Convolução - Análise de questão de prova

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Resolução da Questão 3 – página 1 
 
Mateus Heinen Feltrin - 10/05/2018 
A resposta para o sistema é representada por: 
ℎ(𝑡) = −𝛿(𝑡) + 2𝑒−𝑡𝑢(𝑡) 
O sinal de entrada é representado por: 
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑢(−𝑡) 
A saída do sistema é a convolução entre a resposta e o sinal de entrada: 
𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) 
Substituindo as igualdades, a convolução é representada pela equação abaixo: 
𝑦(𝑡) = [−𝛿(𝑡) + 2𝑒−𝑡𝑢(𝑡)] ∗ 𝑒−𝑡𝑢(−𝑡) 
Aproveitando da propriedade distributiva da convolução a equação fica: 
𝑦(𝑡) = −𝛿(𝑡) ∗ 𝑒−𝑡𝑢(−𝑡) + 2𝑒−𝑡𝑢(𝑡) ∗ 𝑒−𝑡𝑢(−𝑡) 
Fazendo: 
w(t) = −𝛿(𝑡) ∗ 𝑒−𝑡𝑢(−𝑡); 1º termo 
z(t) = 2𝑒−𝑡𝑢(𝑡) ∗ 𝑒−𝑡𝑢(−𝑡); 2º termo 
Então: 
𝑦(𝑡) = w(t) + z(t) 
Resolvendo a convolução do primeiro termo em vermelho, representado por w(t), obtemos: 
𝑤(𝑡) = ∫ −𝛿(𝑡 − 𝜏) ∙ 𝑒−𝜏 ∙ 𝑢(−𝜏) 𝑑𝜏
∞
−∞
 
𝑤(𝑡) = −∫ 𝛿(𝑡 − 𝜏) ∙ 𝑒−𝜏 ∙ 𝑢(−𝜏) 𝑑𝜏
∞
−∞
 
Sabemos que o impulso unitário é o elemento neutro da convolução, então o resultado para w(t) 
é: 
w(t) = −𝑒−𝑡𝑢(−𝑡) 
E 𝑦(𝑡) = w(t) + z(t) fica: 
𝑦(𝑡) = −𝑒−𝑡𝑢(−𝑡) + 2𝑒−𝑡𝑢(𝑡) ∗ 𝑒−𝑡𝑢(−𝑡) 
Entretanto, o problema começa ao tentar resolver a convolução do segundo termo em azul de y(t), 
representado por z(t): 
z(t) = 2𝑒−𝑡𝑢(𝑡) ∗ 𝑒−𝑡𝑢(−𝑡) 
𝑧(𝑡) = ∫ 2𝑒−𝑡𝑢(𝑡) ∙ 𝑒−(𝑡−𝜏)𝑢(−(𝑡 − 𝜏)) 𝑑𝜏
∞
−∞
 
𝑧(𝑡) = 2 ∙ 𝑒−𝑡∫ 𝑢(𝑡) ∙ 𝑒−(𝑡−𝜏)𝑢(−(𝑡 − 𝜏)) 𝑑𝜏
∞
−∞
 
 
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Mateus Heinen Feltrin - 10/05/2018 
O professor alega que os limites de integração são: 0 para o limite inferior e t para o limite 
superior, e que a resposta da convolução é: 
𝑡 ∙ 𝑒−𝑡 ∙ 𝑢(𝑡) 
Porém, antes fazendo: 
z(t) = 2𝑒−𝑡𝑢(𝑡) ∗ 𝑒−𝑡𝑢(−𝑡) 
z(t) = 𝑎(𝑡) ∗ 𝑏(𝑡) 
𝑎(𝑡) = 2𝑒−𝑡𝑢(𝑡) 
𝑏(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑢(−𝑡) 
E plotando as duas funções: 
 
Figura 1. a(t) = 2e^(-t) u(t) 
 
Figura 2. b(t) = e^(-t) u(-t) 
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Pode-se notar que as duas funções são diferentes de zero em intervalos opostos em relação a 
ordenada. 
Para realizarmos a convolução precisamos reescrever as duas funções em 𝜏 (tau), escolher uma 
das funções, fazer a reversão temporal e deslocar t unidades. 
A ordem das operações fica: 
1. 𝑎(𝑡) → 𝑎(𝜏) Mudança de t para Tau 
 
2. 𝑏(𝑡) → 𝑏(𝜏) Mudança de t para Tau 
 
3. 𝑏(𝜏) → 𝑏(−𝜏) Reversão temporal 
 
4. 𝑏(𝜏) → 𝑏(𝑡 − 𝜏) Deslocamento em t unidades 
 
E a convolução fica: 
𝑧(𝑡) = ∫ 𝑎(𝜏) ∙ 𝑏(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏
∞
−∞
 
Ao plotarmos 𝑏(𝑡 − 𝜏) sobre 𝑎(𝜏), temos dois intervalos para a integral de convolução: 
 - Quando 𝑡 ≤ 0 o produto dentro da integral só é diferente de Zero entre 0 𝑒 ∞. 
 - Quando 𝑡 > 0 o produto dentro da integral é diferente de zero entre 𝑡 𝑒 ∞. 
 
Figura 3. 𝑎(𝜏) e 𝑏(𝑡 − 𝜏) para t < 0 
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Figura 4. 𝑎(𝜏) e 𝑏(𝑡 − 𝜏) para t > 0 
Então, acredito que os limites de integração da integral de convolução devam ser de 0 até ∞ 
quando 𝑡 ≤ 0: 
𝑧(𝑡) = ∫ 𝑎(𝜏) ∙ 𝑏(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏 
∞
0
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 0 
E de t até ∞ quando t > 0: 
𝑧(𝑡) = ∫ 𝑎(𝜏) ∙ 𝑏(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏
∞
𝑡
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0 
Então z(t) representado em todos os intervalos fica: 
𝑧(𝑡) =
{
 
 
 
 ∫ 𝑎(𝜏) ∙ 𝑏(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏 
∞
0
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 0
∫ 𝑎(𝜏) ∙ 𝑏(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏
∞
𝑡
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0
 
Agora calculando o produto de 𝑎(𝜏) com 𝑏(𝑡 − 𝜏) dentro da integral e representando por uma 
nova função 𝑐(𝜏): 
𝑐(𝜏) = 𝑎(𝜏) ∙ 𝑏(𝑡 − 𝜏), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 ≥ 0 
𝑐(𝜏) = 2𝑒−𝜏 ∙ 𝑒−(𝑡−𝜏), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏 ≥ 0 
𝑐(𝜏) = 2𝑒−𝑡+𝜏−𝜏 
𝑐(𝜏) = 2𝑒−𝑡 
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Figura 5. c(τ) para t = 0 
Lembrando que t é constante no eixo 𝜏, portanto constante para a integral de convolução: 
𝑐(𝜏) = 2𝑒−𝑡 
Integrando para o primeiro intervalo, que é 𝑡 ≤ 0: 
∫ 𝑎(𝜏) ∙ 𝑏(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏
∞
0
= ∫ 𝑐(𝜏) 𝑑𝜏
∞
0
 
∫ 2𝑒−𝑡 𝑑𝜏
∞
0
 
2𝑒−𝑡 ∙ ∫ 𝑑𝜏
∞
0
 
2𝑒−𝑡 ∙ [ lim
𝑞→∞
[𝑞 − 0]] 
𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 0 
Integrando para o segundo intervalo, que é 𝑡 > 0: 
𝑧(𝑡) = ∫ 𝑎(𝜏) ∙ 𝑏(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏
∞
𝑡
= ∫ 𝑐(𝜏) 𝑑𝜏
∞
𝑡
 
𝑧(𝑡) = ∫ 2𝑒−𝑡 𝑑𝜏
∞
𝑡
 
𝑧(𝑡) = 2𝑒−𝑡 ∙ ∫ 𝑑𝜏
∞
𝑡
 
𝑧(𝑡) = 2𝑒−𝑡 ∙ [ lim
𝑞→∞
[𝑞 − 𝑡]] 
𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0 
 
A divergência dos resultados da convolução pode ser representada graficamente: 
Primeiro para t = 0: 
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𝑐(𝜏) = 2𝑒−0 = 1, 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑡𝑒𝑟á 𝑢𝑚𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
Figura 6. Observe 𝑏(𝑡 − 𝜏) no centro. 𝑐(𝜏) representa o produto entre 𝑎(𝜏) e 𝑏(𝑡 − 𝜏) 
 
Para t < 0: 
𝑐(𝜏) = 2𝑒−𝑡 = 2
1
𝑒𝑡
 > 2 
 
Figura 7. Observe 𝑏(𝑡 − 𝜏) deslocado para a esquerda. 𝑐(𝜏) representa o produto entre 𝑎(𝜏) e 𝑏(𝑡 − 𝜏) 
 
Para t > 0: 
𝑐(𝜏) = 2𝑒−𝑡 = 2
1
𝑒𝑡
 < 2 
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Figura 8. Observe 𝑏(𝑡 − 𝜏) deslocado para a direita. 𝑐(𝜏) representa o produto entre 𝑎(𝜏) e 𝑏(𝑡 − 𝜏) 
 
Relembrando que z(t) é a função que representa o valor da área da integral de convolução para 
qualquer valor de t. Conforme deslocamos em t geramos um novo 𝑐(𝜏), variando o tamanho do 
retângulo, e variando o valor da integral. Porém, mesmo que 𝑐(𝜏) varie e mude a altura do 
retângulo, a integral sempre diverge, pois, a base do retângulo sempre se estende até o infinito. 
𝑧(𝑡) =
{
 
 
 
 ∫ 𝑎(𝜏) ∙ 𝑏(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏 
∞
0
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 0
∫ 𝑎(𝜏) ∙ 𝑏(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏
∞
𝑡
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0
= 
{
 
 
 
 ∫ 𝑐(𝜏)𝑑𝜏
∞
0
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 0
∫ 𝑐(𝜏) 𝑑𝜏
∞
𝑡
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0
 
Se 𝑧(𝑡) sempre diverge, então: 
𝑦(𝑡) = w(t) + z(t) 
𝑦(𝑡) = −𝑒−𝑡𝑢(−𝑡) + z(t) 
Também sempre diverge. 
 
FINALIZAÇÃO 
 Essa análise foi feita em casa a pedido do próprio professor. 
 A convolução seria convergente caso 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑢(𝑡) ao invés de 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑢(−𝑡).