ultima Lista de Linear2 2018 1

Prévia do material em texto

Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Exercícios de Álgebra Linear II - IC239
Prof. Edivaldo Turma: T04
Lista de Exercícios - Transformações Lineares.
1. Seja a um vetor fixo não nulo em <2. Uma aplicação da forma
L(x) = x+ a
é chamada de translação. Mostre que uma translação não é uma transformação
linear. Ilustre geometricamente o efeito de uma translação.
2. Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares de <3
em <3.
(a) L(x) = (x3,x2,x1)
(b) L(x) = (x1,x2,0)
(c) L(x) = (x1,x1,x1)
3. Seja L uma transformação linear de <3 em <3 definida por
L(x) = (2x1 − x2 − x3,2x2 − x1 − x3,2x3 − x1 − x2)
Determine a matriz A de L em relação à base canônica e use-a para encontrar
L(x) para cada um dos vetores a seguir.
(a) L(x) = (1,1,1)
(b) L(x) = (2,1,1)
(c) L(x) = (−5,3,2)
4. Determine se as seguintes são transformações lineares de R3 em R2:
(a) T (x) = (x2,x3)
T
(b) T (x) = (1 + x1,x2)
T
(c)T (x) = (x3,x1 + x2)
T
5. Determine se as seguintes são transformações lineares de R2 em R3:
(a) T (x) = (x1,x2,1)
T
(b) T (x) = (x1,x2,x1 + 2x2)
T
(c) T (x) = (x1,0,0)
T
(d)T (x) = (x1,x2,x
2
1 + x
2
2)
T
Lista de Exercícios - Autovalores e Autovetores.
6. Encontre os autovalores e os auto-espaços correspondentes de cada uma das ma-
trizes a seguir.
Pág. 1 de 2 Continua . . .
Exercícios de Álgebra Linear II - IC239 Lista
(a) [
3 2
4 1
]
(b) [
6 −4
3 −1
]
(c) [
3 −1
1 1
]
(d) [
3 −8
2 3
]
(e) [
1 1
−2 3
]
(f)  0 1 00 0 1
0 0 0

(g)  1 1 10 2 1
0 0 1

(h)  1 2 10 3 1
0 5 −1

(i)  4 −5 11 0 −1
0 1 −1

(j)  −2 0 11 0 −1
0 1 −1

(k) 
2 0 0 0
0 2 0 0
2 0 3 0
2 0 0 4

7. Seja A uma matriz 2× 2. Se tr(A) = 8 e det(A) = 12, quais são os autovalores de
A? (A soma dos elementos diagonais de A é chamada de traço de A.)
8. Seja A uma matriz n × n . Demonstre que A é singular, então λ = 0 é um
autovalor de A.
Pág. 2 de 2 Bons estudos