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UFRGS - Instituto de Matemática - 2013/1
Departamento de Matemática Pura e Aplicada
MAT01109 - Cálculo Diferencial e Integral
Revisão - Área 2 - 13 de junho de 2013
Teorema Fundamental do Cálculo
Parte 1 Se f for contínua em [a, b], então F (x) =
∫ x
a f(t) dt é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b), e sua derivada
é f(x):
F ′(x) =
d
dx
(∫ x
a
f(t) dt
)
= f(x) .
Parte 2 Se f for contínua em [a, b] e F for uma primitiva de f , i.e., F ′ = f , então∫ b
a
f(t) dt = F (b)− F (a) .
Se na expressão acima trocarmos f por F ′ teremos:
∫ b
a
F′(t) dt = F(b)− F(a) .
d
dx
(
xn+1
)
= (n+ 1)xn, n 6= −1 ∫ xn dx = 1n+1xn+1 + C, n 6= −1
d
dx
(
senx
)
= cosx
∫
cosx dx = senx+ C
d
dx
(
cosx
)
= −senx ∫ senx dx = − cosx+ C
d
dx
(
tgx
)
= sec2 x
∫
sec2 x dx = tgx+ C
d
dx
(
secx
)
= secx tgx
∫
secx tgx dx = secx+ C
d
dx
(
cotgx
)
= −cossec2 x ∫ cossec2 x dx = −cotgx+ C
d
dx
(
cossecx
)
= −cossecx cotgx ∫ cossecx cotgx dx = −cossecx+ C
d
dx
(
ex
)
= ex
∫
ex dx = ex + C
d
dx
(
eαx
)
= αeαx, α = const.∗
∫
eαx dx = 1αe
αx + C, α = const.
d
dx
(
lnx
)
= 1x
∫
1
x dx = ln |x|+ C
∗ Regra da Cadeia : ∗ Regra da Substituição :
d
dx
(
f(g(x))
)
= f ′(g(x)).g(x)
∫
f ′(g(x)).g(x) dx = f(g(x)) + C
# Regra do Produto : # Integração por Partes :
d
dx
(
f(x)g(x)
)
= f ′(x)g(x) + f(x).g′(x)
∫
f(x).g′(x) dx = f(x)g(x)− ∫ f ′(x)g(x) dx
d
dx
(
ax
)
= ax ln a ♣ ∫ ax dx = 1ln aax + C
d
dx
(
loga x
)
= 1x ln a ♠
∫
1
x ln a dx = loga x+ C
A regra da substituição (ou mudança de variáveis u = g(x)) para integrais definidas é:∫ b
a
f ′(g(x)).g(x) dx =
∫ g(b)
g(a)
f ′(u) du = f(g(b))− f(g(a)) .
A integração por partes (IPP) para integrais definidas é:∫ b
a
f(x)g′(x)) dx = f(x)g(x)
∣∣∣x=b
x=a
−
∫ b
a
f ′(x)g(x) dx
= f(b)g(b)− f(a)g(a)−
∫ b
a
f ′(x)g(x) dx .
Regras de logaritmos de base a ∈ (0, 1) ∪ (1,∞) e outras propriedades:
Para quaisquer números x > 0 e y > 0, vale:
1) loga xy = loga x+ loga y
2) loga
x
y
= loga x− loga y
3) loga x
y = ylogax
4) lnx = loge x
5) ax = eln a
x
= ex ln a ♣
6) loga x =
lnx
ln a
♠
Relembrando um pouco de trigonometria:
Principais fórmulas:
sen2 x+ cos2 x = 1
cos (a+ b) = cos a cos b− sen a sen b
sen (a+ b) = sen a cos b+ cos a sen b
Destas fórmulas podemos obter:
cos (2x) = cos2 x− sen2 x
cos2 x =
1
2
+
1
2
cos (2x)
sen2 x =
1
2
− 1
2
cos (2x)
sen (2x) = 2 senx cosx
Relembrando seno, cosseno e tangente dos arcos notáveis:
0 pi/2 pi 3pi/2 pi/6 pi/4 pi/3
sen (.) 0 1 0 -1 12
√
2
2
√
3
2
cos (.) 1 0 -1 0
√
3
2
√
2
2
1
2
tg(.) 0 @ 0 @
√
3
3 1
√
3
Lembre também que:
tgx =
senx
cosx
cotgx = (tgx)−1 =
cosx
senx
secx =
1
cosx
cosecx =
1
senx