Cálculo II 1ª lista fç 2 variáveis 2004

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FACULDADES OSWALDO CRUZ
 CÁLCULO II - 1ª Lista - Função de 2 variáveis - 2004
Profs. Neide / Eugenio / Márcio
Função de uma variável:
Exemplo
Sabemos que a área y de um círculo depende somente do seu raio x.
Área de um círculo = 
�� EMBED Equation.2 ou seja y =
 
Assim, para cada valor de x vamos obter um único y, dizemos então que y é uma função de x e escrevemos y = f(x)).
Notação:
 
 O conjunto D é chamado de domínio de f.
Exemplos:
 
Função de duas variáveis :
Exemplos:
A área z de um retângulo de lados x e y depende dos valores de x e y .
 A = x.y ou z = x.y
A pressão z de uma certa massa gasosa, que sofre uma transformação genérica, depende do seu volume x e da sua temperatura y.
 
 ( pV = nRT)
Definição:
Se uma variável z depende de duas outras, x e y de tal forma que cada par ordenado (x,y) determina um único valor para z, temos então uma função de duas variáveis z = f(x,y).
Notação:
OBS : 
Exemplos
 
Domínio de funções de duas variáveis :
Determinar o domínio de uma função de duas variáveis é saber que valores podem ser atribuídos às variáveis x e y, ou seja qual o conjunto de pares (x,y) viáveis para a regra z = f(x,y).
 
Exemplos:
Determine o domínio e represente – o no plano xy.
1) 
 2) 
 3)
 
4) 
 5) 
 
Exercícios:
1) Seja 
, definida para todos os pares (x,y) com 
. Calcule o valor de:
 a)f(1,0) b) 
 c) 
 d) 
2) Determine o domínio das funções e represente – o no plano xy.
EXEMPLOS DE GRAFICOS DE FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS:
 
 
CURVAS DE NÍVEL
As curvas de nível são utilizadas para mapas topográficos ou mapas de contornos. 
Por exemplo, em uma colina, esboçamos curvas correspondentes às elevações de 0,100,200,300 e 400 metros. Podemos encarar essas curvas como tendo sido obtidas cortando-se a colina em fatias paralelas à base. Uma pessoa caminhando ao longo de uma dessas curvas permaneceria sempre na mesma elevação.
No caso de f(x, y) representar uma grandeza física, as curvas de nível recebem nomes especiais:
a)se f(x, y) é a temperatura do ponto de uma chapa plana, as curvas de f(x, y) = c são chamadas de isotermas.
b) se f(x, y) é a pressão de um gás de volume x e temperatura y, as curvas de f(x, y) = c são chamadas de isóbaras.
c) se f(x, y) é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região D do plano xy, as curvas de f(x, y) = c são chamadas de eqüipotenciais.
Exercícios:
Represente no plano xy, as curvas de nível c = 0, c = 1 e c = 4 das funções indicadas:
A temperatura do ponto (x , y) de uma chapa é dada por 
. Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto ( 3 , 2 ) e represente-a no plano xy.
 
A temperatura do ponto ( x , y ) de uma chapa é dada por 
.
Determine o domínio de T(x , y) e a temperatura do ponto ( 3 , 4 ).
Determine a equação que contém a isoterma que contém o ponto ( 3 , 4 ) e represente-a no plano xy.
O potencial elétrico em uma região do plano xy é dado por 
Qual é o lugar geométrico dos pontos cujo potencial é 30?
Determine a curva eqüipotencial que passa pelo ponto ( 1 , 1 ).
O potencial elétrico no ponto ( x , y ) é 
 ( V em volts). Determine e
 represente, no plano xy, as curvas eqüipotenciais para 4 e 2 volts.
DERIVADAS 
Função de uma variável - Derivada no ponto 
	
:
	A derivada de f no ponto 
 quando o limite existe (é finito).
	** 
 , geometricamente representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto 
 .
	** Outra interpretação para 
 :
	Dada a função y = f(x),a razão 
 onde 
 representa a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo 
.
Exemplo:
y é a temperatura de uma sala em 
 e x é o tempo em horas.
:exprime a taxa de variação média da temperatura em relação ao tempo no intervalo de tempo 
. Sendo 
Conclusão: entre 1h e 4h a temperatura aumentou de 
 por hora em média.
:representa a taxa de variação de y em relação a x ,no ponto 
(exprime a rapidez com que y varia em relação a x ,no ponto 
)
A taxa de variação no instante 
Conclusão: a 1h a temperatura estava mudando à taxa de 
 por hora.
Função de duas variáveis - Derivadas parciais
Consideremos agora , uma função de duas variáveis definida em 
 com valores em IR e 
 um ponto do domínio .
A derivada parcial de f em relação a x , no ponto 
 que representaremos
por 
 é a derivada da função de uma variável 
 no ponto 
 . 
 , ou seja ,
Analogamente , a derivada parcial de f em relação a y no ponto 
 , que representaremos por 
 é a derivada da função de uma variável 
 no ponto 
 .
 , ou seja ,
Exercícios:
Calcule as derivadas parciais 
 e 
 nos pontos indicados:
2) Calcule as derivadas parciais 
 e 
 :
3) Calcule as derivadas parciais 
 e 
 :
a) 
 b) 
 c) 
d) 
 e) 
 f) 
g) 
 h) 
 i) 
j) 
 m) f
o) 
 p) 
 q) f(x,y) = 
r) 
 s) 
 t) 
u) 
 v) 
 x) 
y) f(x,y) = 
 z) 
 w) 
� EMBED Equation.2 ���
� EMBED Equation.2 ���
�PAGE �
�PAGE �4�
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