Equação e Função Exponencial OBMEP Copia (3)

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Func¸a˜o Exponencial
Equac¸o˜es Exponenciais
1◦ ano E.M.
Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Func¸a˜o Exponencial
Equac¸o˜es Exponenciais
1 Exerc´ıcios Introduto´rios
Exerc´ıcio 1. Determine o valor de x nas equac¸o˜es abaixo.
a) 2x = 32.
b) 5x = 125.
c) 9x = 27.
d) 2x =
1
16
.
e)
(
1
3
)x
= 9.
f) 7x =
√
7.
g) 0, 25x = 2.
h) 25x = 3
√
5.
Exerc´ıcio 2. Determine o valor de x nas equac¸o˜es abaixo.
a) 10x−1 = 1000.
b) 51−2x = 25.
c)
(
3
2
)3x
=
16
81
.
d) 24x+1 =
√
0, 5.
Exerc´ıcio 3. Uma determinada cultura de bacte´rias dobra
sua populac¸a˜o a cada hora quando exposta em um meio
favora´vel. Em um determinado momento, essa cultura de
bacte´rias composta de apenas 3 indivı´duos e´ colocada em
um meio favora´vel. Depois de quanto tempo essa populac¸a˜o
sera´ de 3.072 indivı´duos?
Exerc´ıcio 4. Resolva a seguinte equac¸a˜o:
2x + 2x+1 + 2x+2 = 112.
Exerc´ıcio 5. Determine os valores de x que satisfazem a`
equac¸a˜o:
22x+1
24x−3
=
1
2
.
Exerc´ıcio 6. Determine a soma dos valores de x que satisfa-
zem a` equac¸a˜o:
25x − 24 · 5x − 25 = 0.
Exerc´ıcio 7. Resolvendo a equac¸a˜o exponencial 2x+1 +√
8 =
√
72, encontramos um valor para x que pertence ao
conjunto:
a) N.
b) Z−N.
c) Q−Z.
d) R−Q.
Exerc´ıcio 8. Quantas raı´zes reais possui a equac¸a˜o
32x
2−7x+5 = 1?
(a) 0.
(b) 1.
(c) 2.
(d) 3.
(e) 4.
2 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
Exerc´ıcio 9. Resolva as equac¸o˜es:
a) 32x − 28 · 3x + 27 = 0.
b) 22x = 12 · 2x − 32.
Exerc´ıcio 10. Em um meio de cultura especial, a quanti-
dade de bacte´rias, em bilho˜es, e´ dada pela func¸a˜o Q, definida
para t ≥ 0, por Q(t) = k · 5k·t, sendo t o tempo, em minutos,
e k uma constante. A quantidade de bacte´rias, cuja contagem
inicia-se com o ca´lculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto,
igual a 25 · Q(0). Quantos bilho˜es de bacte´rias estara˜o pre-
sentes nesse meio de cultura no oitavo minuto?
Exerc´ıcio 11. Devido a` desintegrac¸a˜o radioativa, uma
massa mo de carbono 14 e´ reduzida a uma massa m em
t anos. As duas massas esta˜o relacionadas pela fo´rmula
m = mo · 2 −t5.400 . Nestas condic¸o˜es, em quantos anos 5g da
substaˆncia sera˜o reduzidos a 1, 25g?
Exerc´ıcio 12. Os te´cnicos de um laborato´rio observaram
que uma populac¸a˜o de certo tipo de bacte´rias cresce segundo
a func¸a˜o B(t) = 109 · 43t, com t sendo medido em horas.
Qual o tempo necessa´rio para que ocorra uma reproduc¸a˜o
de 6, 4 · 1010 bacte´rias?
a) 1h.
b) 3h.
c) 4h.
d) 6h.
e) 16h.
Exerc´ıcio 13. Certa substaˆncia de um medicamento e´ eli-
minada pelo organismo de acordo com a func¸a˜o: D(t) =
Do
(
9
10
) t
2
, sendo D a quantidade de substaˆncia no orga-
nismo apo´s t horas da ingesta˜o e Do a dose inicial. Determine
apo´s quantas horas o organismo tera´ eliminado 19% da dose
inicial.
Exerc´ıcio 14. Num perı´odo prolongado de seca, a variac¸a˜o
da quantidade de a´gua de certo reservato´rio e´ dada por
q(t) = qo · 2−0.,2t, sendo qo a quantidade inicial de a´gua no
reservato´rio apo´s t meses. A quantidade de meses que a a´gua
do reservato´rio se reduzira´ a 25% do que era no inı´cio e´ de:
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Lucas
Realce
Lucas
Realce
Lucas
Realce
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
e) 12.
Exerc´ıcio 15. A populac¸a˜o P de um paı´s no ano t pode
ser estimada atrave´s da func¸a˜o P(t) = m · nt−2011, para n 6=
0. Sabendo-se que a populac¸a˜o atual desse paı´s e´ de 15, 3
milho˜es de habitantes, e que sua taxa anual de crescimento e´
de 2%, enta˜o
m
n
e´ igual a:
a) 1, 2 · 106.
b) 1, 5 · 106.
c) 1, 2 · 107.
d) 1, 5 · 107.
e) 1, 2 · 108.
3 Exerc´ıcios de Aprofundamento e de
Exames
Exerc´ıcio 16. O sindicato de trabalhadores de uma empresa
sugere que o piso salarial da classe seja de R$1.800, 00, pro-
pondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado
ao trabalho. A expressa˜o que corresponde a` proposta sa-
larial (s), em func¸a˜o do tempo de servic¸o (t), em anos, e´
s(t) = 1.800 · (1, 03)t. De acordo com a proposta do sindicato,
o sala´rio de um profissional dessa empresa com 2 anos de
tempo de servic¸o sera´, em reais:
a) 7.416, 00.
b) 3.819, 00.
c) 3.709, 62.
d) 3.708, 00.
e) 1.909, 62.
Exerc´ıcio 17. Deˆ o conjunto verdade da equac¸a˜o exponen-
cial:
3 · 5x2 + 3x2+1 − 8 · 3x2 = 0.
Exerc´ıcio 18. O governo de uma cidade esta´ preocupado
com a possı´vel epidemia de uma doenc¸a infectocontagiosa
causada por bacte´ria. Para decidir que medidas tomar,
deve calcular a velocidade de reproduc¸a˜o da bacte´ria.
Em experieˆncias laboratoriais de uma cultura bacteriana,
inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fo´rmula para
a populac¸a˜o:
p(t) = 40 · 23t,
em que t e´ o tempo, em hora, e p(t) e´ a populac¸a˜o, em
milhares de bacte´rias. Em relac¸a˜o a` quantidade inicial de
bacte´rias, apo´s 20 minutos, a populac¸a˜o sera´:
a) reduzida a um terc¸o.
b) reduzida a` metade.
c) reduzida a dois terc¸os.
d) duplicada.
e) triplicada.
Exerc´ıcio 19. A soma das raı´zes reais positivas da equac¸a˜o:
4x
2 − 5 · 2x2 + 4 = 0, vale:
a) 2.
b) 5.
c)
√
2.
d) 1.
e)
√
3.
Exerc´ıcio 20. Resolva a equac¸a˜o
4x + 6x = 2 · 9x.
Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda
Produzido por Arquimedes Curso de Ensino
contato@cursoarquimedes.com
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Respostas e Soluc¸o˜es.
1.
a) x = 5.
b) x = 3.
c) x =
3
2
.
d) x = −4.
e) x = −2.
f) x =
1
2
.
g) x = −1
2
.
h) x =
1
6
.
2.
a)
10x−1 = 1000
10x−1 = 103
x− 1 = 3
x = 4.
b)
51−2x = 25
51−2x = 52
1− 2x = 2
−2x = 1
x = −1
2
.
c)
(
3
2
)3x
=
16
81(
3
2
)3x
=
(
2
3
)4
(
3
2
)3x
=
(
3
2
)−4
3x = −4
x = −4
3
.
d)
24x+1 =
√
0, 5
24x+1 =
√
1
2
24x+1 =
√
2−1
24x+1 = 2−
1
2
4x+ 1 = −1
2
8x+ 2 = −1
8x = −3
x = −3
8
.
3. Se essa cultura dobra a cada hora, enta˜o temos:
3 · 2t = 3.072
2t = 1.024
2t = 210
t = 10.
Portanto, apo´s 10 horas havera´ 3.072 indivı´duos.
4. (Extraı´do da Vı´deo Aula)
2x + 2x+1 + 2x+2 = 112
2x + 2x · 21 + 2x · 22 = 112
2x(1 + 2 + 4) = 112
2x = 16
2x = 24
x = 4.
5.
22x+1
24x−3
=
1
2
2(2x+1)−(4x−3) = 2−1
(2x+ 1)− (4x− 3) = −1
−2x+ 4 = −1
−2x = −5
x =
5
2
.
6. (Extraı´do da Vı´deo Aula) Fazendo 5x = y e, consequente-
mente 52x = y2, temos:
25x − 24 · 5x − 25 = 0
52x − 24 · 5x − 25 = 0
y2 − 24y− 25 = 0
y1 = −1
y2 = 25.
Como x2 = y, enta˜o y ≥ 0, ou seja, utilizaremos apenas
x2 = 25, segue que x1 = −5 e x2 = 5. Portanto a soma dos
valores de x que satisfazem a` referida equac¸a˜o e´ zero.
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7.
2x+1 +
√
8 =
√
72
2x · 21 +
√
23 =
√
23 · 32
2x · 2 + 2
√
2 = 6
√
2
2x +
√
2 = 3
√
2
2x = 2
√
2
2x = 2
3
2
x =
3
2
.
Portanto, x ∈ (Q−Z). Resposta C.
8. (Extraı´do da Vı´deo Aula)
32x
2−7x+5 = 1
2x2 − 7x+ 5 = 0
x =
7±√49− 40
4
x =
7± 3
4
x1 =
5
2
x2 = 1.
Portanto, a equac¸a˜o possui duas raı´zes reais. Resposta C.
9.
a) Fazendo 3x = y e, consequentemente, 32x = y2, temos:
32x − 28 · 3x + 27 = 0
y2 − 28y+ 27 = 0
y1 = 1
y2 = 27.
Assim, temos 3x = 1 ou 3x = 27, segue que x = 0 ou
x = 3.
b) Fazendo 2x = y e, consequentemente, 22x = y2, temos:
22x = 12 · 2x − 32
y2 − 12y+ 32 = 0
y1 = 4
y2 = 8.
Assim, temos 2x = 4 ou 2x = 8, segue que x = 2 ou x = 3.
10. (Extraı´do da Vı´deo Aula) Temos que Q(0) = k · 5k·0 = k.
Se Q(4) = 25 ·Q(0), enta˜o:
25 · k = k · 5k·4
52 = 54k
2 = 4k
k =
1
2
.
Assim, no oitavo minuto, a quantidade de bacte´rias sera´
Q(8) =
1
2· 58· 12 = 1
2
· 625 = 312, 5 bilho˜es.
11. (Extraı´do da UFAL)
1, 25 = 5 · 2 −t5.400
5
4
= 5 · 2 −t5.400
2−2 = 2
−t
5.400
−2 = − t
5.400
t = 10.800.
Portanto, o tempo necessa´rio sera´ de 10.800 anos.
12. (Extraı´do UPE - 2016) Temos:
6, 4 · 1010 = 109 · 43t
6, 4 · 10 = 43t
64 = 43t
26 = 26t
6 = 6t
t = 1.
Portanto, a reproduc¸a˜o de 6, 4 · 1010 bacte´rias ocorrera´ apo´s
1h. Resposta A.
13. (Extraı´do da Vı´deo Aula)
81
100
Do = Do
(
9
10
) t
2
(
9
10
)2
=
(
9
10
) t
2
2 =
t
2
t = 4.
Portanto, o organismo tera´ eliminado 19% da substaˆncia apo´s
4 horas.
14. (Extraı´do da Unifor-CE 2016)
25% · qo = qo · 2−0,2t
1
4
= 2−0,2t
2−2 = 2−0,2t
−2 = −0, 2t
t = 10.
Portanto, depois de 10 meses a quantidade de a´gua no re-
servato´rio se reduzira´ a 25% do que era no inı´cio. Resposta
D.
15. (Extraı´do da UFTM-MG) Como P(2011) = 15, 3 · 106,
temos que m = 15, 3 · 106. Se o crescimento anual e´ de 2%,
enta˜o n = 1, 02. Logo,
m
n
=
15, 3 · 107
1, 02
= 1, 5 · 107. Resposta
D.
16. (Extraı´do do ENEM - 2015) s(2) = 1.800 · (1, 03)2 =
R$1.909, 62. Resposta E.
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17. (Extraı´do do ITA)
3 · 5x2 + 3x2+1 − 8 · 3x2 = 0
3 · 5x2 + 3 · 3x2 − 8 · 3x2 = 0
3 · 5x2 − 5 · 3x2 = 0
3 · 5x2 = 5 · 3x2
5x
2−1 = 3x
2−1
A u´nica possibilidade para a igualdade encontrada e´ que o
expoente seja nulo, ou seja, x2 − 1 = 0, segue que x1 = −1 e
x2 = 1. S = {−1, 1}.
18. (Extraı´do do ENEM - 2016) Apo´s 20 minutos, ou seja,
um terc¸o de hora, teremos p
(
1
3
)
= 40 · 23· 13 = 40 · 2 = 80
mil unidades, que e´ o dobro da quantidade inicial. Resposta
D.
19. (Extraı´do do ITA) Fazendo 2x
2
= y e, consequentemente,
4x
2
= y2, temos a nova equac¸a˜o y2 − 5y+ 4 = 0, cujas raı´zes
sa˜o y1 = 1 e y2 = 4. Assim, 2x
2
= 1, donde x1 = 0, e 2x
2
= 4,
donde x2 = −
√
2 e x3 =
√
2. Portanto, a soma das raı´zes
reais positivas da equac¸a˜o e´
√
2. Resposta C.
20. Dividindo toda a equac¸a˜o por 9x, temos
(
2
3
)2x
+(
2
3
)x
= 2. Fazendo
(
2
3
)x
= y, ficamos com y2 + y− 2 = 0,
cujas raı´zes sa˜o y1 = −2, que na˜o conve´m, e y2 = 1. Assim,(
2
3
)x
= 1, segue que x = 0.
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