1ª Avaliação - Pré-Cálculo

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CA´LCULO I
AVALIAC¸A˜O PRE-CA´LCULO
ENVIADA EM 4/9/2014
DEVOLVER EM 10/9/2014
Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matricula: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Questo˜es:
(1) Calcule os limites das seguintes sequeˆncias:
(a) xn =
sin(n2)
n
(b) (yn) crescente e limitada.
(2) Dado um nu´mero real a ∈ R encontre sequeˆncias (xn) e (yn) formadas por
nu´meros racionais e tais que xn < a < yn sendo (xn) crescente e (yn) decresnte
e ambas convergindo para a.
(3) Dado os nu´meros reais a e b com a < b encontre um nu´mero racional c ∈ Q tal
que a < c < b.
(4) Seja λ ∈ R, |λ| < 1. Mostre que o somato´rio infinito ∑∞0 λn existe e vale
∞∑
n=0
λn =
1
1− λ, |λ| < 1.
(5) Ache os pontos de intersec¸a˜o das retas L : y = 1 + 2x e R : y = 2 + 3x.
(6) Encontre as equac¸o˜es das retas passando pelos pontos P e Q quando:
(a) P = ( 12 ,− 12 ) e Q = (1, 4)
(b) P = (0, 0) e Q = (1, a) onde a ∈ R.
(7) Qual o coeficiente angular da reta ortogonal a y = a + bx, b 6= 0. Encontre a
equac¸a˜o na forma de gra´fico da reta R ortogonal a reta y = 1 + 2x passando
pelo ponto (0, 1).
(8) Encontre a reta R obtida girando a reta L : y = 2 + 3x de 30o no sentido
positivo em torno do ponto P = (1, 5).
(9) Quais das equac¸o˜es abaixo representam equac¸o˜es de c´ırculos e se for o caso
encontre o seu centro e raio.
(a) x2 + y2 − 2x− 2y − 2 = 0 (b) x2 + y2 − 2x+ 2y + 2 = 0
(c) x2 + y2 + 4x+ 4y + 9 = 0 (d) x2 + y2 −√2x+√3y = 0
(10) Mostre que
(a)cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y) (c) cos2(x) = 1 + cos(2x)
2
(b) sin(x+ y) = cos(x) sin(y) + cos(y) sin(x) (d) sin2(x) =
1− cos(2x)
2
1