Lista1 Linear2

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Primeira Lista de Exercicios de Algebra Linear II
Professor: Thiago Parente da Silveira
1. Sejam o conjunto Rn, u = (α1, α2, . . . , αn) e v = (β1, β2, . . . , βn). Considere as seguintes
operações:
+ : Rn × Rn → Rn, onde u+ v = (α1 + β1, α2 + β2, . . . , αn + βn)
· : R× Rn → Rn, onde λ · u = (λα1, λα2, . . . , λαn).
Prove que Rn com essas operações definidas é um espaço vetorial.
2. Considere o conjunto Mm×n(R) das matrizes de ordem m por n com entradas reais. Sejam
as matrizes A = [aij] e B = [bij]. Defina A + B = [aij + bij] e λ · A = [λaij]. Prove que
Mm×n(R) com essas operações definidas é um espaço vetorial.
3. Seja X um conjunto não vazio qualquer. O símbolo F(X;R) é o conjunto de todas as
funções reais f : X → R. Sejam f, g ∈ F e defina as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e
(λ ·f)(x) = λf(x). Prove que F(X;R) com essas operações definidas é um espaço vetorial.
4. Em R2, mantenhamos a definição do produto αv de um número α por um vetor v mas
modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma u+ v dos vetores u = (x, y) e
v = (x′, y′). Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos
e quais são violados:
a) u+ v = (x+ y′, x′ + y);
b) u+ v = (xx′, yy′);
c) u+ v = (3x+ 3x′, 5x+ 5x′).
5. Dados os espaços vetoriais E1, E2, considere o conjunto E = E1×E2 (produto cartesiano),
cujos elementos são os pares ordenados v = (v1, v2), com v1 ∈ E1 e v2 ∈ E2. Defina
operações que tornem E um espaço vetorial.
6. Mostre que o conjunto F1 das matrizes triangulares inferiores e o conjunto F2 das matrizes
triangulares superiores são subespaços vetoriais de Mn×n(R). Além disso, que Mn×n(R) =
F1 + F2 e que não sem tem Mn×n(R) = F1 ⊕ F2.
7. Dados u = (1, 2) e v = (−1, 2), sejam F1 e F2 respectivamente as retas que passam pela
origem em R2 e contem u e v. Mostre que R2 = F1 ⊕ F2.
8. Exprima o vetor (1,−3, 10) como combinação linear dos vetores u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0)
e w = (2,−3, 5).
9. Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3.
a) Escrever o vetor w = (7,−11, 2) como combinação linear de u e v.
b) Para que valor de k o vetor (−8, 14, k) é combinação linear de u e v?
c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma combinação
linear de u e v.
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10. Considere no espaço dos polinômios de grau menor do que ou igual a 2 (P2 = {ax2 + bx+
c|a, b, c ∈ R}) os vetores p1 = x2 − 2x+ 1, p2 = x+ 2 e p3 = 2x2 − x.
a) Escrever o vetor p = 5x2 − 5x+ 7 como combinação linear de p1, p2 e p3.
b) Escrever o vetor p = 5x2 − 5x+ 7 como combinação linear de p1 e p2.
c) Determinar uma condição para a, b e c de modo que o vetor ax2+bx+c seja combinação
linear de p2 e p3.
d) É possível escrever p1 como combinação linear de p2 e p3?
11. Seja S o subespaço de R4 definido por S = {(x, y, z, t) ∈ R4|x + 2y − z = 0, t = 0}.
Pergunta-se
a) (−1, 2− 3, 0) ∈ S?
b) (3, 1, 4, 0) ∈ S?
c) (−1, 1, 1, 1) ∈ S?
12. Determinar os subespaços de R3 gerado pelos seguintes conjuntos:
a) A = {(2,−1, 3)}
b) A = {(−1, 3, 2), (2,−2, 1)}
c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)}
d) A = {(−1, 1, 0), (0, 1,−2), (−2, 3, 1)}
e) A = {(1, 2,−1), (−1, 1, 0), (−3, 0, 1), (−2,−2, 1)}
13. Mostre que {(2, 1), (1, 1)} é uma base de R2.
14. Mostre que {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} é uma base de R3.
15. O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} é uma base de R2? Justifique.
16. Classifique os seguintes subconjuntos de R3 em LI ou LD:
a) A = {(2,−1, 3)}
b) A = {(−1, 3, 2), (2,−2, 1)}
c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)}
d) A = {(−1, 1, 0), (0, 1,−2), (−2, 3, 1)}
e) A = {(1, 2,−1), (−1, 1, 0), (−3, 0, 1), (−2,−2, 1)}
17. Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes a P3 são LD?
a) 2 + x− x2, −4− x+ 4x2, x+ 2x2
b) 1− x+ 2x2, x− x2, x2
2
c) 1 + 3x+ x2, 2− x− x2, 1 + 2x− 3x2, −2 + x+ 3x2
d) x2 − x+ 1, x2 + 2x
18. Sendo v1 = (1, 2) ∈ R2, determine v2 ∈ R2 tal que o conjunto {v1, v2} seja uma base para
R2.
19. Mostrar que o conjunto {A,B,C,D} é uma base para M2×2(R) é uma base, onde
A =
[
2 3
−1 0
]
, B =
[
1 −1
0 −2
]
, C =
[−3 −2
1 −1
]
e D =
[
3 −7
−2 5
]
20. O conjunto {x3, 2x2 − x+ 3, x3 − 3x2 + 4x+ 1} é uma base de P3? Justifique.
21. Considere os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 = (3, 0, 2) e v4 = (2,−1, 1). Mostre
que esses vetores geram R3 e encontre uma base dentre os vetores v1, v2, v3 e v4.
22. Considere o conjunto B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)}.
a) Mostre que B não é uma base de R3.
b) Determine uma base de R3 que possua dois elementos de B.
23. Determinar as coordenadas do vetor v = (6, 2) em relação às seguintes bases:
a) {(3, 0), (0, 2)}
b) {(1, 2), (2, 1)}
c) {(1, 0), (0, 1)}
d) {(0, 1), (1, 0)}
24. Seja A = {3, 2x,−x2} uma base de P2. Determinar as coordenadas do vetor v = 6−4x+3x2
em relação à base A.
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