matematica gestores 3

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Matemática 
para gestores
Alessandro Ferreira Alves
03
Sumário
CAPÍTULO 3 – Séries de Pagamentos ...............................................................................05
Introdução ....................................................................................................................05
3.1 Conceitos Introdutórios e Classificação das Séries de Pagamentos .................................06
3.2 Séries de Pagamentos Iguais ......................................................................................08
3.2.1 Séries de Pagamentos Iguais de Termos Vencidos ................................................08
3.2.2 Séries de Pagamentos Iguais de Termos Antecipados ...........................................12
3.3 Séries de Pagamentos Variáveis ..................................................................................16
Síntese ..........................................................................................................................21
Referências Bibliográficas ................................................................................................22
Capítulo 3 
05
Introdução
Com certeza você já deve ter realizado uma compra parcelada, não é mesmo? Já pensou em 
realizar o financiamento de um veículo em 36 parcelas iguais? Já teve curiosidade de saber o 
valor dessas parcelas iguais? 
É interessante salientar que, culturalmente, compramos a médio ou longo prazo (compras fi-
nanciadas), ou seja, compramos em diversos pagamentos. As organizações estão ansiosas para 
vender seus produtos e serviços e nós, consumidores, estamos aptos a comprar, no entanto quase 
sempre de forma irracional e por impulso, fugindo das nossas reais necessidades. Relacionado a 
esse contexto, aparece o termo amortização, significando a um processo de extinção de uma dívi-
da por meio de pagamentos periódicos, os quais são realizados em função de um planejamento.
Outro ponto importante diz respeito às operações envolvendo cartão de crédito no Brasil, que, 
nos últimos anos, têm crescido de forma assustadora e se tornando cada vez mais populares. 
Logo, é preciso que algumas regras básicas de utilização sejam seguidas. 
Essas questões podem ser analisadas de forma estruturada e respondidas com a teoria que en-
volve as séries de pagamentos ou recebimentos ou anuidades. Essas séries fazem parte do nosso 
cotidiano, tanto no contexto pessoal quanto empresarial. 
Sendo assim, é de fundamental importância o entendimento dos tipos envolvidos de séries, bem 
como da descrição dos valores em seus cálculos. Também é essencial a interpretação do fun-
cionamento e das propriedades características do regime composto, como a evolução do valor 
futuro e as taxas associadas. 
Nesse sentido, o objetivo geral deste capítulo é ajudá-lo a compreender o conceito de séries de 
pagamentos e suas aplicações no mercado financeiro, analisando os problemas que envolvem as 
operações financeiras com prestações iguais. Para isso, abordaremos os seguintes temas:
•	 Aspectos Introdutórios e Classificação das Séries de Pagamentos;
•	 Séries de Pagamentos Iguais;
•	 Séries de Pagamentos Variáveis;
•	 Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno.
Séries de Pagamentos
06 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
3.1 Conceitos Introdutórios e Classificação das 
Séries de Pagamentos
Para tratarmos dos cálculos envolvendo as séries de pagamentos, primeiramente devemos conhe-
cer alguns conceitos introdutórios que serão o alicerce do tema. 
Além disso, é de fundamental importância a classificação das séries de acordo com alguns cri-
térios. Acompanhe abaixo.
•	 Séries	de	Pagamentos (ou Recebimentos ou Anuidades): entendemos como séries de 
pagamentos toda sequência finita ou infinita de Pagamentos ou Recebimentos em datas 
previamente estipuladas.
•	 Termo	da	Série: é cada um desses pagamentos ou recebimentos. 
•	 Período: é o intervalo de tempo entre dois períodos, ou seja, é o tempo decorrido entre 
dois pagamentos consecutivos da série. 
•	 Duração: é a soma envolvendo os períodos.
•	 Valor	Presente	da	Série (ou Valor	Atual): é a soma dos valores atuais dos seus termos, 
sendo essa soma realizada para uma mesma data no regime composto, ou seja, todos 
os pagamentos ou recebimentos são atualizados para uma data (em geral a data zero), e 
são somados nessa data comum.
•	 Valor	 Futuro	 da	 Série (ou Montante): o valor futuro, ou montante, é a soma dos 
montantes ou valores futuros dos seus termos, considerando uma mesma data no regime 
composto. 
Qual é a relação entre uma Série de Pagamentos e um Diagrama de Fluxo de Caixa? 
Um Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) representa uma Série de Pagamentos ou de 
Recebimentos que devem ocorrer em específicos intervalos de tempo.
NÓS QUEREMOS SABER!
Outro ponto relevante acerca da série de pagamentos diz respeito à sua classificação, que segue 
alguns critérios específicos, como número e natureza de seus termos. Veja abaixo:
07
Quanto ao
Número
de Termos
Quanto à
Natureza
dos Termos
Quanto ao
Intervalo entre
os Termos
Quanto à
Ocorrência do
Primeiro Termo
Quanto ao
Vencimento
de Termos
Figura 1 – Critérios de classificação das séries.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
A seguir, apresentaremos a você a descrição detalhada de cada critério. 
•	 Quanto	ao	Número	de	termos
	» Finita: quando houver a existência da última prestação. Por exemplo, comprei um 
carro em 36 parcelas iguais de R$ 835,00. Logo, sabe-se que a última prestação 
ocorrerá daqui a 36 meses. 
	» Infinita (ou Perpétua): quando não houver a existência da última prestação. Por 
exemplo, quando uma pessoa paga mensalmente um seguro até a sua morte, ou seja, 
não é possível determinar a data de pagamento da última prestação.
•	 Quanto	à	Natureza	dos	seus	termos
	» Uniforme: quando todos os termos da série forem iguais. Por exemplo, quando 
compro um eletrônico em seis parcelas iguais. 
	» Não	 Uniforme (ou Variável): quando os termos forem diferentes. Por exemplo, 
quando compro um imóvel, sendo que as 12 primeiras prestações são de R$ 5.000,00 
e as 12 últimas são de R$ 5.500,00.
•	 Quanto	ao	Intervalo	entre	seus	termos
	» Periódica: quando o intervalo de tempo entre dois termos consecutivos for constante. 
Por exemplo, a compra de uma moto em prestações mensais.
	» Não	 periódica: quando o intervalo de tempo entre dois termos consecutivos não 
for constante. Por exemplo, a compra de uma moto com as primeiras seis prestações 
mensais, as seis subsequentes bimestrais e as seis últimas trimestrais.
•	 Quanto	ao	Vencimento	de	seus	termos
	» Postecipada (ou Vencida): quando os termos ocorrerem ao final de cada período. 
Por exemplo, fechei a compra de um carro no dia de hoje e começo a pagar daqui a 
um mês, sendo as prestações mensais.
	» Antecipada: quando os termos ocorrerem no início de cada período. Por exemplo, 
fechei a compra de uma moto no dia de hoje e já tenho que pagar a primeira parcela 
no ato, sendo as prestações mensais.
08 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
•	 Quanto	à	Ocorrência	do	primeiro	termo
	» Diferida: quando o primeiro termo só ocorrer após alguns períodos. A esse prazo 
damos o nome de prazo	de	diferimento ou prazo	de	 carência. Por exemplo, se 
comprarmos um carro hoje e pagarmos a primeira prestação daqui a seis meses.
	» Não	Diferida: quando não temos o prazo	de	diferimento ou prazo	de	carência. 
Por exemplo, compramos um carro hoje e iniciamos o pagamento daqui a 30 dias, 
sendo as prestações mensais.
NÃO DEIXE DE VER...
Indicamos o filme Mentes que Brilham, de 1991, dirigido por Jodie Foster, que conta 
a história de um menino que já sabia ler com um ano, escrevia poesias aos quatro e, 
aos sete, pintava quadros e resolvia problemas matemáticoscomplicados. Em especial, 
esse filme aborda sobre a teoria envolvendo as sequências e séries matemáticas, muito 
utilizada na Matemática Financeira, principalmente as séries de anuidades.
3.2 Séries de Pagamentos Iguais
Agora que já conhecemos os conceitos fundamentais e classificações das séries de pagamentos, 
vamos trabalhar com situações práticas. É importante ressaltar que faremos uso da calculadora 
HP 12C para a resolução de tais problemas. Vamos lá?
3.2.1 Séries de Pagamentos Iguais de Termos Vencidos
Para trabalharmos com as séries de pagamentos iguais de termos vencidos (ou postecipados), 
apresentamos algumas características fundamentais de tais séries. Acompanhe:
•	 Os	termos	são	iguais.
•	 Os	pagamentos	são	periódicos	e	sem	diferimento.
•	 O	intervalo	de	tempo	entre	cada	termo	é	constante.
•	 Os	termos	ocorrem	ao	final	dos	períodos.
•	 O	primeiro	termo	ocorre	ao	final	do	primeiro	período.
Sendo assim, vamos representar cada termo da série de pagamentos ou recebimentos iguais por 
PMT (Payment Periodic) e os demais parâmetros serão representados pelos símbolos já conhe-
cidos (PV, i, n e FV): 
PV = valor presente, valor atual, capital inicial ou principal;
FV = valor futuro ou montante;
i = taxa de juros compostos, coerente com a unidade de tempo (mês, trimestre etc.);
09
n = número de pagamentos ou recebimentos, número de períodos (coincidentes com o 
número de prestações) referentes à unidade de tempo da taxa.
Geometricamente, temos as seguintes situações:
•	 AMORTIZAÇÃO: aqui aparecem o PMT e o PV, conforme nos mostra o DFC na figura 
abaixo:
0 21 3 4 nn - 1
PV
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
Figura 2 – DFC da amortização para uma série de termos iguais postecipados.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
De acordo com Gimenes (2006), na amortização, o Valor	Presente	da	Série (PV) de uma série 
de termos iguais e vencidos é obtido pela expressão PV	=	PMT	x	
ixi
i
n
n
)1(
1)1(
+
−+
, onde 
ixi
i
n
n
)1(
1)1(
+
−+
 
é o fator	de	valor	atual. De outro modo, o valor das prestações iguais pode ser encontrado pela 
expressão PMT	=	PV	x	
1)1(
)1(
−+
+
n
n
i
ixi
, onde 
1)1(
)1(
−+
+
n
n
i
ixi
 é o fator	de	recuperação	de	capital.
•	 CAPITALIZAÇÃO: aqui aparecem o PMT e o FV, conforme nos mostra o DFC na figura 
abaixo:
0 21 3 4 nn - 1
FV
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
Figura 3 – DFC da capitalização para uma série de termos iguais postecipados.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
10 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Analogamente, de acordo com Gimenes (2006), na capitalização o Valor	Futuro	da	Série (FV), 
para uma série de termos iguais e vencidos, é dado pela expressão FV	=	PMT	x	
i
i n 1)1( −+ , 
onde 
i
i n 1)1( −+ é o fator	de	acumulação	de	capital. De outro modo, o valor das prestações 
iguais pode ser encontrado pela expressão PMT	=	FV	x	
1)1( −+ ni
i
, onde 
1)1( −+ ni
i
 é o fator	
de	formação	de	capital.
Pergunta	Contextualizada (Amortização): suponha que você seja o gerente responsável de 
uma empresa na área de empréstimos pessoais. A empresa opera com a taxa de 8% ao mês e 
concedeu um empréstimo no valor de R$ 3.000,00, a ser amortizado em seis prestações mensais 
iguais, sendo a primeira para daqui a 30 dias. Qual é o valor da prestação mensal dessa ope-
ração financeira? Como podemos descrever tal valor na HP 12C?
Solução: para utilizarmos a HP 12C, devemos entrar com os parâmetros conhecidos e solicitar-
mos o parâmetro desconhecido, ou seja, introduzimos os valores na memória financeira da HP 
12C. Nesse caso específico, temos de encontrar o valor de PMT. Sendo assim, a resolução com 
o auxílio da HP 12C é mostrada a seguir. Acompanhe:
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
8 <i> 8,00 Insere a taxa mensal.
6 <n> 6,00 Insere o número de prestações mensais.
3000 <CHS><PV> – 3000,00 Insere o valor do empréstimo.
<PMT> 648,95 Valor da prestação mensal.
Quadro 1 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução da situação proposta.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Ou seja, o valor da prestação mensal dessa operação é de R$ 648,95.
Vejamos mais três exemplos envolvendo a série de pagamentos vencidos: 
Exemplo (Capitalização): um cliente da sua empresa deposita a quantia de R$ 260,00 ao final 
de cada mês, durante oito meses, a uma taxa mensal de 1,57%. Quanto a sua empresa terá na 
data do último depósito?
Solução: note que, nesse exemplo, temos de encontrar o valor futuro da série em questão, ou 
seja, o valor de FV. Sendo assim:
11
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
8 <n> 8,00 Insere o número de prestações mensais.
1.57 <i> 1,57 Insere a taxa mensal.
260 <CHS><PMT> – 260,00 Insere o depósito mensal. 
<FV> 2.197,96 Valor do Montante.
Quadro 2 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Ou seja, o montante da série em questão será de R$ 2.197,96.
Exemplo (Amortização): um mercado vende certo produto em oito prestações mensais iguais de 
R$ 80,50, sendo a primeira para 30 dias após a compra. A taxa de juros de crédito pessoal do 
mercado é de 2,35% ao mês. Qual o preço à vista desse produto? 
Solução: note que, nesse exemplo, temos de encontrar o valor presente da série, que irá repre-
sentar o preço à vista do produto, ou seja, devemos calcular o valor de PV:
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
8<n> 8,00 Insere o número de prestações mensais.
2.35<i> 2,35 Insere a taxa mensal de juros.
80.50 <CHS><PMT> – 72,30 Valor da prestação mensal.
<PV> 580,91 Preço à vista do produto.
Quadro 3 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Ou seja, temos que o valor à vista desse produto é igual a R$ 580,91.
Exemplo (Amortização): a empresa na qual você trabalha como consultor de vendas realiza um 
empréstimo bancário no valor de R$ 7.000,00. Tal empréstimo deve ser liquidado em prestações 
mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 1.017,99. Sabendo que a taxa contratada pela 
instituição financeira é de 5,75% ao mês, e que a primeira prestação vence 30 dias após a data 
da operação, qual o número de prestações mensais associadas a essa operação?
Solução: nessa situação, devemos caracterizar o número de prestações da operação em ques-
tão, ou seja, queremos encontrar o valor de n. Acompanhe:
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Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
7000 <CHS><PV> - 7.000,00 Insere o valor do empréstimo. 
1017.99 <PMT> 1.017,99 Insere o valor da prestação. 
5.75 <i> 5,75 Insere a taxa mensal.
<n> 9,00 Número de Prestações Mensais.
Quadro 4 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Portanto, são nove as prestações mensais dessa operação. 
3.2.2 Séries de Pagamentos Iguais de Termos Antecipados
Apresentamos agora algumas características fundamentais das séries de pagamentos iguais de 
termos antecipados: 
•	 Os	termos	são	iguais.
•	 Os	pagamentos	são	periódicos	e	sem	diferimento.
•	 O	intervalo	de	tempo	entre	cada	termo	é	constante.
•	 Os	termos	ocorrem	no	início	de	cada	um	dos	períodos.
•	 O	primeiro	termo	ocorre	no	início	do	primeiro	período.
Dessa forma, mais uma vez vamos chamar cada termo da série de pagamentos ou recebimentos 
iguais de PMT (Payment Periodic) e os demais parâmetros, conforme descritos anteriormente, 
de PV, i, n e FV.
Sendo assim, em termos geométricos, temos mais uma vez duas situações, que são descritas a seguir.
•	 AMORTIZAÇÃO: temos no contexto PMT e PV, conforme nos mostra o DFC na figura a 
seguir:0 21 3 4 nn - 1
PV
PMT PMT PMT PMT PMTPMT
Figura 4 – DFC da amortização para uma série de termos iguais antecipados.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
13
De acordo com Gimenes (2006), na amortização o Valor	 Presente	 da	 Série	 (PV), para 
uma série de termos iguais antecipados, é obtido pela expressão PV	 =	 PMT	 x	 (1	 +	 i)	 x	
ixi
i
n
n
)1(
1)1(
+
−+
. Por outro lado, o valor das prestações iguais pode ser encontrado pela expressão 
PMT	=	 .
•	 CAPITALIZAÇÃO: aqui aparecem o PMT e o FV, conforme nos mostra a figura a seguir.
0 21 3 4 nn - 1
FV
PMT PMT PMT PMT PMTPMT
Figura 5 – DFC da capitalização para uma série de termos iguais antecipados.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Dessa forma, de acordo com Gimenes (2006), na capitalização o Valor	Futuro	da	Série (FV) 
de termos iguais antecipados é dado pela expressão FV	=	PMT	x	 (1	+	 i)	 x	
i
i n 1)1( −+ , en-
quanto o valor das prestações iguais pode ser encontrado pela expressão PMT	=	PV	x	(1	+	i)	x	
i
i n 1)1( −+ .
Como podemos resolver problemas envolvendo pagamentos antecipados com o auxílio 
da HP 12C? No caso específico de pagamentos antecipados, utilizamos a função <g> 
BEG, que é a abreviação de BEGIN.
NÓS QUEREMOS SABER!
Pergunta	Contextualizada (Amortização): suponha que você seja o gestor de uma empresa da 
área alimentícia, que acabou de adquirir um equipamento de empacotamento. Qual é o preço 
à vista desse equipamento adquirido em quatro prestações iguais, mensais e sucessivas, no valor 
de R$ 32.500,00? 
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Perceba que a primeira prestação será paga na data da compra e a taxa de juros da fábrica é de 
1,98% ao mês. Como podemos resolver tal questão com a HP 12C?
Solução: note que se trata de uma série de pagamentos antecipados. Para resolver o problema 
com a HP 12C, devemos entrar com os parâmetros conhecidos e solicitarmos o parâmetro des-
conhecido, ou seja, introduzimos os valores na memória financeira da HP 12C.
Obviamente, antes disso, temos de dizer para a HP 12C que essa é uma série antecipada, através 
da função <g> BEG. Nessa situação, queremos encontrar o valor de PV, que representa o valor 
à vista do equipamento. Acompanhe a resolução a seguir.
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
<g><BEG> 0,00 BEGIN
Para resolver problemas com pagamentos 
antecipados.
4<n> 4,00 BEGIN Introduz o número de pagamentos mensais. 
1.98 <i> 1,98 BEGIN Introduz a taxa mensal.
32500<CHS><PMT> - 32.500,00 BEGIN Introduz o valor dos pagamentos iguais.
<PV> 126.262,73 BEGIN Preço à vista do equipamento.
Quadro 5 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução da situação proposta.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Ou seja, o valor do equipamento de empacotamento à vista é de R$ 126.262,73.
Vejamos, a seguir, mais três exemplos envolvendo a série de pagamentos vencidos. 
Exemplo (Amortização): uma fábrica negocia um componente eletrônico pelo preço de R$ 
1.480,00 à vista ou em sete prestações mensais, iguais e sucessivas, sendo a primeira paga no 
dia da compra. Sabendo que a fábrica opera com uma taxa de juros de 2,75% ao mês, qual o 
valor da prestação mensal?
Solução: note que, nesse exemplo, temos de encontrar o valor da prestação igual da série ante-
cipada em questão, ou seja, o valor de PMT. Acompanhe:
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
<g><BEG> 0,00 BEGIN
Para resolver problemas com pagamentos 
antecipados.
1480 <CHS><PV> -1.480,00 BEGIN Preço à vista do componente.
7<n> 6,00 BEGIN Insere o número de prestações.
2.75<i> 2.75 BEGIN Introduz a taxa mensal.
<PMT> 229,02 BEGIN Valor da prestação mensal.
Quadro 6 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Portanto, o valor da prestação mensal é de R$ 229,02.
15
Exemplo (Capitalização): a AFA Logística Ltda. realiza dezoito depósitos mensais, iguais e su-
cessivos, no valor de R$ 4.500,00, a uma taxa de 1,45% ao mês, sendo o primeiro depósito 
realizado no dia de hoje. Qual é o montante associado a essa operação?
Solução: note que, nesse exemplo, temos de encontrar o valor futuro da série antecipada, ou 
seja, devemos calcular o valor de FV.
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
<g><BEG> 0,00 BEGIN
Para resolver problemas com pagamentos 
antecipados.
18<n> 18,00 BEGIN Insere o prazo em meses.
1.45<i> 1,45 BEGIN Insere a taxa mensal.
4500<CHS><PMT> -4.500,00 BEGIN Valor do depósito.
<FV> 93.130,11 BEGIN Valor do Montante.
Quadro 7 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Sendo assim, temos que o valor do montante da operação é de R$ 93.130,11.
Exemplo (Capitalização): uma aplicação de 12 parcelas mensais, iguais e sucessivas, gerou um 
montante de R$ 12.485,55. Sabendo que a taxa de juros da operação foi de 1,60% ao mês e 
que a primeira parcela foi aplicada no dia do negócio, qual é o valor de cada aplicação feita?
Solução: nesse exemplo temos de encontrar o PMT, que irá representar o valor igual de cada 
depósito realizado mensalmente. Sendo assim, acompanhe a resolução abaixo.
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
<g><BEG> 0,00 BEGIN
Para resolver problemas com paga-
mentos antecipados.
12.485,55<CHS><FV> - 12.485,55 BEGIN Insere o Montante.
12<n> 12,00 BEGIN Insere o número de parcelas mensais.
1.6<i> 1,60 BEGIN Introduz a taxa mensal.
<PMT> 937,06 BEGIN Valor de cada aplicação.
Quadro 8 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Portanto, o valor de cada depósito mensal e igual foi de R$ 937,06.
16 Laureate- International Universities
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Para mais exemplos sobre a aplicabilidade e cálculos algébricos envolvendo as séries 
de pagamentos iguais e de termos antecipados, pesquise em SAMANEZ (2006, 88). 
Aqui ele nos traz mais uma série de exemplos que ilustram a resolução de novas situa-
ções envolvendo o cálculo dos parâmetros no contexto de séries de pagamentos iguais 
de termos antecipados.
NÃO DEIXE DE LER...
3.3 Séries de Pagamentos Variáveis
Agora, iremos trabalhar com as séries de pagamentos variáveis, ou seja, as séries nas quais os 
pagamentos não são uniformes. 
Iremos mostrar a você que existem outras funções na HP 12C que possibilitam a simplificação de 
cálculos nessas situações. 
Tratando-se de uma série de pagamentos variáveis, temos que:
•	 Valor	 Presente	 da	 Série (ou valor	 atual): é caracterizado pela soma dos valores 
atualizados de cada um de seus termos a uma mesma taxa i.
•	 Valor	Futuro	da	Série (ou montante): é determinado pelo somatório dos montantes de 
cada termo ou através da capitalização do valor presente para a data futura desejada.
A figura a seguir nos mostra o DFC associado à amortização, considerando uma série de termos 
diferentes. Veja:
21
1
2
3 n-1
n
3 nn - 1
PV
PMT
PMT
PMT PMT
PMT
Figura 6 – DFC da amortização para uma série de termos diferentes.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Note que aqui a nomenclatura de cada pagamento tem por serventia mostrar que tais pagamen-
tos são diferentes. De acordo com Gimenes (2006), na amortização o Valor Presente da Série 
(PV) de termos variáveis é dado pela expressão:
17
PV = n
n
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
)1(
...
)1()1(1 3
3
2
21
+
++
+
+
+
+
+
.
Porém, se tivermos uma operação de capitalização, o Valor Futuro da Série (FV) de pagamentos 
variáveis é caracterizado pela expressão:
FV = PMT1 x (1 + i)
n–1 + PMT2 x (1 + i) 
n–2 + ... + PMTnQue pode ser reescrita da seguinte maneira:
FV = PV x (1 + i)n
PMT	x	(1	+	i)	x	
i
i n 1)1( −+ .
Para a resolução desses casos com a HP 12C, devemos utilizar as teclas <CF0>, <CFj>, <Nj> 
e <NPV>, que são interpretadas assim:
CF0: representa o fluxo de caixa na data zero.
CFj: representa o fluxo de caixa em uma data j qualquer (diferente da data zero).
Nj: representa o número de vezes que o fluxo CFj se repete em sequência.
NPV: representa o valor presente líquido.
Pergunta	Contextualizada (Amortização): uma empresa decide liquidar um empréstimo em 
quatro prestações anuais e sucessivas de R$ 25.000,00, R$ 35.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 
50.000,00. A taxa de juros cobrada pela instituição financeira foi de 27% ao ano. Qual o valor 
do empréstimo feito pela empresa? Como seria a resolução do problema com a HP 12C?
Solução: observe que essa é uma série de pagamentos variáveis em que temos de encontrar o 
valor presente da série que representa o valor do empréstimo realizado. Além disso, como não 
temos fluxo na data zero, o valor presente da série nessa situação coincide com o valor presente 
líquido. Acompanhe a resolução a seguir.
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
25000 <g><CFj> 25.000,00 Fluxo na data 1.
35000 <g><CFj> 35.000,00 Fluxo na data 2.
40000 <g><CFj> 40.000,00 Fluxo na data 3.
50000 <g><CFj> 50.000,00 Fluxo na data 4.
27 <i> 27,00 Taxa de juros anual (em %).
<f><NPV> 80.132,76 Valor do empréstimo. 
Quadro 9 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução da situação proposta.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Portanto, o valor do empréstimo foi de R$ 80.132,76.
18 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Vejamos mais dois exemplos acerca das séries de pagamentos variáveis.
Exemplo: calcule o valor presente de uma série de cinco pagamentos mensais e consecutivos de 
R$ 1.650,00, R$ 3.100,00, R$ 1.340,00, R$ 2.280,00 e R$ 3.400,00, respectivamente, a uma 
taxa de 1,40% ao mês, realizada por determinada empresa. Além disso, diga qual seria o valor 
futuro associado à série do exemplo.
Solução: observe que, mais uma vez, temos em mãos uma série de pagamentos variáveis, pois 
tais pagamentos não são iguais. Nós temos de encontrar o valor presente da série, ou seja, o 
valor de PV. Iremos realizar o cálculo através da definição formal de valor presente de uma série 
de pagamentos variáveis com a HP 12C. Acompanhe:
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
1.40 1,40 Insere a taxa mensal.
1650<CHS><FV> -1.650,00 Valor do primeiro pagamento.
1 <n> 1,00 Prazo do primeiro pagamento.
<PV> 1.627,22 Valor atualizado do primeiro pagamento.
3100 <CHS><FV> -3.100,00 Valor do segundo pagamento.
2 <n> 2,00 Prazo do segundo pagamento.
<PV> 3.014,99 Valor atualizado do segundo pagamento.
<+> 4.642,21 Valor presente dos dois primeiros pagamentos.
1340<CHS><FV> -1.340,00 Valor do terceiro pagamento.
3 <n> 3,00 Prazo do terceiro pagamento.
<PV> 1.285,26 Valor atualizado do terceiro pagamento.
<+> 5.927,47 Valor presente dos três primeiros pagamentos.
2280<CHS><FV> -2.28000 Valor do quarto pagamento.
4 <n> 4,00 Prazo do quarto pagamento.
<PV> 2.156,67 Valor atualizado do quarto pagamento.
<+> 8.084,13
Valor presente dos quatro primeiros pagamen-
tos.
3400 <CHS><FV> -3.550,00 Valor do quinto pagamento.
5 <n> 5,00 Prazo do quinto pagamento.
<PV> 3.171,68 Valor atualizado do quinto pagamento.
<+> 11.255,81 Valor presente dos cinco pagamentos.
Quadro 10 – Sequência de passos na HP 12C para cálculo do valor presente.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
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Veja agora o cálculo do valor futuro.
Teclas Visor Observação
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
11309.14 <CHS><PV> -11.309,14 Valor presente dos cinco pagamentos.
5 <n> 5,00 Insere o prazo em meses.
1.40 1,40 Insere a taxa mensal.
<FV> 11.255,81 Valor Futuro.
Quadro 11 – Sequência de passos na HP 12C: cálculo do valor futuro ou montante.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Exemplo: uma empresa realiza um financiamento em quatro prestações mensais, com quatro 
meses de carência, sendo a primeira no valor de R$ 3.000,00, a segunda de R$ 2.000,00, a 
terceira de R$ 4.000,00 e a quarta de R$ 5.000,00. A taxa de juros da instituição financeira é de 
5% ao mês. Sendo assim, qual é o valor do financiamento realizado pela empresa? 
Solução: devemos encontrar o valor presente líquido, que irá representar o valor financiado pela 
empresa. Além disso, salientamos que, nessa situação, temos o prazo de carência e, para a in-
terpretação de tal fato, devemos considerar o fluxo de caixa desses períodos nulos (ou seja, CFj 
= 0). Veja a resolução do problema abaixo.
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
5 <i> 5,00 Taxa mensal de juros (em %).
0 <g><CFj> 0,00 Valor dos fluxos do primeiro grupo.
4 <g><Nj> 4,00 Número de vezes que o valor se repete.
3000 <g><CFj> 3000,00 Valor do fluxo do segundo grupo.
2000 <g><CFj> 2000,00 Valor do fluxo do terceiro grupo.
4000 <g><CFj> 4000,00 Valor do fluxo do quarto grupo.
5000 <g><CFj> 5000,00 Valor do fluxo do quinto grupo.
<f><NPV> 10.069,93 Valor financiado pela empresa.
Quadro 12 – Sequência de passos na HP 12C: cálculo do valor futuro ou montante.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Portanto, o valor do financiamento foi de R$ 10.069,93.
20 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Exemplo: Alessandro faz um investimento com três anos de vida útil que irá gerar receitas men-
sais, como mostrado na Tabela 1. De acordo com a instituição financeira na qual Alessandro 
realizou o investimento, a taxa de desconto será de 18% ao ano, capitalizada mensalmente. Qual 
é o valor do investimento realizado por Alessandro?
Meses	 Número	de	Meses Valor	(em	R$)
1 a 12 12 9.000,00
13 a 20 08 10.000,00
21 a 24 04 11.000,00
25 a 35 11 16.000,00
36 01 22.000,00
Tabela 1 – Disposição das informações do problema em questão.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Solução: acompanhe abaixo a resolução. 
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
9000 <g><CFj> 9.000,00 Valor dos fluxos do primeiro grupo.
12 <g>< Nj> 12,00 Número de vezes que esse valor se repete.
10000 <g><CFj> 9.000,00 Valor dos fluxos do segundo grupo.
8 <g>< Nj> 8,00 Número de vezes que esse valor se repete.
11000 <g><CFj> 10.000,00 Valor dos fluxos do terceiro grupo.
4 <g>< Nj> 4,00 Número de vezes que esse valor se repete.
16000 <g><CFj> 16.000,00 Valor dos fluxos do quarto grupo.
11 <g>< Nj> 11,00 Número de vezes que esse valor se repete.
22000 <g><CFj> 20.000,00 Valor do fluxo do quinto grupo.
18<ENTER> 12 <÷><i> 1,50 Taxa mensal (em %).
<f><NPV> 317.853,32 Valor do Investimento hoje.
Quadro 13 – Sequência de passos na HP 12C – cálculo do valor futuro ou montante.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Portanto, o valor do investimento realizado por Alessandro foi de R$ 317.853,32.
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Síntese
Vimos neste capítulo que o consumidor brasileiro, na maioria dos casos, compra de forma im-
pulsiva, sem levar em consideração a consequência dos gastos. Sendo assim, surge de modo 
natural a necessidade da interpretação estruturada das séries de pagamentos que são praticadas 
no mercado financeiro brasileiro. 
Comumente, compramos a médio ou longo prazo, utilizando uma série de pagamentos iguais 
e de termos vencidos. Logicamente, é de grande importância o entendimento dos conceitos 
fundamentais e da classificação das séries de pagamentos ou recebimentos para a resolução 
de questões relacionadas a empréstimos, investimentos etc., que aparecem em nosso cotidiano. 
Sendo assim, a partir do material que estudamos, podemos afirmar que:
•	 Uma série de pagamentos é uma sequência finita ouinfinita de pagamentos ou 
recebimentos em datas previamente definidas.
•	 O valor presente ou valor atual de uma série é encarado como a soma dos valores atuais 
dos seus termos, soma esta realizada para uma mesma data e à mesma taxa de juros no 
regime composto.
•	 O montante, também chamado de valor futuro, é caracterizado como a soma dos 
montantes ou valores futuros dos seus termos, considerando uma mesma data e uma 
mesma taxa de juros no regime composto.
•	 Temos critérios específicos para a classificação das séries de pagamentos, como número, 
natureza e vencimento dos termos.
•	 Quando o primeiro termo ocorrer apenas após alguns períodos, temos o popular prazo	
de	diferimento ou prazo	de	carência.
•	 As séries de pagamentos iguais com termos vencidos são as mais praticadas no âmbito 
do mercado financeiro.
•	 A HP 12C é uma poderosa ferramenta para a resolução de problemas de séries de 
pagamentos.
•	 Às vezes, encontramos séries de termos variáveis em situações cotidianas de mercado.
•	 Para a resolução simplificada de problemas envolvendo as séries de pagamentos variáveis 
através da HP 12C, podemos utilizar as teclas CF0, CFj, Nj e NPV, que podem ser 
consideradas como teclas de atalho. 
Síntese
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Referências
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática	financeira	com	HP	12C	e	Excel. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2006.
HAZZAN, Samuel; POMPEU, José Nicolau. Matemática	Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Saraiva, 
2007. 
PUCCINI, Ernesto Coutinho. Matemática	financeira	e	análise	de	investimentos. Florianó-
polis: Departamento de Ciências da Administração/UFSC; [Brasília]: CAPES: UAB, 2011. 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática	financeira:	objetiva	e	aplicada. 8ª Ed. São Paulo: 
Saraiva, 2009.
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática	financeira:	aplicações	à	análise	de	investimen-
tos. 3ª Ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2002.
Bibliográficas