analise matematica

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1)
No estudo dos conjuntos numéricos, em geral, partimos dos números naturais devido, entre outros aspectos, à associação com a contagem. A partir das propriedades dos números naturais podemos, inclusive, deduzir e provar relações válidas em outros conjuntos numéricos.
Considerando as características do conjunto dos números naturais, suas operações e propriedades, analise as afirmações apresentadas a seguir:
I. Ao dividirmos qualquer número par por dois obtemos como resultado outro número par.
II. Qualquer número natural admite um sucessor, sendo que o mesmo pode ou não ser primo.
III. A soma entre dois números ímpares sempre resulta em um número par.
IV. Todo número natural, ao ser dividido por zero, resulta em um.
V. Qualquer número dividido por ele mesmo resulta em um número não primo.
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a)
Apenas as afirmações I e III estão corretas.
b)
Apenas as afirmações I, II e IV estão corretas.
c)
Apenas as afirmações II, III e V estão corretas.
Alternativa assinalada
d)
Apenas as afirmações II e IV estão corretas.
e)
Apenas as afirmações III, IV e V estão corretas.
2)
De acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética, qualquer número inteiro maior ou igual a dois admite fatoração única como produto de números primos, a menos da ordem dos fatores. O resultado em questão pode ser comprovado a partir do Princípio da Indução Finita.
Conhecendo as operações e propriedades definidas sobre os conjuntos de números naturais e inteiros, considere os números indicados na sequência:
Qual das seguintes alternativas indica o menor número inteiro positivo k para o qual todos os números apresentados anteriormente sejam inteiros?
Alternativas:
a)
36.
b)
60.
Alternativa assinalada
c)
120.
d)
360.
e)
720.
3)
Quando empregamos as demonstrações matemáticas temos por objetivo apresentar a validade de algum resultado, a qual é obtida a partir da articulação entre argumentos válidos. Em determinados momentos, precisamos adotar expressões genéricas de modo a representar, por exemplo, todos os elementos que pertencem a um dado conjunto numérico, como o conjunto dos números pares ou ímpares.
Nesse sentido, considere os números naturais m e n consecutivos. Com base nessa informação, assinale a alternativa que indica um número natural, dado em função de m e n, que pode ser classificado como um número par:
Alternativas:
a)
m.n + 1.
b)
m + n + 4.
c)
m + n.
d)
m + n + 3.
Alternativa assinalada
e)
4m + 2n + 1.
4)
Um dos precursores do estudo dos conjuntos infinitos foi George Cantor, sendo que este tema é essencial para os estudos desenvolvidos pelo campo da Análise Real.
Considerando as definições e propriedades associadas à cardinalidade e enumerabilidade de conjuntos numéricos, analise as afirmações apresentadas a seguir, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) No caso de um subconjunto C dos números naturais conter o um e o sucessor de todo elemento de C, então todo natural pertence a C, apesar de C não coincidir com o conjunto de números naturais.
(  ) Um conjunto pode ser classificado como infinito quando for possível construir uma correspondência biunívoca entre o conjunto e uma de suas partes próprias, ou seja, um de seus subconjuntos próprios.
(  ) Quando uma função f: X → Y for classificada como injetiva e Y corresponder a um conjunto enumerável, então podemos afirmar que o conjunto X também será enumerável.
(  ) Existem casos em que a união infinita de conjuntos enumeráveis, todos derivados de conjuntos numéricos, pode gerar um conjunto que não pode ser classificado como enumerável.
Assinale a alternativa que indica todas as classificações corretamente, considerando a ordem na qual as afirmações foram apresentadas:
Alternativas:
a)
V – V – F – F.
b)
V – F – V – F.
c)
F – V – V – F.
Alternativa assinalada
d)
F – F – V – V.
e)
F – V – F – V.
5)
Uma categoria específica de números naturais é composta pelos chamados números quadrados perfeitos. Um natural é classificado como quadrado perfeito quando, ao calcularmos sua raiz quadrada, obtivermos como resultado um número natural.
Um estudante, ao resolver um problema envolvendo números naturais, precisa identificar um natural que satisfaça todas as condições indicadas a seguir:
Seja o maior número de três algarismos;
Seja um número natural ímpar;
Seja um quadrado perfeito;
A soma de seus algarismos seja um quadrado perfeito.
Na resolução deste problema, após determinar o número em questão, o estudante calculou a soma dos algarismos que compõem este número. Qual foi o resultado encontrado pelo estudante nesta situação?
Alternativas:
a)
5.
b)
8.
Alternativa assinalada
c)
10.
d)
13.
e)
18.
1)
Seja a sequência S = (s1, s2, s3, s4, ...) de números reais classificada como uma progressão geométrica. Considerando as propriedades que caracterizam esta sequência e as possíveis classificações que podem ser adotadas em função de seus elementos, analise as afirmações apresentadas a seguir:
I. Sabendo que S é caracterizada como uma progressão geométrica, se a razão q desta sequência for um número negativo então também poderá ser classificada como uma sequência estritamente decrescente.
II. Se a progressão geométrica S é limitada e estritamente crescente, com termo s1 positivo e razão q positiva, então a razão q deve ser um valor entre 0 e 1.
III. Como a sequência é uma progressão geométrica então ela deve ser, necessariamente, crescente e a soma de seus n primeiros termos deve ser um valor positivo.
Com base nas afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a)
Apenas a afirmação II está correta.
Alternativa assinalada
b)
Apenas a afirmação III está correta.
c)
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
d)
Apenas as afirmações I e III estão corretas.
e)
Apenas as afirmações II e III estão corretas.
2)
Analise as seguintes afirmações a respeito do conjunto dos números reais, suas operações e propriedades:
I. Para algum número real x é válido que x > 10 e x2 ≤ 64.
II. Para todo número real x é válido que x(x – 1) < x2.
III. Para quaisquer números reais x e y é válido que |x + y| ≤ |x| + |y|.
IV. Existe um número real x para o qual é válido que x2 > 3x + 4.
V. Para qualquer número real x é válido que x2 – x > 0.
Com base nas afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a)
Apenas as afirmações I e III estão corretas.
b)
Apenas as afirmações II e V estão corretas.
c)
Apenas as afirmações III e IV estão corretas.
Alternativa assinalada
d)
Apenas as afirmações IV e V estão corretas.
e)
Apenas as afirmações III, IV e V estão corretas.
3)
Com base no estudo da topologia da reta, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) O conjunto dos números reais pode ser classificado como um corpo, devido às propriedades que são satisfeitas por seus elementos, além de ser classificado como um conjunto ordenado incompleto.
(  ) Dentre as diferentes noções topológicas que podemos estudar em relação aos subconjuntos do conjunto de números reais temos as definições de conjuntos abertos, conjuntos fechados e conjuntos discretos.
(  ) Com base no conjunto de números reais e suas propriedades, dizemos que uma sequência (an) é limitada se, e somente se, for possível identificar limitantes superior e inferior.
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa que indica todas as classificações corretamente, considerando a ordem na qual as afirmações foram apresentadas:
Alternativas:
a)
V – F – F.
b)
V – V – F.
c)
V – F – V.
d)
F – V – V.
Alternativa assinalada
e)
F – F – V.
4)
O estudo das sequências e séries tem início na Educação Básica com as progressões aritméticas e geométricas, bem como de suas principais propriedades. Dentre os tópicos que podem ser estudados, podemos destacar a determinação da razão, a soma dos primeiros termos, entre outros.Em relação a esse conteúdo, analise o seguinte problema:
São conhecidas duas sequências: a progressão geométrica cujos quatro primeiros termos são , nesta ordem, e a progressão aritmética, com os quatro primeiros termos dados, na ordem, por . 
Ao somar os termos correspondentes das duas sequências obtemos uma nova sequência cujos quatro primeiros termos, em ordem, são dados por .
Em relação a esse problema, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) A razão da progressão geométrica é igual a ½, enquanto que a razão da progressão aritmética é igual a 2.
(  ) A razão da progressão geométrica é igual a -2, enquanto que a razão da progressão aritmética é igual a 3.
(  ) Os segundos termos das progressões geométrica e aritmética são ambos iguais a -4.
Com base no problema e nas afirmações apresentadas, assinale a alternativa que indica todas as classificações corretamente, considerando a ordem na qual as afirmações foram apresentadas:
Alternativas:
a)
V – V – F.
b)
V – F – V.
c)
V – F – F.
d)
F – V – F.
e)
F – F – V.
Alternativa assinalada
5)
Podemos definir uma sequência associada à uma função de domínio natural, o que possibilita, dentre outros, a identificação de leis de formação para a determinação dos termos que compõem a sequência em estudo.
Em relação a esse tema, analise as afirmações apresentadas a seguir, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) Os temos da sequência (3, -6, 9, -12, ...) podem ser obtidos a partir da expressão
(  ) Os temos da sequência  podem ser obtidos a partir da expressão
(  ) Os temos da sequência (1, 3, 7, 15, ...) podem ser obtidos a partir da expressão
(  ) Os temos da sequência (8, 12, 16, 20, ...) podem ser obtidos a partir da expressão
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa que indica todas as classificações corretamente, considerando a ordem na qual as afirmações foram apresentadas:
Alternativas:
a)
V – V – F – V.
b)
V – F – V – V.
c)
V – F – F – F.
d)
F – V – V – F.
Alternativa assinalada
e)
F – V – F – F.