aula 05

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Modelagem Matemática
Modelos e Funções Quadráticas 
Modelo e Funções Quadráticas 
Como modelar uma situação que envolve o uso de uma função polinomial de grau 2 ou função quadrática?
Que temáticas ou situações são pertinentes? 
Modelos e Funções Quadráticas 
Uma função quadrática ou uma função polinomial de grau 2 é uma função da forma: 
F (x) = ax² + bx + c , onde a, b, c são números reais, com a diferente de zero; cujo gráfico é uma parábola, podendo a mesma possuir uma concavidade voltada para cima se a>0 ou voltada para abaixo se a<0. 
Este tipo de modelo matemático é utilizado frequentemente para analisar situações e/ou processos de otimização, por exemplo: 
entender o máximo de lucratividade de uma empresa;
 a altura máxima a ser alcançada por um projétil ou um objeto qualquer quando lançado; 
ou, ainda, quando se precisa economizar material na construção/elaboração de um objeto, e se precisa determinar a quantidade mínima necessária. 
Pontos de máximo e mínimo da função quadrática 
O máximo ou mínimo de uma função é sempre obtido no vértice. Tomando f(x) = ax² + bx +c como um exemplo de equação quadrática, onde a, b e c são números reais e a diferente de zero, vamos achar seus pontos extremos e que dependem de a. Se a > 0 , tem um ponto mínimo, se a < 0 , tem um ponto máximo.
A possibilidade de otimização de uma função é dada através do cálculo de pontos máximos e mínimos no vértice da parábola.
Pontos de máximo e mínimo da função quadrática
Pontos de máximo e mínimo da função quadrática
Assim sendo, podemos perceber que existe uma relação entre o valor do parâmetro “a” da função quadrática e os valores de delta.
Vamos desenvolver alguns dos passos do processo de modelagem de um problema
Observe a Situação
Uma empresa está interessada em saber lançar um produto no mercado. No entanto antes de investir no produto, é interessante que a mesma faça um levantamento da quantidade e da qualidade de produtos similares que já estão no mercado. Dessa forma a empresa pode analisar a possibilidade e níveis de venda; as regiões e o público que se deseja atingir. 
1º Passo – Coleta de dados
Para analisar se é viável o lançamento de um produto por uma empresa, deve ser feito um levantamento da quantidade e da qualidade de produtos similares que já estão no mercado, analisar a possibilidade e níveis de venda; as regiões e o público que se deseja atingir.
2º Passo -Demanda do produto
A equação abaixo descreve o comportamento do consumidor que compra mais quando o preço cai e compra menos quando o preço sobe. Essa variação inversa entre preço e quantidade demandada que se observa na função demanda é chamada Lei da Demanda e caracteriza uma função linear decrescente. 
A quantidade demandada de um produto X em função do preço, determinada na situação apresentada é: 
x = f( p ) = 300 – 2 p 
Onde: 
•  x representa o número de unidades que devem ser vendidas mensalmente; 
•  p representa o preço unitário de cada produto. 
3º Passo - Função de Custo
Depois de determinar a Lei da Demanda, pelo Setor de marketing, é a vez do setor Financeiro apresentar a função de custo, que descreve o custo de produção que varia em função da quantidade produzida. 
No custo de produção existem duas parcelas: uma fixa , que não depende da quantidade produzida e outra variável , que depende da quantidade produzida: 
•  o custo fixo corresponde a impostos, taxas, manutenção, etc, e representa uma função constante. 
•  O custo variável é a função da quantidade produzida. Os gastos de produção crescem a medida que a produção aumenta, representando assim uma função crescente. 
Como vimos a função da demanda determina o valor de x, através do modelo:
 X = F (p) = 300 – 2p 
E a função custo apresenta a variável x. 
Dessa forma, substituindo a variável x no modelo de custo, temos: 
(i) C = 6000 + 20 x 
(ii) X = 300 – 2p 
Substituindo (ii) em (i) temos o custo em função do preço: C = 12000 – 40p 
Agora, como as variáveis x e p que representam respectivamente as unidades produzidas e o preço de venda, é possível determinar a função de vendas, considerando as quantidades a serem vendidas.
Observe: V = p . x 
Onde , V representa o valor (em reais) a ser recebido pela venda de (x) unidades ao preço unitário. Substituindo na função de vendas a variável x, temos: 
V = p.x 
V = p ( 300- 2p) 
V = 300p – 2p2
Temos assim uma função V relacionada às vendas e uma função C relativa aos custos.
4º Passo - Função Lucro
Depois de determinadas as funções de vendas e de custos, obtemos a função lucro. Esta é calculada por meio da diferença entre a receita, o valor bruto arrecadado, e o custo: L = V – C 
Substituindo V(p)= 300p – 2p2 e C(p)= 12000 – 40p na função lucro L = V – C, temos: 
L = 300p - 2p2 - 12000 + 40p 
Colocando os expoentes em ordem decrescente e reduzindo termos semelhantes, temos: L = - 2p2 + 340p – 12000. 
Assim obtemos o lucro em função do preço.
Pontos de Interseção 
O próximo passo é encontrar as raízes. Isto é, o ponto ou os pontos, onde a parábola corta o eixo das abscissas no plano cartesiano igualando a expressão a Zero. 
- 2p² + 340 p – 12000 = 0 
Nesta situação, é possível simplificar a equação dividindo ambos os membros da igualdade por 2:
-p² + 170p – 6000 = 0 
Veja que o valor do discriminante dessa equação é 4900, ou seja, maior que zero. Isso nos indica que existem duas raízes, sendo elas 50 e 120.
Estas raízes nos indicam para quais valores de p o Lucro será igual a zero. 
Olhando para função lucro L = - 2p² + 340p – 1200 podemos construir uma tabela e construir em um mesmo gráfico as funções Custo e Venda.
 linear (do Custo total): C(p)= 12000 – 40p
 quadrática (Venda): V(p)= 300p – 2p2
5º Passo - Interpretação dos Resultados
Analisando o gráfico verificamos dois pontos em que as funções de custo e de vendas se “cortam”, indicando que o preço de venda paga apenas o custo de fabricação. 
O valor de x' = 50 e x” = 120, encontrado na resolução da equação do 2° grau, indica que entre esses valores de venda a rede de Supermercados terá lucro e se vender exatamente por R$ 50,00 ou R$ 120,00 não terá lucro nem prejuízo. Esses dois valores não representam o lucro máximo que pode ser obtido. 
Para determinarmos o lucro máximo precisamos "olhar" para o ponto de máximo da parábola! Precisamos buscar esse valor na função quadrática que está representando as vendas. Então, o lucro máximo é representado pelo x vértice ( xv ) e é calculado usando o seguinte modelo matemático: 
Assim temos: xv = 85, logo, o valor de venda que dará à Rede de Supermercados o maior lucro, em função da quantidade x de produtos vendidos é de R$ 85,00.
Observe também que este ponto p= 85 (x do vértice) é simétrico em relação aos pontos 50 e 120 onde o Lucro é igual a zero.
Atividade
O objetivo desta prática pedagógica é refletir sobre a importância de coletar e organizar dados para obter uma melhor percepção de qual modelo que poderá ser utilizado ou construído para dar resposta ao nosso problema. Assim sendo, mais do que resolver os problemas se trata de esboçar caminhos os quais deverão envolver elaboração de tabelas, relações entre variáveis, etc. 
Atividade 01 
A partir de uma folha de papel 10cm x 10cm, qual é o volume máximo que podemos atingir quando montarmos uma caixa (sem tampa) de base quadrada?
Observe a relação entre o corte e o volume da caixa
Levantamento dos dados
Como calcular do volume dessa caixa?
De qual valor depende o volume dessa caixa? Esse valor pode ser qualquer?
Algebricamente, qual o modelo matemático que representa o volume da caixa?
Como encontrar o volume máximo dessa caixa, ou seja, para qual o valor de x (corte) teremos o maior volume possível?
Desenhe a função utilizando o GEOGEBRA.
Faça a interpretação dos dados obtidos. 
Atividade 02
Para construir uma caixa a partir de uma chapa de papelão de 60 cm por 40 cm, deve-se cortar, em cada um dos quatro cantos um quadrado de x cm delado. 
 a) Se o corte for grande, como será a forma da caixa resultante? O seu volume será grande ou pequeno?
b) Se o corte for pequeno, como será a forma da caixa resultante? O seu volume será grande ou pequeno?
c) Nosso problema consiste em determinar o valor de x, a ser cortado, para obtermos uma caixa de volume máximo. Elabore uma tabela que contenha o valor do volume para vários valores de x. Para isso observe quais são os valores mínimo e máximo que x pode assumir!
d) A partir das informações obtidas de sua tabela, qual deve ser a medida do corte para que o volume seja máximo?
e) Escreva a sentença matemática que expresse o volume da caixa em função do tamanho x do corte efetuado.
Atividade 03
Um fazendeiro dispõe de 200 m de cerca para cercar dois currais adjacentes. Quais devem ser as dimensões para que a área cercada seja máxima? 
Atividade 03
Uma quadra para prática de educação física consiste em uma região retangular com um semicírculo em cada extremidade. O perímetro da quadra deve ter 200 m. Ache as dimensões que maximizem a área da região retangular.