 < t < 3, e f(t + 6) = f (t), para t real, determine os coeficientes a0, 
a3 e b5 da série de Fourier. 
(x) a0 = 3, a3 = -4/3π2 e b5 = 0 
( ) a0 =4, a3 = -4/3π2 e b5 =7 
( ) a0 =4, a3 = -3/3π2 e b5 = 0 
( ) a0 =6, a3 = -2/3π2 e b5 =1 
( ) a0 =3, a3 = -3/3π2 e b5 =5 
 
 
( ) f(x) = 4/π2 (cos x+1/9 sen(3x)+1/25 cos 5x +1) 
( ) f(x) = 1/2 - 4/π2 (cos x+1/25 cos 5x +...) 
( ) f(x) = 1/2 - 4/π2 (cos x+sen(3x)+⋯) 
( ) f(x) = 1/2- 4/π(cos x+1/3 sen(3x)+1/5 cos 5x +...) 
(x) f(x) = 1/2 - 4/π2 (cos x + 1/9 sen(3x)+1/25 cos 5x+...) 
 
Desenvolva f (x) = cos(kx) , onde k é um inteiro, em série de Fourier, no intervalo (-pi,+pi). 
( ) f (x) = ncos(kx) . 
( ) f (x) = cos(x) . 
( ) f (x) = cos(kx/2) . 
(x) f (x) = cos(kx) 
( ) f (x) = cos(2x) . 
 
Seja a função = x2 se 0 < x < 2π, com f(x+ 2π) = f(x) para todo x real e sua série de Fourier definida comog(x) = 
(4π2)/3+ 4∑n=1∞(cos(nx)n2) - (π sen nx)/n. Analise a convergência em x = 0. 
(x) Em x = 0 a série de Fourier converge para 2π2. 
( ) Em x = 0 a série de Fourier converge para 2π. 
( ) Em x = 0 a série de Fourier converge para π2. 
( ) Em x = 0 a série de Fourier diverge. 
( ) Em x = 0 a série de Fourier diverge para 2 + π2. 
 
Desenvolva f(x)= cos x, se 0 < x < p , numa série de Fourier Seno. Como deverá ser definida a função f(x) em x = 0 
e x = p para que a série convirja para f(x) em 0 < x < p? 
( ) f(x)= 8/pi somatório de (sen2n)/(n-1) ; f (0) = f(pi) = 0 . 
(x) f(x)= 8/pi somatório de (nsen2nx)/(4n¿2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0 . 
( ) f(x)= 5/pi somatório de (sen nx)/(2n¿2 - 1); f (0) = f(pi) = 0 . 
( ) f(x)= 10/pi somatório de (nsen nx)/(4n¿2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0 . 
( ) f(x)= 4/pi somatório de (nsen2nx)/(4n - 1) ; f(pi) = 0 . 
 
Com relação a celas, é somente correto afirmar que: 
(x) O conjunto { x ∈ R : 3<x<=7} é="" uma="" cela="" semi-aberta="" definida="" por="" 3="" e="" 7.<="" 
td=""></x<=7}> 
( ) No conjunto {x ∈ R : x>4}, não há uma extremidade definida. 
( ) O conjunto{x ∈ R : x<3} é um raio aberto definido por +oo. 
( ) O conjunto { x ∈ R : -2<x<="" td=""></x 
( ) O conjunto { x ∈ R : -5<x<="" td=""></x 
 
Observe a sequencia de intervalos a seguir: 
 
Com relação a estes intervalos é somente correto afirmar que: 
(I) Trata-se da sequencia de intervalos In=[n,+oo[, com n pertencente a N. 
(II) Esta sequencia de intervalos é encaixante. 
(III) a sequencia de intervalos não possui ponto em comum. 
( ) (II) e (III). 
( ) (I) e (III). 
( ) (I) e (II) 
(x) (I), (II) e (III). 
( ) (I). 
 
Suponha que f(x) possui período 2π. Determine a série de Fourier da função f(x), onde f(x) é definida por zero se 
- π < x < 0 ou 1 se 0 < x < π. 
( ) A série de Fourier será f(x) = 1/2+2 (sen x+ 1/3 sen (3x)+ ...) 
( ) A série de Fourier será f(x) = 3+ (sen 3x+ 7 sen (x)+ ...) 
( ) A série de Fourier será f(x) = 1+ 2 (3sen x+ 5 sen (2x)+ ...) 
( ) A série de Fourier será f(x) = 2+5(cos x+ cos (x)+ ...) 
(x) A série de Fourier será f(x) = 1/2+2/π(sen x+ 1/3 sen (3x)+ ...)