RESUMO SÉRIES DE FOURIER - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS II - ÁREA III

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO – SÉRIE DE FOURIER 
• FUNÇÃO PERIÓDICA (de período P): f(x) = f(x + P) 
Se diz função ímpar aquela que verifica a identidade: f(-x) = -f(x) enquanto função par f(-x) = f(x). 
 
Fourier concluiu que uma função genérica f(x) pode ser escrita como soma de senos e cossenos. 
 
SÉRIE DE FOURIER – Seja f(x) uma função definida de até −π π
...)3()2()(...)3(cos)2(cos)(cos
2
)( 321321
0 ++++++++= xsenbxsenbxsenbxaxaxaaxf 
ou 
[ ]∑∞
=
⋅⋅+⋅⋅+=
1
0 )()(cos
2
)(
k
kk xksenbxka
axf 
 
• CÁLCULOS DOS COEFICIENTES 
 
dxxfa ∫−= πππ )(10 dxxkxfak ∫− ⋅⋅= πππ )(cos)(1 dxxksenxfbk ∫− ⋅⋅= πππ )()(1 
 
RESULTADOS ANTECIPADOS 
 
 
 
Função 
Coeficientes da Série de Fourier 
[ ]dxxkxfak ∫ ⋅⋅= πππ )(cos)(1 [ ]dxxksenxfbk ∫ ⋅⋅=
π
ππ )()(
1
 
Ímpar 0=ka 0≠kb 
Par 0≠ka 0=kb 
 
SÉRIE DE FOURIER - FUNÇÕES DE PERÍODO GENÉRICO - f(x) DEFINIDA DE -L ATÉ L 
 
...321...3cos2cos1cos
2
)( 321321
0 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+=
L
xsenb
L
xsenb
L
xsenb
L
xa
L
xa
L
xa
a
xf ππππππ 
Ou 
∑∞
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+=
1
0 cos
2
)(
k
kk L
xk
senb
L
xk
a
a
xf
ππ 
 
• CÁLCULOS DOS COEFICIENTES 
 
dxxf
L
a
L
L∫−= )(10 dxL xkxfLa
L
Lk
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅= ∫− πcos)(1 1 ( )Lk L k xb f x senL Lπ− ⋅⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ dx 
 
• INTEGRAIS DEFINIDAS 
 
Para seguem as integrais resolvidas e usadas por Fourier: ...,3,2,1=k
− − − −
− −
π π π
π π π
= = =∫ ∫ ∫ ∫
= = − −∫ ∫ π
L L L L
L L L L
L L
L L
k. .x k. .x k. .x k. .x
L L L
k. .x k. .x k. .x
L L L
2 2
2
k
sen cos sen cos
x.sen
1) ( )dx 0 2) ( )dx 0 3) ( )dx L 4) ( )dx L
2.L5) sen( ).cos( )dx 0 6) ( )dx .( 1) 
k.
π =
L
−
π =∫LL k. .xLx.cos 7) ( )dx 0 
 
• )()( θθ sensen −=− (Função Ímpar) • )(cos)(cos θθ =− (Função Par) 
 
• 0)( =πk para ...,3,2,1= sen k • para ...,3,2,1= ⎩⎨
⎧−=
Parforse,1
Ímparforse,1)(cos
k
kkπ k
• π = − k cos(k ) ( 1)
 
ANEXO I – COLEÇÃO DE INTEGRAIS 
 
Para seguem as integrais resolvidas e usadas por Fourier: ...,3,2,1=k
 
1)
0 Lk k
L 0
k x L[( 1) 1] k x L[( 1) 1]sen dx sen dx
L k L k
 
−
π − − π − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
− 
 
2) 
0 L
L 0
k x k x Lsenkcos dx cos dx 0
L L k−
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ π⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
π = 
3) 
0 L 2 k
L 0
k x k x L ( 1)x.sen dx x.sen dx
L L−
π π −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ π⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ k
− 
 
4 
0 L2 k 2 k
2 2 2 2
L 0
k x L [( 1) 1] k x L [( 1) 1]x.cos dx x.cos dx
L Lk k
 
−
π − − − π −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠π π∫ ∫
− 
 
5) 
0 L
2 2
L 0
k x k x Lsen dx sen dx
L L
 
−
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ 2 
6) 
0 L
2 2
L 0
k x k x Lcos dx cos dx
L L
 
−
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ 2 
 
0 2
2
0
7) cos ( 1 cos( ) )
2
 cos ( 1 cos( ) )
2
L
L
k x k x Lsen dx k
L L k
k x k x Lsen dx k
L L k
π π ππ
π π ππ
− ⋅ = − +
−⋅ = − +
∫
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3