04 06. 3. Roteiro Experimento Movimento Plano Inclinado

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MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL NO PLANO
INCLINADO1
Emílio S. Naves, Fabiano C. Souza, Rafael P. Amorim
Instituto Federal de Goiás
Departamento de Áreas Acadêmicas II
Coordenação de Física
Materiais: – Trilho de ar; – Unidade geradora de fluxo de ar para o trilho; – Nível circular;
– Cavaleiro; – Carro com imã e haste ativadora; – Dois sensores ópticos; – Cronômetro digital
microcontrolado (com conexão para os sensores ópticos).
Objetivos: Ao final do experimento o aluno deverá ser capaz de: – utilizar o trilho de ar no
estudo do movimento unidimensional de um corpo acelerado; – linearizar dados experimentais
e obter coeficiente angular da reta correspondente; – estimar aceleração gravitacional e erro
correspondente.
Introdução
Na atividade experimental proposta a seguir, um carro é abandonado do repouso sobre um
trilho retilíneo de baixo atrito e inclinado em um dado ângulo em relação à horizontal. A
teoria prevê que a velocidade do carro após ser abandonado aumenta uniformemente, isto é,
sua aceleração é constante. Procura-se relacionar o tempo levado pelo carro para percorrer
uma dada distância – ao longo do trilho – com o ângulo em que o trilho é inclinado. Essa
relação é não linear. Contudo, a partir de uma aproximação para pequenos ângulos e uma dada
transformação algébrica, é possível obter uma relação linear correspondente. Nesta atividade,
propôe-se ajustar os dados obtidos do experimento com a expressão teórica linearizada.
Movimento em um plano inclinado
Suponha um carro de massa m sobre um plano inclinado em um ângulo θ em relação à
horizontal. Por hipótese, não há forças de atrito agindo sobre o carro. As únicas forças que
atuam sobre o carro são seu próprio peso ~p e a força normal da superfície ~n. Em função da
inclinação do plano, a resultante das forças sobre o carro é não nula. Por isso, seu movimento é
governado pela Segunda Lei de Newton.
O
x
y
t=0
t
d py
px
p
n
Figura 1: Carro descendo em um plano inclinado.
Considere o eixo Ox orientado ao longo do plano inclinado no sentido do movimento do carro,
e Oy o eixo perpendicular a Ox (Fig. 1). A força normal está orientada na direção e sentido do
1Roteiro de experimento elaborado para o desenvolvimento das aulas de Laboratório de Física Básica (Mecâ-
nica) ofertadas pela Coordenação de Física do campus Goiânia do Instituto Federal de Goiás.
1
eixo Oy, direção na qual o carro não se move. Assim, a componente da força resultante nessa
direção é zero. A componente da força resultante ao longo do eixo Ox é dada pela projeção da
força peso nessa direção, a saber:
px = p senθ = mgsenθ, (1)
em que g é a aceleração da gravidade.
Utilizando a Segunda Lei de Newton com a Eq. (1), tem-se que:
ax = gsenθ,
representa a aceleração do carro na direção Ox.
Como a aceleração do carro é constante, a relação entre o deslocamento do carro d e o tempo
t correspondente é dada por:
d = axt
2
2 , (2)
visto que a velocidade inicial do carro, por hipótese, é zero.
A partir das Eqs. (1) e (2), obtêm-se a relação entre o tempo e o ângulo de inclinação, isto
é,
t2 = 2d
g
1
senθ . (3)
A relação entre t e θ expressa na Eq. (3) é não linear.
Linearização de dados experimentais
Suponha que para um determinado conjunto de dados experimentais é conhecida uma ex-
pressão matemática que o modela teoricamente. Nessa situação é bastante usual ajustar esse
conjunto de dados pela expressão teórica. Esse ajuste corresponde procurar pelos parâmetros da
fórmula, tal que a mesma represente uma curva que passa o mais próximo dos pontos no gráfico
desses dados experimentais. Geralmente, o ajuste é feito utilizando-se o Método dos Mínimos
Quadrados.
Quando a expressão matemática a ser ajustada é uma função linear, o Método dos Mínimos
Quadrados consiste em procurar pelo melhor ajuste de uma reta ao conjunto de pontos estudado.
A fórmula para o ajuste da reta é mais simples e frequentemente chamada de Regressão linear.
Devido à simplicidade da Regressão Linear, é conveniente transformar expressões não lineares
em expressões lineares, um processo denominado de linearização.
A linearização consiste em fazer mudanças de variável, tal que para as novas variáveis a
expressão, antes não linear, possa ser expressa pela fórmula
y = ax+ b. (4)
A expressão (3) tratada neste experimento é não linear. Entretanto, é relativamente fácil
torná-la linear. Para começar, faz-se a mudança de variável y = 1
t2
, levando essa expressão à
forma:
y = g2d senθ. (5)
Em seguida, é possível aproximar senθ ≈ θ para pequenos ângulos, de modo que:
y = α θ, (6)
em que α = g2d é o coeficiente angular da relação linear obtida (y versus θ).
Com a aproximação para pequenos ângulos e a mudança de variável utilizada, foi obtida uma
função linear para ajustar o conjunto de dados do experimento proposto. O ajuste da Eq. (6) ao
conjunto de dados experimentais fornece o valor do coeficiente angular que, por sua vez, pode
ser utilizado para se estimar o valor da aceleração local g.
2
Montagem do aparato experimental
1. Faça a montagem do trilho de ar, acoplando-o à unidade geradora de fluxo de ar.
2. Conecte o equipamento à rede elétrica.
3. Nivele o trilho de ar de acordo com instruções próprias do equipamento utilizado.
4. Disponha dois sensores ópticos no trilho a uma dada distândia d entre si. Registre o valor
da distância utilizada na Folha de Registro e Análise de Dados.
5. Conecte os sensores apropriadamente no cronômetro digital microcontrolado do trilho de
ar. A conexão 0 (zero) do sensor estabelece a origem do sistema de coordenadas e, por
isso, deve corresponder à posição do sensor no trilho de ar por onde primeiro passará o
carro.
6. Conecte o cronômetro digital à rede elétrica. Ligue o equipamento.
7. Selecione no cronômetro digital a função apropriada para a medida do intervalo de tempo
da passagem do carro por entre dois sensores.
Procedimento
1. Inicie o experimento inclinando o trilho em 2◦ em relação à base horizontal.
2. Ligue o fluxo de ar e abandone o carro do repouso em uma posição imediatamente anterior
(superior) ao sensor 0. Proteja o carro do impacto com a extremidade do trilho utilizando
molas ou um pano macio. Anote o intervalo de tempo t medido entre a passagem do carro
pelos dois sensores.
3. Repita o procedimento anterior, aumentando a inclinação do trilho em 2◦ a cada nova
medida até atingir a inclinação máxima de 16◦.
Observações Importantes
1. Em cada medida, o carro deve ser abandonado do repouso em uma posição imediatamente
a do sensor 0. O carro deve acionar este sensor imediatamente após sair do repouso, isto
é, sem ter atingido um valor de velocidade significativo. Em caso de dúvidas, repita a
medida.
2. Desligue o gerador de fluxo de ar quando não estiver realizando medidas, para diminuir a
perturbação do ambiente causada pela produção de ruído desse equipamento.
Referências
[1] SEARS, F. W.; ZEMANSKY, M. W. Física I: Mecânica. 10a ed. São Paulo, SP: Pearson
Addison Wesley, 2003.
[2] TAYLOR, John R. Introdução à análise de erros: o estudo de incertezas em medições
físicas. 2. ed. Porto Alegre, RS: Bookman, 2012.
3
Folha de registro e análise dos resultados
Experimento: MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL NO PLANO
INCLINADO
Alunos: .
Turma: Data do experimento: ___/___/______.
Registre a seguir o erro de escala nas medidas do deslocamento do carro (entre os sensores)
x, do intervalo de tempo t e da inclinação do trilho de ar θ. Não se esqueça da unidade de
medida.
δx: _______
δt: _______
δθ: _______
Registre o valor do deslocamento do carro entre os sensores ópticos. Não se esqueça da
unidade de medida.
x : _______
Registre na tabela abaixo os intervalos de tempo t em função do ângulo de inclinação θ do
trilho de ar.
# θ (◦) t (s)
1
2
3
4
5
6
7
8
Calcule e registre na tabela a seguir os valores correspondentes
do ângulo θ em radiano e de
1
t2
em s−2.
# θ (rad) 1
t2
(s−2)
1
2
3
4
5
6
7
8
Produza o gráfico de 1
t2
em função de θ em papel milimetrado. Utilize radianos para o ângulo
θ.
Em seguida, com uma régua, trace sobre o gráfico uma reta que ajuste os dados da melhor
forma possível. Escolha dois pontos da reta e calcule o coeficiente angular obtido α. Esse
procedimento é uma simplificação da Regressão Linear visto que, deste modo, o coeficiente
angular é obtido sem a necessidade de utilizar uma fórmula.
α : ______
4
A partir do valor de α obtido estime o valor de g local. Calcule o desvio percentual ∆g%.
g: ______
∆g%: ______
Faça uma estimativa do erro experimental de g tomando os dados referentes ao menor ângulo
e o valor de g calculado pela equação t2 = 2d
g
1
senθ .
Questões
1. O tempo de “queda” do carro (t) ao longo do trilho de ar depende de sua massa? Explique.
2. Quando a relação entre duas variáveis é linear? E não linear? Dê exemplos.
3. Qual o desvio percentual entre o valor exato e o valor aproximado para sen10◦? E para
sen20◦?
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