Lista 3 Calculo 1

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1) Considere o gráfico abaixo da função . 
 
 
a) Se , quanto vale 
 ? 
 
b) Existe ? Justifique sua resposta. 
 
c) e 
 possuem o mesmo sinal? Justifique sua resposta. 
 
2) Use a definição de derivada para encontrar a inclinação da reta tangente ao 
gráfico de no ponto . Em seguida, indique os pontos onde o 
gráfico tem uma tangente horizontal. Por fim, escreva a equação da reta 
tangente ao gráfico no ponto . 
 
a) 
 
b) 
 
 
 
 
c) √ 
 
3) Verifique que os gráficos das equações e têm em comum a 
reta tangente no ponto . 
 
4) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto e é tangente à curva 
 . 
 
5) Encontre os valores de e para que exista , onde: 
 
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 
𝑦
 𝑓 𝑥 
Instituto de Matemática - IM/UFRJ 
MAC118 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Prof. Rodrigo Cardoso 
Lista 3 
 
a) {
 
 
 
 
b) {
 
 
 
| |
 
 
 
6) Se a função é contínua em e , encontre . 
Dica: Use a definição de derivada para encontrar . 
 
7) Defina 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Nos itens abaixo: 
 
a) Determine se é contínua em ; 
 
b) Encontre e , se existirem; 
 
c) Decida se é diferenciável em . 
 
i) {
 √ 
 
 
 
ii) | | 
 
iii) {
 
 
 
 
 
 
 
iv) {
 
 
| |
 
 
 
 
v) { 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
8) Calcule as derivadas das funções abaixo: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
h) 
 
 
 
 
 
i) 
 
j) 
 
 
 
 
k) 
 
 
 
 
l) 
 
m) 
 
n) √ 
 
o) (
 
 
) 
 
p) √ √ 
 
q) 
 
 
 
 
9) Em cada um dos itens abaixo, explicite a função , dê seu domínio e 
determine : 
 
a) , √ 
 
b) 
 
 
 , 
 
c) √ , √ 
 
d) , 
 
 
 
 
10) Ache as funções e tais que e calcule : 
 
a) 
 
b) (√ )
 
 √ 
 
11) Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a) (
 
 
)
 
 
 
b) 
 
c) 
 
d) √ 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
√ 
√ 
 
 
h) 
 
 
 
 
i) √ √ 
 
j) √ √ 
 
k) √ 
 
l) 
 
m) √ 
 
 
 
n) 
 ( ) 
 
 
 
o) √ 
 
 
 
p) √
 
 
 
 
q) 
 
√ 
 
 
r) 
 
s) 
 
 
 
 
t) 
 
u) 
 
v) 
 
w) 
 
x) (√ ) 
 
y) 
 
12) As curvas (
 
 
 
 
) e √ têm a mesma reta 
tangente no ponto ). Quais são os valores de e ? 
 
13) Determine 
√ 
 √ 
 
 
. 
 
14) Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se cm for a 
distância da bola de sua posição inicial após segundos, então 
 . Com qual velocidade a bola atingirá a tabela que está a 39 cm da posição 
inicial? 
 
15) Se a água de uma piscina está sendo escoada e litros é o volume de água na 
piscina min após o escoamento ter começado, onde , 
encontre com que rapidez a água flui da piscina após 5 min do escoamento. 
 
16) Se um cilindro reto de base circular tem altura constante de 10 cm, encontre a 
taxa de variação instantânea do volume com relação ao raio de sua base, 
quando o raio é 5 cm. 
 
17) Determine 
 
 
 por derivação implícita: 
 
a) b) √ √ √ c) 
 
d) e) 
 
18) Determine e por derivação explícita: 
 
a) b) (
 
 
) 
c) 
 
19) No ponto dado, determine a equação da reta tangente ao gráfico da curva 
dada pela equação: 
 
a) 
 
b) √ (
 
 
 
 
 
) 
 
c) (
 √ 
 
 
√ 
 
) 
 
d) 
 
 
 
 (
√ 
 
 
√ 
 
) 
 
e) 
 
f) 
 
 
 
 
g) 
 
20) Encontre os pontos da curva em que a reta tangente seja horizontal e os pontos 
em que ela é vertical: 
 
a) b) 
c) 
 
21) Nos exercícios seguintes, admita que todas as variáveis sejam funções de t: 
 
a) Se e 
 
 
 , quando , determine 
 
 
. 
 
b) Se 
 
 e 
 
 
 , quando , determine 
 
 
. 
 
c) Se e 
 
 
 , quando e , determine 
 
 
. 
 
d) Se {
 
 
 e 
 
 
 , quando , determine 
 
 
 e 
 
 
. 
 
22) Calcule: 
 
a) ( 
 
 
)
 
 b) ( 
 
 
)
 
 
 
c) ( 
 
 
)
 
 d) ( 
 
 
)
 
 
 
e) (
 
 
)
 
 f) 
 
 
g) 
 
 h) ( 
 
 
)
 
 
23) Derive: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) √ 
 
e)