AV FUNDAMENTOS DE ANALISE JUN/2018

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Avaliação: CEL0688_AV_201707243786 » FUNDAMENTOS DE ANÁLISE 
Tipo de Avaliação: AV 
Aluno: ROBSON MACHADO FARIA 
Professor: ANA LUCIA DE SOUSA Turma: 9001/AA 
Nota da Prova: 6,0 Nota de Partic.: Av. Parcial Data: 11/06/2018 14:01:25 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201708083648) Pontos: 1,0 / 1,0 
Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números 
naturais dos 4 axiomas de Peano. 
O segundo dos axiomas de Peano é P2. 
P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que s(m)=s(n)⟹m=n 
 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais. 
(II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. 
(II) Existe um número natural que não possui um sucessor. 
 
 
 
(I) e (III) 
 
(II) e (III) 
 
(II) 
 
(III) 
 (I) e (II) 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201708083685) Pontos: 0,0 / 1,0 
Para provarmos propriedades dos números naturais, podemos também formular o Principio da 
Indução como: 
Se P é uma propriedade dos números naturais tal que: 
i) P é válida para um número natural n0 ∈ N. 
ii) A validade de P para n ∈N implica na validade de P para 
o sucessor n + 1 ∈ N. 
Então, a propriedade P vale para todos os números naturais n ∈N tais que: 
 
 
 
n ≠ n0 
 
n ≤ n0 
 n ≥ n0 
 n > n0 
 
n < n0 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201707912104) Pontos: 1,0 / 1,0 
Qual é a afirmação verdadeira? 
 
 
 
O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional. 
 
O quadrado de um número irracional é um número racional. 
 A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. 
 
A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional. 
 
A raiz quadrada de um número racional é um número irracional. 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201708083698) Pontos: 1,0 / 1,0 
Considere o resultado: Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então a ∙ 0 = 0. Marque a alternativa 
que apresenta a demonstração correta do resultado. 
 
 
 Suponhamos 1. 0 + 0 = 0 
1, fech. 2. a . (0 + 0) = a . 0 
2, distrib. 3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0 
3, fech 4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0) 
4, sim 5. (a . 0) = 0 
 Suponhamos 1. 0 + 0 = 0 
1, fech. 2. a . (0 + 0) = a . 0 
2, distrib. 3. (a . 0) + 0 = a 
3, fech 4. [(a . 0) + (a . 0)] +(a . 0) = (a . 0) + (a . 0) 
4. assoc 5. (a . 0) + [(a . 0) +(a . 0)] = (a . 0) + (a . 0) 
5, sim 6. (a . 0) = 0 
 Suponhamos 1. 0 + 0 = 0 
1, fech. 2. a . (0 + 0) = a . 0 
2, distrib. 3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0 
3, fech 4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0) 
4. assoc 5. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0) 
5, sim 6. (a . 0) = 0 
 Suponhamos 1. 0 + 0 = 0 
1, fech. 2. a . (0 + 0) = a . 0 
2, fech 3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0) 
3. assoc 4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0) 
4, sim 5. (a . 0) = 0 
 
 fech. 1. a . (0 + 0) = a . 0 
1, distrib. 2. (a . 0) + (a . 0) = a . 0 
fech 3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0) 
4. assoc 4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) 
5, sim 5. (a . 0) = 0 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201708083816) Pontos: 0,0 / 1,0 
Analise a convergência da série ∑n=1∞(2n+33n+2)n . 
Determine o limite de an quando n tende ao infinito e se a série converge ou diverge. 
 
 
 O limite de an quando n tende a infinito será -2, portanto a série 
diverge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será òo, portanto a série 
diverge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será 23, portanto a série 
converge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será 2, portanto a série 
converge. 
 
 O limite de an quando n tende a infinito será 32, portanto a 
série diverge. 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201708083680) Pontos: 1,0 / 1,0 
Se a e b são números reais positivos e a.a > b.b , então: 
 
 
 a > b 
 
a é par 
 
a = b 
 
a < b 
 
a é ímpar 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201708083660) Pontos: 1,0 / 1,0 
A equação |x-1| = |x| +1 
 
 
 
não tem solução 
 
tem somente duas soluções 
 
tem uma única solução 
 tem uma infinidade de soluções 
 
tem exatamente 4 soluções 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201707912078) Pontos: 0,0 / 1,0 
Seja A={x∈R:x=nn+1,n∈N}. Determinando o ínfimo e o supremo do conjunto A obtemos, respectivamente: 
 
 
 1/2 e 1 
 
-1 e 1/2 
 
0 e 1/2 
 0 e 1 
 
-1 e 1 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 201708083820) Pontos: 0,0 / 1,0 
Seja a função = x2 se 0 < x < 2π, com f(x+ 2π) = f(x) para todo x 
real e sua série de Fourier definida como 
g(x) = (4π2)/3+ 4∑n=1∞(cos(nx)n2) - (π sen nx)/n . 
Analise a convergência em x = 0. 
 
 
 
 Em x = 0 a série de Fourier diverge. 
 Em x = 0 a série de Fourier converge para 2π. 
 Em x = 0 a série de Fourier converge para 2π2. 
 Em x = 0 a série de Fourier converge para π2. 
 Em x = 0 a série de Fourier diverge para 2 + π2. 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201708083819) Pontos: 1,0 / 1,0 
Seja f(x) é uma função onde assume o valor zero se - 5 < x < 0 e 
assumirá valor 3 se 0 < x < 5. f(x+10) = f(x) é sua série de Fourier 
definida como g(x) = (3/2) + (6/π) ∑n=1∞12n-1(sen(2n-1)πx/5). 
Determine a convergência da série de Fourier. 
 
 
 
 
 
 A série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade 
e para 3 nos pontos de descontinuidade (média dos limites 
laterais). 
 A série de Fourier converge para f(x) nos pontos de 
descontinuidade e para 3/2 nos pontos de continuidade (média 
dos limites laterais). 
 A série de Fourier diverge para f(x) nos pontos de continuidade e 
para 3/2 nos pontos de descontinuidade (média dos limites 
laterais). 
 A série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade 
e para 3/2 nos pontos de descontinuidade (média dos limites 
laterais). 
 A série de Fourier não satisfaz as condições de Dirichlet portanto 
não converge . 
 
 
 
Período de não visualização da prova: desde 25/05/2018 até 18/06/2018.