TC 03 1 PONTO FIXO MÉTODO NEWTON RAPHSON

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CCE0117_EX_A3_201602698244_V2
 
 
 CÁLCULO NUMÉRICO 3a aula
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Exercício: CCE0117_EX_A3_201602698244_V2 15/05/2018 09:58:42 (Finalizada)
Aluno(a): ISMAEL FLORENTINO DA SILVA
Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO 201602698244
 
 
Ref.: 201603385198
 1a Questão
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial
x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que
esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
Método da bisseção
Método de Pégasus
 Método de Newton-Raphson
Método do ponto fixo
Método das secantes
 
 
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à
interpretação gráfica da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
 
 
 
Ref.: 201603645202
 2a Questão
Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
1,67
 1,77
1,17
1,70
1,87
 
 
Explicação:
xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] 
x1 = x0 - [f(x0) / f"(x0)] 
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( obs para os cálculos : ln x = 2,3.log x ; se y = lnx então y ' = 1/x .)
então f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 = 2 - 3.(-0,69) = 2 + 2,07) = 4,07 e f '(x0) = - 3 .1/x0 = -3 /0,5 = - 6. 
daí : x1 = 0,5 - (4,07) / (-6) = 0,5 + 0,678 = 1,178 
x2 = x1 - [f(x1) / f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178 = 2 - 3. (0,163 ) = 2 - 0,489 = 1,511 e f '(x1) = - 3.1/x1= -3 / 1.178 = - 2,546
daí x2 = 1,178 - (1,511) / (-2,546) = 1,178 + 0,593 = 1,771
 
 
 
Ref.: 201603803164
 3a Questão
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o grá�ico
que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO:
 
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Explicação:
Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é encontrada
através da raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao invés da g(x) . 
 
 
 
Ref.: 201603791933
 4a Questão
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize
1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
1
-1
 2
1.75
-2
 
 
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e x0 =1 , temos após a realização dessa iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
 
 
 
Ref.: 201602920757
 5a Questão
Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
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Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
 Newton Raphson 
Ponto fixo
Gauss Jordan
Bisseção 
Gauss Jacobi
 
 
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à
interpretação gráfica da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
 
 
 
Ref.: 201603672536
 6a Questão
O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
Uma aproximação da reta tangente f(x).
 Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
Uma reta tangente à expressão f(x).
Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
 Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
 
 
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x).
Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
 
 
 
Ref.: 201603385192
 7a Questão
Seja a equação P(x) = 0. Se P(1) x P(3) < 0, o teorema de Bolzano afirma que:
 a equação P(x) = 0 pode ter uma raiz real no intervalo (1, 3)
 a equação P(x) = 0 não tem raiz real no intervalo (1, 3)
nada pode-se afirmar a respeito das raízes reais no intervalo (1, 3)
a equação P(x) = 0 tem duas raízes reais no intervalo (1, 3)
a equação P(x) = 0 tem uma raiz real no intervalo (1, 3)
 
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Explicação:
De acordo com o teorema de Bolzano, considerando um intervalo real (a,b) e uma função contínua f(x).
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo (a,b) para a equação f(x) = 0
Se f(a) x f(b) > 0, existe uma quantidade par de raízes reais (incluindo o zero, ou seja, nehuma) no intervalo (a,b) para
a equação f(x) = 0
 
 
 
Ref.: 201603385188
 8a Questão
Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
(-2, -1)
(1, 2)
 (2, 3)
(0, 1)
(-1, 0)
 
 
Explicação:
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo:
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = - 2
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = - 1
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo
considerado, isto é, (2, 3)